曲线的极坐标方程湛治超课件

曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义 湛治超课前巩固：上节课我们一起学习了极坐标的意义表示，以及极坐标与直角坐标的互化，我们一起回顾一下：1：极坐标系的四要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。2：点与其极坐标一一对应的条件点与其极坐标一一对应的条件：3：极坐标与直角坐标的互化公式极坐标与直角坐标的互化公式)2,0,0 )0(tan,222 xxyyx sin,cos yx探究：如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？xC(a,0)OMA(,)1()0,2(),2,0()1.(.cos2cos),(,2的坐标满足等式可以验证，点即中。在以外的任意一点，那么，为圆上除点设，那么是交点。设圆与极轴的另一个解：圆经过极点aAOaMOAOAOMAMORtAMOMAOMaOAAO的点都在这个圆上。等式，可以验证，坐标适合满足的条件，另一方面坐标就是圆上任意一点的极所以，等式)1(),()1(曲线的极坐标方程的意义：一般地，如果一条曲线任意一点都有一个极坐标适合方程M M（，)=0=0；并；并且，极坐标适合方程且，极坐标适合方程M M（，)=0=0的点的点都在曲线上。那么，这个方程称为都在曲线上。那么，这个方程称为曲曲线的极坐标方程线的极坐标方程，这条曲线称为这个，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线极坐标方程的曲线曲线的极坐标方程一 定义：如果曲线上的点与方程f(,)=0有如下关系（）曲线上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f(,)=0；（）以方程f(,)=0的所有解为坐标的 点都在曲线上。则曲线的方程是f(,)=0。二 求曲线的极坐标方程的步骤：与直角坐标系里的情况一样建系建系 （适当的极坐标系）（适当的极坐标系）设点设点 （设（设M M（，)为要求方程的曲线上任意一点）为要求方程的曲线上任意一点）列等式（构造列等式（构造，利用三角形边角关系的定理列关于，利用三角形边角关系的定理列关于M M的等式）的等式）将等式坐标化将等式坐标化化简化简 （此方程此方程f(,)=0即为曲线的方程）即为曲线的方程）例1:求经过点A（3,0），且与极坐标垂直的直线l的极坐标方程？解：设P（，）是直线l上任意一点（O为极点）OPcos=OA cos=3 故所求直线的极坐标方程为 cos=3 变式训练1：已知点p的极坐标为（1，）那么过点p且垂直于极轴的直线极坐标方程？解：cos（-）=1/-cos=1/cos=-1 故所求直线的极坐标方程为cos=-1 例2：求圆心在A（3,0），且过极点的圆A的极坐标方程 解：设P（，）是圆A上任意一点则 OP=OBcos 圆的半径OA=3 =6cos 故所求圆A的极坐标方程为 =6cos 变式训练2：求圆心在C（r，/2）半径为r的圆的极坐标方程 cos（-/2）=/2r sin=/2r =2rsin 故所求圆C的极坐标方程为 =2rsin5 3cos5sin已知一个圆的方程是 求圆心坐思考：标和半径。222225 3cos5sin5 3 cos5 sin5 355 35()()25225 35(,),522xyxyxy解：两边同乘以 得即化为直角坐标为即所以圆心为半径是你可以用极坐标方程直接来求吗？你可以用极坐标方程直接来求吗？3110(cossin)10cos()226(5,),56解：原式可化为所以圆心为半径为Oaaaa此圆过极点圆的极坐标方程为半径为圆心为)cos(2)0)(,(例3：（1）：化直角坐标方程x+y-8y=0为极坐标方程（2）：化极坐标方程=6cos(-/3)为直角坐标方程 解（1）：=8sin （2）：x+y-3x-33y=0变式训练3：=5 =25 x+y=25练习练习1 1求下列圆的极坐标方程()中心在极点，半径为2；()中心在(a,0)，半径为a；()中心在(a,/2)，半径为a；()中心在(0,)，半径为r。2 2acos 2asin 2+0 2-2 0 cos(-)=r2 若圆心的坐标为M(,)，圆的半径为r，求圆的极坐标方程解:设P(,)为圆周上任意一点,如下图所示,在OCP中,CP=r,OC=1,OP=.根据余弦定理,得CP2=OC2+OP2-2OCOPcos(-1),即r2=21+2-21cos(-1).也就是2-21cos(-1)+(21-r2)=0.这就是圆在极坐标系中的一般方程.1:,A(85.,),3变式在极坐标平面上 求圆心半径为 的圆的方程练习21.以极坐标系中的点以极坐标系中的点(1,1)为圆心，为圆心，1为半径的圆的方程是为半径的圆的方程是()1 12 21 12 24 42 24 42 2 sin.Dcos.Csin.Bcos.A方程是什么？化为直角坐标、曲线的极坐标方程sin424)2(22 yx3cos()4、极坐标方程所表示的曲线是（）A、双曲线、双曲线 B、椭圆、椭圆 C、抛物线、抛物线 D、圆、圆D为半径的圆。为圆心，以解：该方程可以化为21)4,21()4cos(41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxyxyx即解：410cos()3、圆 的圆心坐标是)0,5(、A)3,5(、B)3,5(、C)32,5(、D（）C5(2,)2A、写出圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。222224cos()4sin24 sin4(2)4xyyxy解：化为直角坐标系为即410cos()3、圆 的圆心坐标是)0,5(、A)3,5(、B)3,5(、C)32,5(、D（）C5(2,)2A、写出圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。222224cos()4sin24 sin4(2)4xyyxy解：化为直角坐标系为即思考：思考：在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中过点过点(3,0)且与且与x轴垂直的直线方程为轴垂直的直线方程为 ;过点过点(2,3)且与且与y轴垂直的直线方程为轴垂直的直线方程为 x=3y=3四四 直线的极坐标方程：直线的极坐标方程：例例1：求过极点，倾斜角为求过极点，倾斜角为 的射线的极坐标方程。的射线的极坐标方程。4 oMx4(0)4 78cosOCONON、从极点 作圆：的弦，求的中点的轨迹方程。ONMC(4,0)(4,0),4,4cosCrOCCMMONCMONM解：如图，圆 的圆心半径连结，是弦的中点所以，动点的轨迹方程是（2）求过极点，倾斜角为）求过极点，倾斜角为 的射线的极坐标方程。的射线的极坐标方程。54 5(0)4 （3）求过极点，倾斜角为）求过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程。的直线的极坐标方程。4(0)4 5(0)4 和和 和前面的直角坐标系里直线方程的表示形和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？0 为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为以表示为()4R 或或5()4R 小结：（）曲线的极坐标方程概念（）求曲线的极坐标方程的步骤（3）会求圆的极坐标方程（3）会求直线的极坐标方程总结：总结：求直线的极坐标方程步骤求直线的极坐标方程步骤：1、据题意画出草图；、据题意画出草图；2、设点、设点 是直线上任意一点；是直线上任意一点；(,)M 3、连接、连接MO；4、根据几何条件建立关于、根据几何条件建立关于 的方的方程，程，并化简；并化简；,5、检验并确认所得的方程即为所求。、检验并确认所得的方程即为所求。圆锥曲线的极坐标圆锥曲线的极坐标 的统一形式的统一形式高二数学高二数学 选修选修4-4两种特殊的极坐标方程(,0)(0).A aa 2.求过点且与极轴垂直的直线的极坐标方程Ox AMcosa (,)(0)2.A aa3.求过点且与极轴平行的直线的极坐标方程Ox AMa sin000(1)(0);(2)().R 1.过极点的直线的极坐标方程：或Ox0 A00(,).A 4.求过点且倾斜角为的直线的极坐标方程OxMA 1 1)sin()sin(00 0000022201 sin,)(cos,)(时时时时两种特殊的极坐标方程xrO)(P1.rOx),(0aM)(P 2.2 cosa3.2 sinaOx),(2 aM)(P 两种特殊的极坐标方程)(Pr 0 0)(00 M2220004.2cos()r raaraar 时，时，时，时，时，时，003222201000000)(sin)(cos)(如图建立坐标系，设圆锥曲线 上任一点，由定义知 整理得：此方程为三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 )(MPFK eMAMF cosPBKMAeP cos cos1eeP xKA)(MFBl三种圆锥曲线的统一的极坐标方程三种圆锥曲线的统一的极坐标方程上述方程统一表示椭圆、双曲线、抛物线 FLxLFxFxL当当0e1时，方程表时，方程表示椭圆，示椭圆，F是左焦点，是左焦点，L是左准线。是左准线。当当1e时，方程表示时，方程表示双曲线，双曲线，F是右焦点，是右焦点，L是右准线。是右准线。当当e=1时，方程表示时，方程表示抛物线，抛物线，F是焦点，是焦点，L是准线，开口向右。是准线，开口向右。表示椭圆 表示抛物线 表示双曲线右支 (允许 表示整个双曲线)10 e1e1e0 xFly cos1eeP 1.确定方程 表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。cos3510 xOP coscos53131053531231053Pe，815825310533105322222cacbacbcacbac,。，短短轴轴长长长长轴轴长长，焦焦距距方方程程表表示示椭椭圆圆的的离离心心率率5425415532581582522eb)()(255341524252455425545245351053510035102121becacacaa，令令，令令另另解解：由由 cosxO1 2.542541553，短短轴轴长长长长轴轴长长，焦焦距距方方程程表表示示椭椭圆圆的的离离心心率率e 55,32cos33cos23cos5,523cosABCD2、有一个椭圆，它的极坐标方程是、D5332cos、椭圆的长轴长是()A 3 B 6 C 9 D 12 B24.4sin5.2判断极坐标方程表示的曲线，表表示示抛抛物物线线平平方方整整理理：整整理理得得：化化直直角角坐坐标标：即即：，由由)(coscossin4555225225225214524222222xyxyxxyx 另解：表表示示抛抛物物线线，整整理理得得：，由由25112552145242Pe coscossinxO练习练习31 =,1-cos、已知抛物线的极坐标方程为则抛物线的准线的极坐标方程为：cos3 2106、椭圆的长轴长为，短轴长为，则椭圆的极坐标方程为：9=5-4cos练习练习34、双曲线的实轴长为2 5，焦点到准线的距离为，则双曲线的极坐标方程为：4 515cos2=cos1,3-2 4、曲线的一条准线方程是cos其另一条准线方程是：13cos5 5、利用抛物线的极坐标方程，证明抛物线 过焦点的弦中通径最短，其长为2P。xONM证明：PMNMNkPPMNPPPNP2212121111112121221112111211有有最最小小值值为为抛抛物物线线通通径径，时时，即即当当且且仅仅当当，、设设，焦焦点点的的弦弦任任取取过过抛抛物物线线 sinsincoscos)cos(cos),(),(MMNcos