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2023-2-131第九节第九节 随机变量函数的分布随机变量函数的分布X-2123pk0.30.20.10.42.0)1()0(XPYP4.01.03.0)2()2()3(XPXPYP一、一维随机变量函数的分布一、一维随机变量函数的分布求Y=X2-1的分布律例1 设随机变量X的分布律如下，解：Y的所有可能取值为0,3,84.0)3()8(XPYP2023-2-132例例2.一提炼纯糖的生产过程，一天可生产纯糖一提炼纯糖的生产过程，一天可生产纯糖1吨，但由吨，但由于机器损坏和减速，一天实际产量于机器损坏和减速，一天实际产量X是一个随机变量是一个随机变量,设设X的概率密度为的概率密度为其他,010,2)(xxxfX)(),(yFxFYX)()(21yYPyFyY时，当解：分别记解：分别记X，Y的分布函数为的分布函数为一天的利润一天的利润Y=3X-1，Y也是随机变量，求也是随机变量，求Y的概率密度。的概率密度。)13(yXP)31(yXP)31(yFX的概率密度为求导数，得关于将Y)(yyFY)31)(31()()(yyfyFyfXYY其他，,02131)31(2yy其他，,0219)1(2yy2,1Y 1,0时，当X0)()(1yYPyFyY时，当1)(2yFyY时，当2023-2-133例例3.设随机变量设随机变量X在区间在区间-1,2上服从均匀分布，上服从均匀分布，时，有当10)1(y)()(yYPyFY)(2yXP解解:当当X在区间在区间-1,2上取值时上取值时,Y在在0,1或或1,4取值取值求随机变量求随机变量Y=X2的概率密度。的概率密度。)(yXyPdxyy31由于由于y=x2不是单调的，不是单调的，y32时，有当41)2(y)()(yYPyFY)(2yXPdxdxyy13110)1(31y)(yXyP)1(XyP)1(yXP解解:(1)因为因为X在在(0,1)上取值，所以上取值，所以Y=eX 在在(1，e)上取值。上取值。2023-2-134例例3.设随机变量设随机变量X在区间在区间(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布，(1)求随机变量求随机变量Y=eX的概率密度的概率密度;0)(PyF1yYyY）（时，当上式对上式对y求导数，得求导数，得Y的概率密度为的概率密度为)(ln)ln()()(PyFey1YyFyXPyePyYXX）（时，当1)(PyFeyYyY）（时，当)()(yFyfYY)(ln(lnyyFXeyy或,1,0ey 1)(ln1yfyX,1y例例3.设随机变量设随机变量X在区间在区间(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布，(2)求求Y=-2lnX的概率密度。的概率密度。解解:(1)因为因为X在在(0,1)上取值，所以上取值，所以Y=-2lnX 在在(0，+)上取值。上取值。2023-2-135;0)(PyF0yYyY）（时，当上式对上式对y求导数，得求导数，得Y的概率密度为的概率密度为)(1)(1)()ln2()(PyF0y222YyXyyeFeXPeXPyXPyY）（时，当)()(yFyfYY)(22yyXeeF0,0y0y)(2122yXyefe,212ye2023-2-1361）3）在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函数的分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的数的分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的寿命分别为随机变量寿命分别为随机变量 X,Y，它们相互独立同分布。，它们相互独立同分布。我们想知道系统寿命我们想知道系统寿命 Z 的分布。的分布。),min(YXZ ),max(YXZ YXZ 这就是求随机变量函数的分布问题。这就是求随机变量函数的分布问题。2）二、多维随机变量函数的分布二、多维随机变量函数的分布2023-2-137解题步骤：解题步骤：，的分布函数先求随机变量函数zFYXgZZ,zFzfYXgZZZ的密度函数再求随机变量函数,1.一般情形问题一般情形问题 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X,Y）的联合密度为）的联合密度为 f(x,y),g(x,y)是二元连续函数，欲求随机变量是二元连续函数，欲求随机变量 Z=g(X,Y)的概率密度。的概率密度。2023-2-1382 2）连续型随机变量和的分布）连续型随机变量和的分布，为其联合密度函数是二维连续型随机变量设yxfYX,的密度函数下面计算zfYXZZ 的的分分布布函函数数首首先先计计算算随随机机变变量量zFYXZZ zZPzFZ zYXP zyxdxdyyxf，xyOx+y=z xzdyyxfdx，2023-2-139,xuy 作作变变换换：则有则有 zZduxuxfdxzF，dxxuxfduz，xzzdyyxfdxzF，)(的的密密度度函函数数为为导导，可可得得求求之之间间的的关关系系，上上式式对对由由分分布布函函数数与与密密度度函函数数YXZz zFzfZZ dxxzxf，2023-2-1310由于由于 X,Y 的对称性可得的对称性可得 dyyyzfzfZ，相相互互独独立立，则则有有与与特特别别地地，如如果果随随机机变变量量YX .yfxfyxfYX，此此时时，我我们们有有 dxxzfxfzfYXZ或者或者 dyyfyzfzfYXZ2023-2-1311 的的卷卷积积，记记作作与与我我们们称称上上式式为为函函数数yfxfYX yfxfYX*：因因此此，我我们们有有以以下下结结论论卷卷积积：密密度度函函数数的的与与的的密密度度函函数数等等于于相相互互独独立立，则则它它们们的的和和与与如如果果随随机机变变量量YXYXZYX yfxfzfYXZ*dxxzfxfzfYXZ dyyfyzfzfYXZ dxxzfxfzfYXZ dyyfyzfYX2023-2-1312解解:利用卷积公式利用卷积公式求求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。例例5.设随机变量设随机变量X与与Y相互独立，概率密度分别是相互独立，概率密度分别是;0,00,)(;0,010,1)(yyeyfxxxfyYX的定义知，按)(),(yfxfYX010yyz且 dyyfyzfzfYXZ所以且即,0,1yzyz)(zfz zYXdyyfyzf0,110zzyedye zzYXdyyfyzf1,)1(11zzzyeedye其他,0zyOy=zy=z-1110 z1z2023-2-1313 为是相互独立，分布函数设随机变量yFxFYXYX,的分布函数与试求),min(),max(YXYX3.极值分布极值分布 zYXPzF),max(max,zYzXP zYPzXP zFzFYX解：2023-2-1314 为是相互独立，分布函数设随机变量yFxFYXYX,的分布函数与试求),min(),max(YXYX zYXPzF),min(minzYXP),min(1 zYPzXP1)(1)(11zYPzXP解：)(1)(11zFzFYX2023-2-1315 令：的分布函数为是独立的随机变量，设推广：xFXXXXiin21 11111zFzFXini的分布函数同分布是相互独立，且服从相，若特别地nXXX,21 ，nnnXXXXXXXX21211maxmin zFzFXininn1的分布函数则则的分布函数为设),(zFXi ，nnzFzF nzFzF1112023-2-1316解解:（1）串联的情况）串联的情况例例6.设系统设系统L由两个独立的电子元件由两个独立的电子元件L1,L2连接而成，连接连接而成，连接方式分别为方式分别为(1)串联；（串联；（2）并联）并联,设设L1,L2的寿命分别为的寿命分别为X,Y，已知，已知X,Y的概率密度分别是的概率密度分别是其中其中10 20，求上述两种连接方式中系统的寿命，求上述两种连接方式中系统的寿命Z的概率密度。的概率密度。1212,0,0,()()0,0;0,0;xyXYexeyfxfyxymin(,)ZX Y11 e,x0()=0,x0 xXFx 21 e,0()=0,0yYyFyy，由题设由题设X、Y的分布函数分别为的分布函数分别为2023-2-1317 zYXPzF),min(min)(1)(11zFzFYX，12()z1-e,z0=0,z0 12()z12()e,z0()=0,z0minfz 所以所以Z=min(X,Y)的概率密度为的概率密度为2023-2-1318解解:（2）并联的情况）并联的情况max(,)ZX Y()=maxFz所以所以Z=max(X,Y)的概率密度为的概率密度为1212zz()z1212ee()e,z0()=0,z0maxfz 12zz(1-e)(1-e),z0=0,z0XYP(max(X,Y)z)=P(Xz,Yz)=P(Xz)P(Yz)=F(z)F(z)2023-2-1319习题二(P73)：24,26(1),27,29,32作业作业
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