清华大学大物课件

第九章第九章 振振 动动前言1、振动是物质的普遍运动形式2、某物理量在某一值附近作周期性变化振动机械振动：物体在某一位置附近作周期往复运动电磁振荡：电场、磁场随时间作周期性 变化 简谐运动简谐运动 最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成分解分解傅里叶分析傅里叶分析tAxcos物理量是时间的简谐函数（余弦或正弦）一、简谐运动的 基本特征例子：一维简谐的机械振动1、运动学特征tAdtdxvsinxtAdtxda2222costoxtovtoa图示 等图线tatvtx,)0(2、动力学特征kxxmmaF2xtAdtxdxa2222cos 02xx mk线性回复力线性回复力振动的成因：振动的成因：回复力回复力+惯性惯性kxxmmaF2kl0 xmoAA3 3、能量特征、能量特征221)(kxxEkxFp作作简谐简谐运动的系统是运动的系统是保守系统：势能保守系统：势能为二次方为二次方形式，形式，机械能守恒机械能守恒.简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒简谐运动能量守恒kEpEx222212121kAkxmvEAApExOEBC能量守恒能量守恒简谐运动方程简谐运动方程推导推导常量222121kxmEv0)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0dd22xmktx二、简谐运动的特征量二、简谐运动的特征量tAxcos1 1、圆频率、圆频率 2 2、振幅、振幅 A A3 3、初相位、初相位 mk222212121kAmvkxE 相位相位的意义的意义:表征任意时刻（表征任意时刻（t）物体）物体振动状态振动状态.物体经一周期的振动，相位改变物体经一周期的振动，相位改变 .2tt)(相位相位coscosAtAxsinsinAtAv人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全。人有悲欢离合，月有阴晴圆缺，此事古难全。Ax0cos00tanxv000vv xxt初始条件初始条件)sin(tAv)cos(tAx 对给定振动系统，圆频率对给定振动系统，圆频率、周期周期T、频率频率 由系统本身性质决定，振幅由系统本身性质决定，振幅A和初相和初相 由初始条件由初始条件x=x0,v=v0决定决定.Av0sin)0(0时，t初相位初相位cos0A2 0,0,00vxt已知已知 求求讨论讨论xvo)2 cos(tAxtx图图AA xT2Tto0sin0Av0sin取取2三、简谐运动的几何表示：旋转矢量三、简谐运动的几何表示：旋转矢量代数表示代数表示tAxcos复数表示复数表示tiAez图像表示图像表示tx图图AA xT2Tto矢量表示矢量表示oAtt t)cos(tAxxxoAcos0Ax 0t0 x1、旋转矢量、旋转矢量 自自Ox轴的原点轴的原点O作一矢量作一矢量 ，使使它的模等于振动的它的模等于振动的振幅振幅A，并使矢量并使矢量 在在 Oxy平面内绕点平面内绕点O作作逆时针逆时针方向的方向的匀角速转动匀角速转动，其角其角速度速度 与振动频率与振动频率相等相等，这个矢量就这个矢量就叫做叫做旋转矢量旋转矢量.AA 以以 为原为原点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在 轴轴上的投影点的上的投影点的运动为简谐运运动为简谐运动动.xAooAtt t)cos(tAxx)cos(tAx 以以 为原为原点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在 轴轴上的投影点的上的投影点的运动为简谐运运动为简谐运动动.xAo用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图tx 2、旋转矢量法的应用（1）旋转矢量端点在 轴上投影点的运动，形象而直观地展示了简谐运动。ox（2）旋转矢量把描述简谐运动的三个物理量 直观地表示出来),(tA（3）用旋转矢量 与 轴夹角表示相位，不仅相位计算方便，而且有助于对相位概念的理解Aox（4）旋转矢量为振动合成提供了直观的几何方法讨论讨论 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差 （1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间两运动状态间变化所需的时间)()(12tt12ttt)cos(11tAx)cos(22tAxAx2Atobaat3TTt61232AvAxAoAbt （2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位的简谐运动，相位差表示它们间差表示它们间步调步调上的上的差异差异（解决振动合成（解决振动合成问题）问题）.12)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt0 xto同步同步xto为其它为其它超前超前落后落后12txo反相反相xyotArvatAxcos一维简谐运动一维简谐运动tAvsintAacos22costAtAcos2 例例 1 1 一质量为一质量为0.01 kg的物体作简谐运动，的物体作简谐运动，其振幅为其振幅为0.08 m，周期为，周期为4 s，起始时刻物体在，起始时刻物体在x=0.04 m处，处，向向ox轴负方向运动（如图）轴负方向运动（如图）.试求试求 （1）t=1.0 s时，物体所处的位置和所时，物体所处的位置和所受的力；受的力；o08.004.004.008.0m/xv例例1 1：根据运动状态确定相位：根据运动状态确定相位o08.004.004.008.0m/xm 04.00 xt，代入代入)cos(tAxA3300v解解1s 22Tm 08.0As 4,m 08.0,kg 01.0TAm已知已知0,m 04.0,00vxt求（求（1）Fxt,s 0.13o08.004.004.008.0m/xvkg 01.0ms 0.1t代入上式得代入上式得m 069.0 xxmkxF2)32cos(08.0txN 1070.13可求（可求（1）Fxt,s 0.13o08.004.004.008.0m/x3起始时刻起始时刻 时刻时刻tt3ts 667.032t1srad 23 （2）由起始位置运动到由起始位置运动到x=-0.04 m处所需处所需要的最短时间要的最短时间.例2、已知物体作简谐运动的 图线，试根据图线写出其振动方程 st mx04.002.0002.004.02例例2 2：根据运动曲线确定相位：根据运动曲线确定相位yxaabbov方法方法I：旋转矢量法：旋转矢量法初相的确定：时质点位 于点向轴负方向运动，则对应的旋转矢量位于位置，所以初相位0taxa32yxaabbov角频率的确定：时，质点位于点向轴正方向，对应的旋转矢量位于位置，可见矢量旋转，则角频率为st2bxb2t 1 两个同方向同频率简谐振动的合成两个同方向同频率简谐振动的合成 *2 2 多个同方向同频率简谐运动的合成多个同方向同频率简谐运动的合成3 3 两个同方向不同频率简谐运动的合成两个同方向不同频率简谐运动的合成 *4 4 两个相互垂直的同频率的简谐运两个相互垂直的同频率的简谐运动的合成动的合成四、振动合成 1 两个同方向同频率简谐振动的合成两个同方向同频率简谐振动的合成 设一质点同时参与设一质点同时参与两独立的同方向、同频两独立的同方向、同频率的简谐振动：率的简谐振动：11A1xx02x2A2)cos(111tAx)cos(222tAx两振动的位相差两振动的位相差 =常数常数12 两个两个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成后仍为后仍为同同频率的频率的简谐简谐运动运动)cos(212212221AAAAA)cos(tAx11A1xx0Ax21xxx2x2A222112211coscossinsintanAAAAtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT（1）相位差相位差212k),2 1 0(，kxxxto)cos()(12tAAxT2A21AA（2）相位差相位差)12(12k),1 0(，ktAxcos11)cos(22tAx21AAA2ox（3）一般情况一般情况2121AAAAA21AAA21AAA加强加强减弱减弱小结小结（1）相位差相位差212k)1 0(，k（2）相位差相位差)12(12k)1 0(，k11Axo *2 2 多个同方向同频率简谐运动的合成多个同方向同频率简谐运动的合成2A23A3A 多多个个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成仍为仍为简谐简谐运动运动)cos(tAxnxxxx21)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(nnntAx1A2A3A4Axo5AAxO1A2A3A4A5A6A讨讨论论tAxcos01)cos(02tAx)1(cos0NtAxN)2cos(03tAx),2,1,(kkNk(2)2kN(1)2 k),2,1,0(k0NAAAii0AtAxcos01)cos(02tAx)1(cos0NtAxN)2cos(03tAx)cos(tAx)2sin()2sin(0NAA21N3 3 两个同方向不同频率简谐运动的合两个同方向不同频率简谐运动的合成成 频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同方同方向向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫加强时而减弱的现象叫拍拍.tAtAx111112coscostAtAx222222coscos21xxx讨论讨论 ,的情况的情况 21AA 2112合振动频率合振动频率振幅部分振幅部分 方法一方法一振幅振幅 振动频率振动频率tAtAxxx2211212cos2costtAx22cos)22cos2(12121tAA22cos21212)(211max2AA0minA拍频拍频（振幅变化的频率）（振幅变化的频率）2212T121T12ttAx22cos)22cos2(12121 方法二：旋转矢量合成法方法二：旋转矢量合成法021t)(212xo2A2x2xA1A1x111t)()(1212t22t12振幅振幅 振动圆频率振动圆频率2A2x2xAxo1A1x112t1t)(12t2)2cos(2121tAAxxt21cos221拍频拍频12)cos1(21 AA