1切线长定理邱百灵

切线长定理切线长定理淮阳一高 邱百灵如图，纸上有一如图，纸上有一 O，PA为为 O的一条的一条切线，沿着直线切线，沿着直线PO对折，设圆上与点对折，设圆上与点A重合的点为重合的点为B。1.OB是是 O的一条半径吗？的一条半径吗？2.PB是是 O的切线吗？的切线吗？3.PA、PB有何关系？有何关系？4.APO和和BPO有何关系？有何关系？数学探究数学探究PAOB问题：问题：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做段的长叫做切线长。切线长。数学探究数学探究OBPA切线长和切线的区别和联系切线长和切线的区别和联系:：求证：求证：如图，如图，P P为为 O O外一点，外一点，PAPA、PBPB为为 O O的切线，的切线，A A、B B为切点，连结为切点，连结POPOBPOAPOPBPA,切线长定理切线长定理 从从圆外一点可以引圆外一点可以引圆的两条切线，圆的两条切线，它们的切线长相它们的切线长相等，这一点和圆等，这一点和圆心的连线平分两心的连线平分两条切线的夹角。条切线的夹角。OBPA一、判断一、判断1 1过任意一点总可以作圆的两条切线过任意一点总可以作圆的两条切线 2 2从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。练习练习(1)(1)如图如图PAPA、PBPB切圆于切圆于A A、B B两点，两点，连结连结POPO，那么，那么 度。度。50APBAPOPBOA二二、填空、填空253如图，PA、PB、DE分别切 O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，P到 O的切线长为8CM，那么 PDE的周长为 A AA 16cmD 8cmC 12cmB 14cmDCBEA AP例例2、如图，过半径为、如图，过半径为6cm的的 O外一点外一点P作圆作圆的切线的切线PA、PB，连结，连结PO交交 O于于F，过，过F作作 O切线分别交切线分别交PA、PB于于D、E，如果，如果PO10cm，求求PED的周长。的周长。FOEDPBA数学探究数学探究OBPA思考：连结思考：连结AB，那么，那么AB与与PO有怎样的位置关系？有怎样的位置关系？为什么？为什么？你还能得出什么结论？你还能得出什么结论？E E：如图：如图PAPA、PBPB是是 O O的两条切的两条切线，线，A A、B B为切点。直线为切点。直线OPOP交交 O O于于D D、E E，交，交ABAB于于C C。OPABCDE（1 1）图中互相垂直的关系）图中互相垂直的关系 有有 对，分别是对，分别是2 2图中的直角三角形有图中的直角三角形有 个，分别是个，分别是等腰三角形有等腰三角形有 个，分别是个，分别是（3 3）图中全等三角形）图中全等三角形 对，分别是对，分别是（4 4）如果半径为）如果半径为3cm3cm，PO=6cmPO=6cm，则点，则点P P到到 O O的切线长的切线长为为 cm cm，两切线的夹角等于，两切线的夹角等于 度度3ABOPPBOBPAOA,6233360OPA AB BCDE5 5如果如果PA=4cmPA=4cm，PD=2cmPD=2cm，试求半径试求半径OAOA的长。的长。x x222OPOAPA即：解得：x=22224xx3cm半径OA的长为3cm例例1、如图，、如图，PA、PB是是 O的切线，的切线，A、B为为切点，切点，OAB301求求APB的度数；的度数；2当当OA3时，求时，求AP的长的长 PBAO随堂训练随堂训练(2)观察观察OP与与BC的位置关系，并给予证明。的位置关系，并给予证明。(1)假设假设OA=3cm,APB=60，那么，那么PA=_.PABCOM如图，如图，AC为为 O的直径，的直径，PA、PB分别切分别切 O于点于点A、B，OP交交 O于点于点M，连结，连结BC。试一试：如图，试一试：如图，P为为 O外一点，外一点，PA，PB为为 O的切线，的切线，A和和B是切点，是切点，BC是直径。是直径。C50，求求APB的度数的度数求证：求证：ACOP。ABOCPAOBC试一试：试一试：如图如图1，一个圆球放置在，一个圆球放置在V形架中。图形架中。图2是它的平面示意图，是它的平面示意图，CA和和CB都是都是 O的切线，的切线，切点分别是切点分别是A、B。如果。如果 O的半径为的半径为 cm，且且AB=6cm，求，求ACB。32思考：当切点思考：当切点F在弧在弧AB上运动时，问上运动时，问PED的周长、的周长、DOE的度数是否发生变化，请说的度数是否发生变化，请说明理由。明理由。FOEDPBA2如图，ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，F；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,那么BC=cm,AC=AB=116cm9cmBDAC CFE274 4例例3、四边形四边形ABCD的边的边AB、BC、CD、DA分分别与别与 O相切于相切于P、Q、M、N，求证：求证：AB+CD=AD+BC。DABCOMNPQID三角形的内切圆：三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆内切圆三角形的内心：三角形的内心：三角形的内切圆的圆心叫三角形的内切圆的圆心叫做三角形的做三角形的内心内心三角形的三角形的内心内心是三角形三是三角形三条条角平分线角平分线的交点，它到的交点，它到三角形三角形三边三边的距离相等。的距离相等。数学探究数学探究COBADEFABDLMNPO结论：圆的外切四边形的两组对边和相等。结论：圆的外切四边形的两组对边和相等。：四边形：四边形ABCDABCD的边的边 AB AB，BCBC，CDCD，DADA和圆和圆O O分别分别相切于相切于L L，M M，N N，P P。探索圆外切四边形边的关。探索圆外切四边形边的关系。系。C1 1找出图中所有相等的线段找出图中所有相等的线段2 2填空：填空：AB+CD AD+BCAB+CD AD+BC,=)=DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM比较圆的内接四边形的性质：比较圆的内接四边形的性质：圆的内接四边形：角的关系圆的内接四边形：角的关系圆的外切四边形：边的关系圆的外切四边形：边的关系 练习四练习四 ：ABCABC是是OO外切三角形，切点为外切三角形，切点为D D，E E，F F。假设假设BCBC14 cm 14 cm，ACAC9cm9cm，ABAB13cm13cm。求。求AFAF，BDBD，CECE。ABCDEFxxyyOzz解解:设设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=ZcmAF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm那么那么AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=ZcmAE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm依题意得方程组依题意得方程组x+y=13y+z=14x+z=9解得解得:Z=5。、的长分别是、cmcmcmCEBDAF594X+y+z=18x+y=13:如图如图,O是是RtABC的内切圆的内切圆,C是直是直角角,三边长分别是三边长分别是a,b,c.求求 O的半径的半径r.ABCODEF.2cbar1 1RtRt的三边长与其内切圆半径间的关系的三边长与其内切圆半径间的关系(2):如图如图,ABC的面积为的面积为S,三边长分别为三边长分别为a,b,c.求内切圆求内切圆 O的半径的半径r.ABCOODEF.2cbaSr.21cbarS1.1.边长为边长为3 3、4 4、5 5的三角形的内切圆的半径为的三角形的内切圆的半径为2.2.边长为边长为5 5、5 5、6 6的三角形的内切圆的半径为的三角形的内切圆的半径为3.:3.:ABCABC的面积的面积S=4cm,S=4cm,周长等于周长等于 10cm.10cm.求内切圆求内切圆 OO的半径的半径r.r.例：例：如图，如图，ABC的内切圆的内切圆 O与与BC、CA、AB分别相切于点分别相切于点D、E、F，且，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求，求AF、BD、CE的长。的长。x13xx13x9x9x例题选讲例题选讲ADCBOFE1、如图，、如图，ABC中中,ABC=50，ACB=75,点点O 是是ABC的内心，求的内心，求 BOC的度数。的度数。AOCB随堂训练随堂训练变式：变式：ABC中中,A=40，点，点O是是ABC的内的内心，求心，求 BOC的度数。的度数。21 BOC=90+A2 2、ABCABC的内切圆半径为的内切圆半径为 r,r,ABCABC的周长为的周长为 l,l,求求ABCABC的面积。提示：设内心为的面积。提示：设内心为OO，连接，连接OAOA、OBOB、OCOC。OACBrrr知识拓展知识拓展若若ABC的内切圆半径为的内切圆半径为 r,周长为周长为 l,则则SABC=lr=lr21切线长定理切线长定理拓展拓展回忆反思回忆反思1.切线长定理切线长定理OBPA从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长切线长相相等，这一点和圆心的连线等，这一点和圆心的连线平分平分两条切线的两条切线的夹角夹角。回忆反思回忆反思2.三角形的内切圆、内心、内心的性质三角形的内切圆、内心、内心的性质COBADEF知识拓展知识拓展拓展一：拓展一：直角三角形的外接圆与内切圆直角三角形的外接圆与内切圆CBACOBA1.直角三角形外接圆的圆心直角三角形外接圆的圆心(外心外心)在在_，半径为半径为_.2.直角三角形内切圆的圆心直角三角形内切圆的圆心(内心内心)在在_，半径半径r=_.abc斜边中点斜边中点斜边的一半斜边的一半三角形内部三角形内部a+b-c2知识拓展知识拓展3.：如图：如图,PA、PB是是 O的切线，切点分别是的切线，切点分别是A、B，Q为为 O上一点，过上一点，过Q点作点作 O的切线，交的切线，交PA、PB于于E、F点，点，PA=12cm，P=70,求：求：PEF的周长和的周长和EOF的大小。的大小。EAQPFBO知识拓展知识拓展知识小结知识小结 直角三角形的外接圆与内切圆直角三角形的外接圆与内切圆CBACOBA1.直角三角形外接圆的圆心直角三角形外接圆的圆心(外心外心)在在_，半径为半径为_.2.直角三角形内切圆的圆心直角三角形内切圆的圆心(内心内心)在在_，半径半径r=_.abc斜边中点斜边中点斜边的一半斜边的一半三角形内部三角形内部a+b-c2课前训练课前训练1、，如图，、，如图，PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为为切点切点.直线直线 OP 交交 O 于点于点 D、E，交，交 AB 于于 C.1写出图中所有的垂直关系；写出图中所有的垂直关系；2如果如果 PA=4 cm,PD=2 cm,求半径求半径 OA的长的长.AOCDPBE知识拓展知识拓展2.：两个同心圆：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线，是大圆的两条切线，PC、PD是小圆的两条切线，是小圆的两条切线，A、B、C、D为为切点。求证：切点。求证：AC=BDPABOCD试一试：试一试：如图如图ABC中，中，C90，AC6，BC8，三角形三边与，三角形三边与 O均相切，切点分别均相切，切点分别是是D、E、F，求，求 O的半径。的半径。CFOEDBA切线长定理：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等。这一点和圆心的连线平分这的切线长相等。这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。两条切线的夹角。从圆外一点引圆的切线，这个点与切点从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称为切线长。间的线段的长称为切线长。切线长：切线长：知识回忆知识回忆1、如图，一圆内切于四边形、如图，一圆内切于四边形ABCD，且，且AB=16，CD=10，那么四边形的周长为，那么四边形的周长为()A50 B 52 C54 D 56DABC稳固练习：稳固练习：2、：在、：在ABC中，中，BC14cm，AC9cm，AB13cm，BC，AC，AB分别与分别与 O切于点切于点D、E、F，求，求AF，BD和和CE的长。的长。EFODCBA 3、以正方形、以正方形ABCD的一边的一边BC为直径的半圆上有为直径的半圆上有一个动点一个动点K，过点，过点K作半圆的切线作半圆的切线EF，EF分别分别交交AB、CD于点于点E、F，试问：四边形，试问：四边形AEFD的周的周长是否会因长是否会因K点的变动而变化？为什么？点的变动而变化？为什么？ABDCKEF4、如图，在梯形、如图，在梯形ABCD中，中，AD/BC，ABBC，以，以AB为直径的为直径的 O与与DC相切于相切于EAB=8，边，边BC比比AD大大6，求边求边AD、BC的长。的长。ABDCEO