方位角计算公式

方位角计算公式部门： xxx时间： xxx因裁凿園9宜縉应面越鉛偉翹翼一、直线定向1、正、反方位角换算对直线卫而言，过始点山的坐标纵轴平行线指北端顺时针至直线的 夹角氐血是山B的正方位角，而过端点B的坐标纵轴平行线 指北端顺时针至直线的夹角如则是血的反方位角，同一 条直线的正、反方位角相差诣，即同一直线的正反方位 角 =如1抄（1-13 上式右端，若1剎，用“ + ”号，若如王1肋，用“一”号。2、象限角与方位角的换算一条直线的方向有时也可用象限角表示。所谓象限角是指从坐标纵轴的指北端或指南端起始，至直线的锐角，用表示，取值范围为。为了说明直线所在的象限，在应前应加注直线所在象限的名称。四个象限的名称分别为北东NE）、南东SE）、南西（SW、北西（NW。 象限角和坐标方位角之间的换算公式列于表1-4。象限表1-4象限角与方位角关系表应象限角与方位角ai 换算公式第一象限NE)aISO-R第二象限SE)aISO-R第三象限SW)a360+ R第四象限若按折线前进方向将卫吕视为后边，BU视为前边，综合上二式即得相邻边坐标方位角推算 的通式：咛=咛+禺左1抄(1-16显然，如果测定的是血和眈之间的前进方向右侧水平角炖，因为有珞 n 一為，代 入上式即得通式(1-17上二式右端，若前两项计算结果1抄，1测前面用“ + ”号，否则1抄前面用“一”号。-图1 皐标正*反算二、坐标推算1、坐标的正算地面点的坐标推算包括坐标正算和坐标反算。坐标正 算，就是根据直线的边长、坐标方位角和一个端点的坐标， 计算直线另一个端点的坐标的工作。如图1所示，设直线AB的边长DAB和一个端点A的坐 标XA、YA为已知，则直线另一个端点B的坐标为：XB=XA+A XABYB=YA+A YAB式中， XAB、 YAB称为坐标增量，也就是直线两端点 A 、B 的坐标值之差。由图 1 中，根据三角函数，可写出坐标增量的计算公式为 XAB二DABcosa AB YAB二DABsina AB及其所在象限90- -180第二象限）270第三象限）270- - 360A，c占Zt 匚二第四象限）2、坐标的反算根据卫、吕两点的坐标兀、和耳、电，推算直线血的水平距离与坐标方位角 为坐标反算。由图1可见，其计算公式为：（耳-乙）化式中 X、 Y均有正、负，其符号取决于直线貝月的坐标方位角所在的象限， 参见表 1-5。tan氐血二（耳-乙）康齟（1-20 。血二 J（兀-乙尸+邕-Fj =jAy%+A密（1-21 注意，由1-20）式计算血时往往得到的是象限角的数值，必须参照表1-5表1-4，先根据 、叽的正、负号，确定直线山B所在的象限，再将象限角化为坐标方位角。例如 、叫均为一1。这时由1-20）式计算得到的捡数值为4亍，但根据 、第三象限第四象限止的符号判断，直线肋应在第三象限。因此，最后得二4亍+1测=22亍，余类推。表1-4象限角与方位角关系表第一象限第二象限180D R180 R360 R三、举例1、某导线12边方位角为45，在导线上2点测得其左角为250 解：1) 23边的方位角：根据公式 =咛+段土 ISO因 a 12 = 250, a 12 180, 故计算公式中，前面应取“一”号：a 23=a 12+鬼一1 测 =45+250180=1152) 求 a 23 反方位角：根据公式血=如1抄，本例a 23V180。，故1亦前面应取“ + ”号: a 32=a 23+1 测=295，求 a 32？当前位置：首页一复习总结一基本计算 2内的法量方测业、水准高程。1.高差闭合差的计算与检核附合水 准 路线高 差闭合差为fk=(九 (2-8闭合水准路线高差闭合差为fk=(2-9水准测量的内业即计算路线的高差闭合差，如其符合要求则予以调整，最终推算出待定点为了检查高差闭合差是否符合要求容地还应计算高差闭合差的容许值即其限差）。一定40-7 mm （2-11 挖一路线测站总数。的调整 但应进行调整。方法是将高差闭合差 即依下式计算各测段的高差改正数， 观般水准为$矚.=以 km闭12 乔 mm 为单位； 合差 若高差闭合差小于容许值，说明观测成果符合要求， 反符号，按与测段的长度（平地或测站数（山地成正比 加入到测段的山地式中， 水准路线全长，2. 高 差到测高差测值地地/?-IS 364式中，工 路线总长；厶一第i测段长度(km (i = 1、2、3 .；测站总数；一第测段测站数。3.计算待定点八、的高程将高差观测值加上改正数即得各测段改正后高差：hi 改二hi+/hii=1，2，3，据此，即可依次推算各待定点八、的高程。如上所述，闭合水准路线的计算方法除高差闭合差的计算有所区别而外，其余与附合路线 的计算完全相同。二 、 举 例 1. 附 合 水 准 路 线 算 例 下图 2-18 所示附合水准路线为例，已知水准点 A、 B 和待定点 1、 2、 3 将整个路线分为四 个测段。Jj =-2. 745Hg. IS. 546mlaa-is附普水淮用线廉侧表2-2附合水准路线计算测段号点名测站数观测高差/m改正数/m改正后高差/m高程/m备注123456781BM18+8.364 0.01439.8331+8.35048.18323 1.433 0.005 1.438234 2.745345+4.661BM2Z20+ 8.847辅助计算=+ 0.034m爲=2顶= 54mm46.745 0.0072.75243.993 0.008+4.65348.646 0.034+8.8131）将点名、各测段测站数、各测段的观测高差陶、已知高程数填入表2-2内相应栏目2、3、 4、 7（如系平地测量，则将测站数栏改为公里数栏，填入各测段公里数；表内加粗字为已知 数据。2）进行高差闭合差计算=（ =8.847（48.646 39.833= + 0.034m由于图中标注了测段的测站数，说明是山地观测，因此依据总测站数起计算高差闭合差的容许值为：了脇= 12乔= 54mm计算的高差闭合差及其容许值填于表2-2下方的辅助计算栏。3）高差闭合差的调整fhWfh容，故其精度符合要求。本例中，将高差闭合差反符号，按下式依次计算各测段的高差改正数 % =-工挖一测站总数，第汀则段测站数）第一测段的高差改正数为： , M34 _松=x 8 = 14mm同法算得其余各测段的高差改正数分别为一5、一7、一8mm，依次列入表2-2中第5栏。 注：1、所算得的高差改正数总和应与高差闭合差的数值相等，符号相反，以此对计算进行 校核。如因取整误差造成二者出现小的较差可对个别测段高差改正数的尾数适当取舍1 mm ，以 满足改正数总和与闭合差数值相等的要求。fk r2、若为平地，高差改正数按各测段长度比例分配：用公式/陶=-计算，式中，険一路线总长；厶一第汀则段长度（kmG =1、2、3.。4）计算待定点的高程将高差观测值加上改正数即得各测段改正后高差：hi 改二hi+/h i i = 1, 2, 3, 4 据此，即可依次推算各待定点的高程。上例计算结果列入表2-2之第6、7栏）。H1二HA+H1 改H2=H1+H2 改HB算）=HB（已知注：改正后的高差代数和，应等于高差的理论值HB-HA）,即：工h改二HB-HA。如不相 等，说明计算中有错误存在。最后推出的终点高程应与已知的高程相等。76a1. *2.5472 闭合水准路线算例 闭合水准路线的计算方法除高差闭合差的计算有所区别而外， 其余与附合路线的计算完全相同。计算时应当注意高差闭合差的公 式为：fh=th测。如图2所示一闭合水准路线，A为已知水准点，A点高程为 51.732m,，其观测成果如图中所示，计算1、2、3各点的高程。表2水准测量成果计算表测段号点名测站数观测高差/m改正数/mm改正后 高差/m高程/m1234567BMA51.732111 1.3520.006 1.346150.386282.1580.0042.162252.548362.5740.0032.577355.12547 3.3970.004 3.393VBMB51.73232 0.0170.0170去“mm辅助计算将图中各数据按高程计算顺序列入表2 进行计算：=mm=68mm计算步骤如下计算实测 高 差之和Sh测=3.766mfh=3.766-3.736=0.030m=30mm计算容许闭合差fh容= 12乔=68mmfhWfh容 ， 故其精度符合要求，可做下一步计算。计算高差改正数高差闭合差的调整方法和原则与符合水准路线的方法一样。本例各测段改正数 vi 计算如/崗二(fh/SnXn1二 ( 17/32X11=6mm/h2二-(fh/SnXn2二(17/32X8=4mm检核S/h=fh=0.030m计算改正后高差h改各测段观测高差 hi分别加上相 应的 改正数后 /hi， 即 得改正后 高差：hl改 二hl+/h1=-1.352+0.006=T.346mh2改二h2+/h2=2.158+0.004=2.162m注：改正后的高差代数和，应等于高差的理论值0,即：工h改=0，如不相等，说明计算 中有错误存在。高程计算测段起点高程加测段改正后高差，即得测段终点高程，以此类推。最后推出的终点高程应与起始点的高H1=HA+h1H2=H1+h2程相改改等。即：=51.732-1.346=50.386m=50.386+2.162=52.548mHA 算 ）计算中应注意各项检核的正确性。=HA( 已知 =51.732m:当前位置：首页复习总结基本计算3下一节、经纬仪测回法测水平角1、基本数据：酬一了测训法视測粧序设卫、0、为地面三点，为测定朝、。&两个方向之间的水平角0,在 O 点安置经纬仪（ 图 3-7 ，采用测回法进行观测。1）上半测回（盘左水平度盘读数：目标川：住1=0 0206，目标 ：对=684918； 2下半测回（盘右水平度盘读数：目标E：爲=2484930，目标小旳=1800224。2、填表与计算：1）将目标A、目标B水平度盘读数填入表3 1第4栏。测站目标竖盘水平度盘读数半测回角值一测回角值位置 / / / 123456A左0 02 06B68 47 12068 49 18A68 47 09180 02 24B右68 47 06248 49 30表3-1水平角观测手簿（测回法备注72）计算半测回角，并将结果填入表3-1第5栏： 盘左： 爲二俎-阳二二阿4卯1別- 0o02f06ff = 阳4卩憎 盘右： 爲二血一勺二 248T49f30ff- 180o02f24ff = 68B47r06ff注：计算角值时，总是右目标读数&减去左目标读数，若&总，贝y应加3阳。3）计算测回角值0,并填入表3-1第6栏。昆+爲=阳卯+舛4T0L = 期兀卯注：1.同一方向的盘左、盘右读数大数应相差180 ；2. 半测回角值较差的限差一般为4；3. 为提高测角精度，观测起个测回时，在每个测回开始即盘左的第一个方向，应旋转度盘180变换手轮配置水平度盘读数，使其递增。各测回平均角值较差的限差一般为2屮。水平角 取各测回角的平均值。二、经纬仪测竖直角竖直角（简称竖角是同一竖直面内目标方向和水平方向之间的角值凉，仰角为正，俯角为 负，其绝对值为。1、竖盘构造 经纬仪竖直度盘固定在横轴一端，随望远镜一道转动，竖盘指标线受竖盘指标水准管控 制，当指标水准管气泡居中时，指标线应在铅垂位置。目标方向可通过竖直度盘（简称竖盘读 取读数始读数），而水平方向的读数已刻在竖盘上。2、竖直角的计算公式图3-9所示竖盘按顺时针方向注记，且望远镜水平时竖盘读数为：盘左为剜，盘右为 270。盘左 验=旳- （3-4盘右 他=应-2利（3-5其平均值为（3-6注：竖盘注记形式不同，计算公式也不同。3、竖直角记录整理举例：设貝点安置经纬仪观测目标、C目标的竖角，观测值如下: 目标E：盘左：竖盘读数为 （设为芬； 盘右：竖盘读数为应（设为27722f54ffo目标C：盘左：竖盘读数为 （设为9941，12；盘右：竖盘读数为应（设为26018，00。1）将竖盘读数填入下表3 4第4栏。表3-4竖直角观测手簿测站目标竖盘竖盘读数半测回竖角指标差一测回竖角备注位置 / / （疋” / 12345678AB左82 37 12+7 22 48右+ 3+7 22 51277 22 54+7 22 54AC左99 41 129 41 12249 41 36右260 18 009 42 00注：盘左视线水平时，竖盘读数为90,视线上斜读数减少。2）计算半测回角，并填入表3 4第5栏中。(3-4盘右 他=应-茁丁（3-53）计算指标差x,填入表3 4第6栏。 指标水准管气泡居中时，指标线如果偏离正确位置，则指标线的偏离角值称为竖盘指标差X。指标差有两种计算方法：(3-12(Z + A)-360B方法 2：(3-134) 计算一测回角，填入表 34 第 7 栏。(3-6注：1、指标差忑对盘左、盘右竖角的影响大小相同、符号相反，采用盘左、盘右取平均的 方法就可以消除指标差对竖角的影响。2、对同一架经纬仪而言，观测不同目标算得的竖盘指标差理应大致相同。该例两个指标差 值之所以相差较大，说明读数中含有较多的观测误差。:当前位置：首页复习总结基本计算 4一、基本计算对精度要求较高的钢尺量距，除应采用经纬仪定线、在钢尺的尺头处用弹簧秤控制拉力等措施而外，还应对丈量结果进行以下三项改正：1、尺长改正设钢尺名义长为為，在一定温度和拉力条件下检定得到的实际长为人，二者之差值即为一 尺段的尺长改正加:山二化(452、温度改正受热胀冷缩的影响，当现场作业时的温度f与检定时的温度环不同时，钢尺的长度就会发生 变化，因而每尺段需进行温度改正比：(4-63、倾斜改正式中= 0.0000125/rc,为钢尺的膨胀系数。设一尺段两端的高差为曲，沿地面量得斜距为将其化为平距 讥图4-6，应加倾斜改正帆。因为曲2 =(+),即有耳=一心一后；又因耳甚小，可近似认为心皿，所以有(4-8以上三项之和即为一尺段的改正数山:血=叫 +(494、尺长方程式尺长随温度变化的函数式称为尺长方程式： =珀+加+凉(f _冷)為(4-7式中温度为f度时钢尺的实际长度；妇一钢尺的名义长度；等式右端后两项实际上就 是钢尺尺长改正和温度改正的组合。5、相对误差为了检核和提高精度，一般需要进行往返丈量，取其平均值作为量距的成果。二兔+兀 (43并以往、返丈量结果的相对误差来衡量其成果的精度。相对误差：I D往-阳(4-4二、举例2 得：/2 = 375.37m /2 = 263.42m 丄例1：钢尺丈量AB的水平距离，往测为375.31m，返测为375.43m；丈量CD的水平距离， 往测为263.37m，返测为263.47m，最后得DAB、DCD及它们的相对误差各为多少 哪段丈量的结 果比较精确解：1水平距离，由 如一AB： DAB =375.31 + 375.43)CD： DCD =263.37 + 263.47)2相对误差，由疋二I。往-兀丨得：AB： KAB= (375.43 375.31/375.37= 1/3128CD： KCD= (263.47 263.37/263.42 = 1/2634KABVKCD,故AB的丈量结果比较精确。例2： 一钢尺名义长妇=30m，实际长 =30.0025m，检定温度 = 20C，作业时的温度和场地 坡度变化都不大，平均温度f = 2壬ETC,尺段两端高差的平均值曲=+0.272m,量得某段距离往测 长=221.756m，返测长。返=221.704m，求其改正后平均长度及其相对误差。解：一尺段尺长改正温度改正倾斜改正三项改正之和叫=30.0025-30.000=+0.0025m 皿=0.0000125 弋弟-20.0)x30.0 =0.002 2m0.2722血用二一2 x 30.0 = 0.0012m加二 0.0025+0.0022 0.0012 = +0.0035m往测长往的改正数及往测长往巧=+0.026m,岛 池21宓+ 0.026 = 221.782m返测长區的改正数及返测长磊山00巧=+0.026山，q =221.704 + 100第二 221.730mD_ 221.782 + 221.730= 221.756m改正后平均长：相对误差：K_ 221.7戏 221.730221.7564260例3：从A点测设长度为140.685m的水平距离AB,初设B点后，测得温度t=23C,AB两点 的高差h=1.168m，已知尺长方程为lt二30 0.0023+1.2X10-5(t 20CX30m,问需沿地面 测设多少长度解：1) AB段三项改正尺长改正 A = 0.0023X140.685/30=0.0108m温度改正 = 1.2X10-5(23C 20CX140.685=0.0051m倾斜改正 = 1.1682/(2X140.685=0.0048m三项之和即AB段的改正数)：山=0.01080.00510.0048)=0.0101m需沿地面测设的长度 DAB=DAB=140.685（ 0.0101= 140.786m:当前位置：首页复习总结基本计算 5诵舉凿當直腸詔鉤第一、基本计算1、观测值中误差的计算设在相同条件下对某量进行了 n次观测，得一组观测值L1、L2、Ln, x为观测值的算 术平均值，丹表示观测值改正数，即乃=齐_厶匕=厶 耳=忙_厶则中误差2、相对中误差的计算所谓相对中误差（简称相对误差就是中误差之绝对值设为|m|）与观测值设为D）之比,并将分子化为1表示:1| m 疋二 1 Di m3、算术平均值及其中误差计算设对某量进行越次等精度观测，观测值为厶G=1、2挖, 疋二厶+込+厶二l其算术平均值为X:+ fn算术平均值中误差mx（其中m为观测值的中误差4、观测值函数中误差计算 观测值的倍数函数、和差函数、线性函数的中误差计算如下表所列。函数名称倍数函数和差函数函数式Z= kxz = xy函数中误差计算式线性函数二、举例例1:对某段距离进行了六次等精度测量，观测值列于表（5-3，试求算术平均值及其中误 差、相对误差和观测值中误差。观测次数观测值/m卩/mm1348.367+72348.359-13348.364+44348.350-105348.366+66348.354-6x = J = 348.360卩=06vv491161003636rVVn=2381、算术平均值vvm = +总一 1= 6.9mm叫=了3、算术平均值中误差：=2.8mm4、算术平均值的相对中误差K=1/1244002、观测值中误差:解：其计算步骤为1. 计算算术平均值xx = 348.360(2计算观测值改正数片叫=厶-忑(i=l、2挖本例计算刃=0，说明检核通过。再计算各丹之平方，得计=238。注：检核：计算刃，看其是否为0。如果由于凑整误差使算得的刃为一微小数值，也应视为计算无误。)(3计算观测值中误差mm(4计算算术平均值中误差=境2.8mm(5计算算术平均值的相对中误差- 348.36/0.0028 - 124400注：因本例为距离测量，所以需进行相对误差的计算，否则，该项计算免去。例2：观测一四边形的三个内角，中误差分别土 4，土5，土 6；贝U第4个角的中误差为 多少？解：第4各角计算式可写为x4 = 360xlx2x3由线性函数中误差计算公式可得:m4= 土42 + 52 + 62) 1/2二土9:当前位置：首页复习总结基本计算 6、基本计算导线内业计算包括角度闭合差的计算和调整、方位角的推算、坐标增量闭合差的计算和调整及未知点的坐标计算。1、角度闭合差的计算和调整1) 角度闭合差计算：a附合导线:CD的方位角推算值氐爲与其已知值若不等，其差值即称为角度闭合差几JL办二CD召恳一(Ug 血 + n x 180(6-3b闭合导线(-2)x180闭合导线角度闭合差为所有内角观测值之和与闭合挖边形内角和理论值-2）x180之差，即(6-82）角度闭合差的调整如果必小于限差，说明观测成果符合要求，但是需要调整。即将角度闭合差按相反符号平 均分配于各角（其分配值即称原角度观测值之改正数。注：分配值一般取整至秒，并使其总和与角度闭合差二者绝对值相等。3 根据改正后的角值，重新计算各边的坐标方位角。根据改正后的角值，重新计算各边的坐标方位角。、最后算得的爲和已知值应完全相 等，可作为检核。氐前=盘更 + 熄 120氐前=用 一Q右土 ISO注：上二式右端，若前两项计算结果1酣，1抄前面用“+”号，否则1测前面用“一” 号。2、坐标增量闭合差的计算合调整1）坐标闭合差计算坐标增量闭合差是末端已知点坐标的计算值心、兀和已知值住、兀之差（分别称为纵坐标 增量闭合差和横坐标增量闭合差厶:(M-1fy = ycyc =(yc 力)2-1(6-4aA）附合导线(6-4bb闭合导线闭合导线的起、终点为同一点，故将公式（6-4式右端之第 2 项均改为 0，即为闭合导线坐 标增量闭合差。2）闭合差调整A）根据人、匚计算导线全长闭合差了和全长相对闭合差K：1/1 _ I刀八沪|门(6-6如果疋小于限差，说明观测成果符合要求，但亦需要调整。b）将纵、横坐标增量闭合差Z、厶反号，按与边长成比例分配于各边的坐标增量中 其分配值（即原纵、横坐标增量值之改正数、 按下式计算：式中，2为第条边边长。 注：纵、横坐标增量改正数之的总和应分别等于纵、横坐标增量闭合差，而符号相反，用 于检核。3 计算待定导线点坐标 坐标增量闭合差调整后，根据起始点的已知坐标和经改正后的坐标增量计算各待定导线点 的坐标。注：最后算得的末端点x、/坐标应和其已知值完全相符合，再次检核。二、举例例1 已知四边形闭合导线内角的观测值见下表，试进行角度闭合差计算和调整，并推算出 各边的坐标方位角。点号观测值右角）改正数改正后角值坐标方位角（， （， （， （，1 1121523 123 10212 6714123 5415204 1261525Efp = 6（A 厉=解：1）计算角度闭合差邛 i=36000/20* =2）如=20 5 = 4）如=叭厉=120邙V邙 允，精度符合要求。2）调整角度闭合差 将角度闭合差按相反符号平均分配于各角：20/4=5。计算改正后角值各内角值p i=0 i +一5）3）推算各边方位角因角度观测值为右角，故应用公式前=弘一推算各边方位角。计算时应注意公式右端，若前两项计算结果1酣，前面用“ + ”号，否则1酣前面用“一”号。已知 a 12 = 100 00/00故 a 23=a 12 + p 2,=100 00,0076714,07v+180=212 45,537 a 34=a 23 + p 3,=212 45,5375415,157+180=158 30,387 a 41=a 34+p 4,=158 30,38712615,207+180=21215,187 a 12=a 41 + p 1,=21215,18711215,187+180=100 00,007 a 12推算结果与已知值a 12 = 100 00/00相同，说明计算无误。如下所示，计算成果填入表中。点号观测值右角）0 i改正数（，1112 15 235267 14 125354 15 2054126 15 255360 00 2020Ef, = XA2-1改正后角值0 i（，112 15 1867 14 0754 15 15126 15 20360 00 00坐标方位角（，100 00 00212 45 53338 30 3832 15 18100 00 00-2）x130=20120:当前位置：首页一复习总结一基本计算7一、基本计算1、坐标反算如图，已知A、B两点坐标值，确定直线长度和方向。 根据A、B两点坐标值，代入下面公式：a确定直线长度水平距离）%b确定直线方向方位角）：注：计算血时往往得到的是象限角的数值，必须参照表1-51-4，先根据、心 的正、负号，确定直线貝&所在的象限，再将象限角化为坐标方位角。0B -9第一象限）90 -第二象限）180 -270第三象限）270 - 360a第四象限）坐标方位角血及其所在象限%血之符号+象限象限角应与方位角2换算公式第一象限NE)a R第二象限SE)jlSO B_R第三象限SW)d 180 ,=十R第四象限 = arctan一10） /30由YPYAV0，XPXA0可知，a AP属于第四象限S = %一应）。故 a AP = 360arctan10/30 = 36018 26/=34134/0 =a APa AB=d= （XPXA2 +YPYA） 2l/2= （102 + 302l/2 = 31.623m测设方法：在A点安置经纬仪，以B点为0方向后视B点，将水平度盘设置为0 00/00。），测设水平角0 0为由0方向顺时针转向待测方向的角度），定出P点的方 向，再沿AP方向线测设水平距离d。即可定出P点。申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途