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专题十 相似与函数 1.如图 ,直角三角形 AOB中， AOB=90 ,AB平行于 x轴， OA=2OB， AB=5，反比例函数 y= (x0)的图象经过点 A. (1)直接写出反比例函数的解析式 ; (2)如图， P（ x,y）在 (1)中的反比例函数图象上，其中 1x8，连接 OP，过 O作 OQ OP,且 OP=2OQ,连接 PQ.设 Q 坐标为 (m,n)，其中 m0，求 n与 m的函数解析式 ,并直接 写出自变量 m的取值范围 ; (3)在 (2)的条件下，若 Q的坐标为 (m,1)，求 POQ的面积 . x k 解：（ 1） y= ; x 8 (2)分别过 P、 Q作 x轴垂线，垂足为 H、 D, OQ OP, (2)如图， P（ x,y）在 (1)中 的反比例函数图象上，其中 1x8，连接 OP，过 O作 OQ OP,且 OP=2OQ,连接 PQ.设 Q坐标为 (m,n)，其中 m0，求 n与 m的函数解 析式 ,并直接写出自变量 m的 取值范围 ; POH+ QOD=90 , POH+ OPH=90 , QOD= OPH, Rt POH Rt OQD, ,OQOPODPHQDOH P(x,y)在 y= 上， 1x8,Q(m,n),m0,OP=2OQ, x 8 PH=y,OH=x,OD=-m,DQ=n, ,2mynx x=2n,y=-2m, y= , 2n(-2m)=8, mn=-2(-4m- ) x 8 2 1 (3) n=1时 ,m=-2, Q(-2,1), (3)在 (2)的条件下，若 Q的坐标为 (m,1)，求 POQ的面积 . OQ= OP=2OQ=2 , ,5)2(1 22 5 S POQ= 2 =5. 5 5 2 1 2.如图，矩形 ABCD的顶点 C、 D在反比例 函数 y= (x0)的图象上，顶点 A、 B分别 在 y轴的正半轴、 x轴的负半轴上，且 AB=2AD=2 ,求 k的值 . 解：作 CE x轴于 E， DF y轴于 F，设 BE=a,CE=b, x k 5 四边形 ABCD是矩形， 1= 2= 3, 4= 5= 6, BC=AD,AB=2AD, BCE DAF ABO, ,2DFOAAFOBADABBCABBEOACEOB BE=DF=a,CE=AF=b,OA=2BE=2a,OB=2CE=2b, OE=BE+OB=a+2b,OF=OA+AF=2a+b, 1 4 5 2 6 3 A(0,2a),B(-2b,0),C(-a-2b,b),D(-a,2a+b), C,D在 y= 上 , k=(-a-2b)b=-a(2a+b), x k a2-b2=0, a=b, AB=2 , a=b= , 5 2 10 k=- (2 + )=- . 2 10 2 10 2 10 2 15 2.如图，矩形 ABCD的顶点 C、 D在反比例 函数 y= (x0)交于 E点， OF BE交双曲线于 F，且 OF=2BE,求 k 的值 . 解：如图，过 E作 EM x轴 ,过 B作 BM y轴，过 F作 FN x轴 , x k ON=2BM,设 E(m,m+3), F(2m,2m), m=1, E(1,4), k=4. OF BE, BEM OFN, ,OFONBEBM E,F都在 y= 上 , m(m+3)=2m2m, x k M N 4.已知抛物线 y=- +x-1的顶点 A(2,0)，与 y轴的交点为 B（ 0,-1） .AC AB,交抛物线 于 C点，求 C点坐标 . 解：过 C点作 CD x轴于 D点， BAC=90 ， 2x 4 1 OAB+ DAC=90 ， OAB+ OBA=90 ， DAC= OBA， OAB DCA， -14(x+2)2+(x+2)-1=-2x, x=8(x=0舍去 ), C(10,-16). A（ 2,0） ,B(0,-1)， CD=2AD， , OB OA AD CD 设 AD=x, C(x+2,-2x), C在 y=- x2+x-1, 4 1 5.如图，抛物线 y=x2-4x+3与坐标轴交 于 A、 B、 C三点，点 P为抛物线上一 点， PE BC于 E，且 CE=3PE,求 P点 的坐标 . 解：连 AC， CP，由题意知 A(1,0),B(3,0),C(0,3), N PEC AOC, OCA= PCE, PCA=45 ,延长 CP交 x轴于 N, OBC=45 , ANC+ BCP=45 , ACO+ ACB=45 , ACO= PCE, ACB= ANC, ACB ANC, AC2=ABAN, CE=3PE, PE BC, , 3 1 OC OA , 3 1 CE PE N(6,0),直线 CN解析式 :y=- x+3, y=x2-4x+3, P( ). 2 1 4 5, 2 7 6.已知抛物线 y= x2-2x-5与 x轴交 A(-2， 0)、 B(10,0)二点，与 y轴交于 C(0， -5),直线 l:y= x-9分别交 y轴、 x轴于 F、 G，点 P在抛物线上， PQ y轴， PE l,垂足为 E,若 EQ= ,求 P点 的坐标 . 解： PQ y轴 , OF PQ, OFG= PQE, PE l, PQ 5 21 PEQ= FOG=90 , OFG EQP, = 5 3 4 1 PQ=7,设 P(m, m2-2m-5), Q(m, m-9), 4 3 m1=-1,m2=12, P(-1,- )或 (12,7). 4 11 4 1 4 3 5 21 PQ=yP-yQ= m2-2m-5-( m-9)=7, 4 1 4 3 7.如图所示，抛物线 y=-x2-x+6与 x轴交于 A、 B两点，直线 y= x+a与抛物线交于 M、 N两 点，当 MON=90 时，求 a的值 . 过 M作 MP x轴 ,过 N作 NQ x轴 , MON=90 , 解：由题意知 .6xxy ,ax 2 1y 2 2x2+3x+2a-12=0, x1+x2=- ,x1x 2=a-6, y1= x1+a,y2= x2+a, 2 3 2 1 2 1 y1y 2=( x1+a)( x2+a)= +a2, 2 1 2 1 a 4 3 4 6a OMP ONQ, x1x 2+y1y 2=0, ,0aa434 6a 2 2a2+a-15=0. a=-3或 a= . 2 5 2 1 M Q 8.如图，抛物线 y=-2x2+4x与 x轴交于 O、 B两点， C为顶点，点 P为抛物线上一点， 且 OPC是以 OC为直角边的直角三角形， 求 P点坐标 . 解： y=-2x2+4x, C(1,2), 作 OP1 OC交 y=-2x2+4x于 P1, 作 P1M y轴于 M， CN y轴于 N， CO OP1, OP1M OCN, 作 P2C OC交 y=-2x2+4x于 P2,作 P2E CN于 E， 设 P1(-2m,m)(m0), , 2 1 ON CN MP OM 1 -2(-2m)2+4(-2m)=m, m=- , P1( ,- ), 8 9 4 9 8 9 同理可得 P2( , ). 4 5 8 15 P2 M
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