系统的数学模型-课件

系统的数学模型研究与分析一个系统,不仅要定性地了解系统的工作原理及其特性,而且更要定量地描述系统的动态性能,揭示系统的结构、参数与动态性能之间的关系。这就要求建立系统的数学模型。本章将重点讲解系统微分方程的列写以及传递函数的求取。3、1 概述3、1 概述一、数学模型的概念1、数学模型:描述系统特性、揭示变量之间的关系的数学表达式。或者说是系统动态特性的数学表达式。2、系统数学模型的建立方法:二、线性系统与非线性系统 线性定常系统:用线性常微分方程描述的系统线性时变系统:描述系统的线性微分方程的系数为时间的函数非线性系统:用非线性方程描述的系统3、1 概述系统的线性性质就是满足叠加原理。关于一个线性系统来说,各输入产生的输出是互不影响的。因此,在分析多个输入作用在线性系统上引起的总输出时,能够先分析单个输入产生的输出,然后把这些输出叠加起来即可。即使输入作用在不同的部位,也一样如此。本课程研究的系统主要是线性(定常、连续)系统。3、1 概述3、2 系统的微分方程u微分方程:时域中描述系统动态特性的数学模型。u列写微分方程目的就是要确定系统输入与输出的函数关系式。u其一般步骤为:力学中牛顿定律、电路中基尔霍夫定律、能量守恒定律 一、常见系统微分方程的建立1、机械系统典型元件所遵循的物理定律3、2 系统的微分方程3、2 系统的微分方程3、2 系统的微分方程 直线运动3、2 系统的微分方程u包含要素:质量m、弹簧k、粘性阻尼Bu假定:系统的初始状态都是平衡状态,也就是说不用考虑系统的初始压力变形等特征。u列写微分方程通常利用机械动力学中的达朗贝尔原理:3、2 系统的微分方程正方向m3、2 系统的微分方程m正方向3、2 系统的微分方程O1O2O1O2x1系统的输入为位移x,输出为唯一y由于弹簧是压缩或拉伸量,阻尼是相对速度量,从已知变量中无法确定弹簧k、阻尼B的反作用力,因此,必须设一个中间变量。列写微分方程O1:O2:消除中间变量x1,并整理得例 列写如图所示的机械系统输入力 f 和输出位移 x2 之间的运动微分方程。3、2 系统的微分方程m1m2x1确定系统的输入、输出列写微分方程消除中间变量x1,并整理(略)设中间变量为x1,且假设x1x2对质量块m1、m2进行受力分析m1:m2:正方向3、2 系统的微分方程课堂练习:(b)(a)(c)(d)(e)(f)3、2 系统的微分方程(b)(a)mm3、2 系统的微分方程(d)(c)OO2O1OO1O2x1(e)(f)3、2 系统的微分方程OO1O2x1x2O1O2OOO 回转运动3、2 系统的微分方程3、2 系统的微分方程Jfmf系统的输入为转矩T,输出为位移x列写微分方程消除中间变量,并整理得J:m:设中间变量为f、，对卷筒J、质量块m进行受力分析例:如图所示机械卷筒系统,输入转矩T作用于图中所示的轴上,通过卷筒上钢索带动质量m作直线运动,其位移x为输出,卷筒惯量为J,求系统微分方程。3、2 系统的微分方程2、电网络系统电容电感电阻u列写电网络微分方程通常利用如下定律:基尔霍夫电流定律若电路有分支路,则汇集到某节点 A 的所有电流之代数和应等于零,即所有流出节点的电流之和等于所有流进节点的电流之和。3、2 系统的微分方程 基尔霍夫电压定律电网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和。3、2 系统的微分方程确定系统的输入、输出列写原始微分方程整理(略)例:列写如图所示的电网络微分方程。,关于电路中的节点A,依照基尔霍夫电流定律,有代入得3、2 系统的微分方程确定系统的输入、输出列写原始微分方程整理(略)例:列写如图所示的电网络微分方程。设流经回路的电流为i,依照基尔霍夫电压定律,有i3、2 系统的微分方程确定系统的输入、输出列写原始微分方程消除中间变量i1、i2,整理得例:列写如图所示的电网络微分方程。引入中间变量i1、i2,则有i2i1关于回路:关于回路:基尔霍夫电流定律基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律3、2 系统的微分方程课堂练习:(c)(a)(b)(d)3、2 系统的微分方程(a)(b)i(a)ii积分电路微分电路u依照基尔霍夫电压定律:u依照基尔霍夫电压定律:(c)(d)3、2 系统的微分方程微分电路u依照基尔霍夫电流定律:i1i2ii1i2iu依照基尔霍夫电流定律:超前-滞后滤波电路3、3 系统的传递函数一、传递函数的基本概念1、定义u零初始条件下,线性定常系统输出的拉氏变换Y(s)与输入的拉氏变换X(s)之比,称为该系统的传递函数G(s)。关系式3、3 系统的传递函数或传递函数方框2、传递函数的主要特点3、3 系统的传递函数相似系统相似系统:能用相同形式的数学模型表示的系统3、3 系统的传递函数相似系统举例微分方程为:两边取拉氏变换:传递函数为:3、3 系统的传递函数相似系统举例列写原始微分方程:消除中间变量,并整理:两边取拉氏变换:传递函数为:i3、3 系统的传递函数相似系统举例3、3 系统的传递函数3、传递函数的零点和极点3、3 系统的传递函数3、传递函数的零点和极点关于或称为增益,3、3 系统的传递函数3、传递函数的零点和极点极点:决定系统瞬态响应的收敛性,即影响系统的稳定性。零点:影响系统瞬态响应曲线的形状,不影响系统的稳定性。放大系数(增益):决定系统系统的稳态输出值。u系统传递函数的零点、极点和放大系数决定着系统的瞬态响应和稳态性能。u对系统的研究能够转化为对系统传递函数零点、极点和放大系数的研究。j 0 j 0 j 0ty(t)0ty(t)0ty(t)0例:求图示电网络系统的传递函数3、3 系统的传递函数3、3 系统的传递函数u关于一个复杂系统来说,通常能够分为几个基本环节的组合,这些基本环节统称为典型环节。常见的典型环节有比例环节、积分环节、微分环节、惯性环节、一阶微分环节、振荡环节、二阶微分环节和延时环节等。3、3 系统的传递函数二、典型环节的传递函数3、3 系统的传递函数1、比例环节u微分方程:u传递函数:u方块图:u特点:输出量与输入量成正比不失真,不延迟例:齿轮传动u微分方程:u传递函数:3、3 系统的传递函数2、积分环节u微分方程:u传递函数:u方块图:u特点:输出量输出量取决于输入量对时间的积累过程,且具有记忆功能;具有明显的滞后作用;积分环节常用来改善系统的稳态性能。例如:当输入量为常值 A 时,输出量须经过时间T才能达到输入量在t=0时的值 A。节流阀节流阀qi(t)qo(t)h(t)例:图示水箱液面高度h(t)与进出口流量差q(t)的关系,水箱的截面积为A。u微分方程:u传递函数:3、3 系统的传递函数3、3 系统的传递函数3、惯性环节u微分方程:u传递函数:u方块图:u特点:存在储能元件和耗能元件;在阶跃输入作用下,输出不能马上达到稳态值。为什么称为惯性环节呢？r(t)t0c(t)1r(t)c(t)例:图示RC电网络系统。u微分方程:u传递函数:3、3 系统的传递函数消除中间变量得:储能元件:电容C耗能元件:电阻Ri例:图示弹簧-阻尼系统。3、3 系统的传递函数u微分方程:u传递函数:储能元件:弹簧k耗能元件:阻尼B3、3 系统的传递函数4、微分环节u微分方程:u传递函数:u方块图:u特点:实际物理系统中微分环节不独立存在,而是和其它环节一起出现;实际中常用含有惯性的微分环节,称之为惯性微分环节;微分环节常用来改善系统的动态性能。i例:图示CR电网络系统。u微分方程:u传递函数:3、3 系统的传递函数由微分环节和惯性环节组成3、3 系统的传递函数5、一阶微分环节u微分方程:u传递函数:u方块图:u特点:实际物理系统中微分环节不独立存在,而是和其它环节一起出现;一阶微分环节常用来作为校正环节。例:图示电网络系统。u微分方程:u传递函数:3、3 系统的传递函数由比例环节、一阶微分环节和惯性环节组成i1i2i令：3、3 系统的传递函数6、振荡环节(二阶振荡环节)u微分方程:u传递函数:u方块图:标准形式u特点:存在2个储能元件和1个耗能元件;由于2个储能元件之间有能量交换,使系统的输出发生振荡;由于存在耗能元件,振荡是逐渐衰减的;输出的振荡程度取决于阻尼比的大小。1r(t)r(t)t0c(t)c(t)3、3 系统的传递函数单位阶跃响应极点位置特征根阻尼比单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根 衰减振荡一对共轭复根(左半平面）等幅周期振荡一对共轭虚根 3、3 系统的传递函数两边取拉氏变换:例:图示机械系统。u微分方程:u传递函数:例:图示RLC电网络系统。u微分方程:u传递函数:3、3 系统的传递函数L+-CRi3、3 系统的传递函数7、二阶微分环节u微分方程:u传递函数:u方块图:u特点:实际物理系统中二阶微分环节不独立存在,而是和其它环节一起出现。例:图示超前-滞后电网络系统。u微分方程:u传递函数:3、3 系统的传递函数i1i2i由二阶微分环节和振荡环节组成3、3 系统的传递函数8、延时环节u微分方程:u传递函数:u方块图:u特点:当环节收到输入信号的作用,经过一段时间后,输出端才完全复现输入信号。r(t)t0c(t)1c(t)r(t)3、3 系统的传递函数u延时环节与惯性环节的区别:r(t)t0c(t)1r(t)c(t)惯性环节从输入开始时刻起就已有输出,仅由于惯性,输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值;延时环节从输入开始之初,在0时间内,没有输出,但 t=之后,输出完全等于入。r(t)t0c(t)c(t)r(t)13、4 传递函数方块图及其简化一、传递函数方块图1、定义2、方块图的结构要素u方块单元:指向方块的箭头表示输入,从方块图出来的箭头表示输出,输入、输出、传递函数三者之间构成一种运算关系。u相加点(或比较点):由一个输出端,若干个输入端构成,输出端的量等于所有输入端量的代数和,也是一种运算关系。+ABCA+B-Cu信号线:线带有箭头的直线,箭头表示信号的传递方向,直线旁标记信号的象函数。u分支点:在一个信号线上面另外引出一个分支。u系统数学模型的一种图解表示方法,提供了关于系统动态性能的有关信息,描述了系统内部各环节、各变量之间的相互关系以及信号信号在系统中的传递、变换过程。3、4 传递函数方块图及其简化二、动态系统的构成u各个环节的传递函数一个个顺序连接,或者说前一个环节的输出是后一个环节的输入,称为串联。1、串联连接u当系统是由 n 个环节串联而成时,总传递函数为3、4 传递函数方块图及其简化u几个环节的输入相同,输出相加或相减的连接形式,称为并联。2、并联连接u当系统是由 n 个环节并联而成时,总传递函数等于各并联环节传递函数的代数和,即+(-)3、4 传递函数方块图及其简化u将系统或某一环节的输出量,全部或部分地通过传递函数反馈到输入端,重新输入到系统中去的连接形式,称为反馈连接。3、反馈连接(+)+反馈信号偏差信号前向通道传递函数前向通道传递函数:以偏差信号E(s)作为输入,以系统的输出Y(s)作为输出。3、4 传递函数方块图及其简化(+)+反馈信号偏差信号反馈通道传递函数前向通道传递函数反馈通道传递函数:以系统的输出Y(s)作为输入,以反馈信号B(s)作为 输出。开环传递函数:以偏差信号E(s)作为输入,以反馈信号B(s)作为输出。闭环传递函数:以系统的输入X(s)作为输入,以系统的输出Y(s)作为输出。3、4 传递函数方块图及其简化等效变换(+)+单位反馈:反馈通道传递函数H(s)=1的反馈连接。第三次例:求图示闭环系统的传递函数。3、4 传递函数方块图及其简化3、4 传递函数方块图及其简化3、4 传递函数方块图及其简化3、4 传递函数方块图及其简化例:求图示干扰作用下闭环系统的总输出量。X(s)=03、4 传递函数方块图及其简化N(s)=03、4 传递函数方块图及其简化3、4 传递函数方块图及其简化三、方块图的简化规则u分支点前移1、分支点移动规则为了保持移动后分支信号X3不变,移动的分支应串入相同的传递函数G(s)。3、4 传递函数方块图及其简化u分支点后移1、分支点移动规则为了保持移动后分支信号X3不变,移动的分支应串入相同的传递函数的倒数,即1/G(s)。3、4 传递函数方块图及其简化u相加点前移2、相加点移动规则若相加点逆着信号流向,从某方块后移到该方块前,为了保持总的输出信号X3不变,移动后应在移动的相加(减)支路上串入相同的传递函数的倒数,即1/G(s)。+3、4 传递函数方块图及其简化u相加点后移2、相加点移动规则+若相加点顺着信号流向,从某方块前移到该方块后,为了保持总的输出信号X3不变,应在移动分支上串入相同的传递函数G(s)。3、4 传递函数方块图及其简化u相加点之间3、相加点之间、分支点之间相互移动规则相加点之间、分支点之间相互移动,均不改变原有的数学关系,因此能够相互移动。+u分支点之间相加点、分支点两者之间不能相互移动。分支点之间或相加点之间的移动,中间不能有传递函数方框。3、4 传递函数方块图及其简化u明确系统的输入和输出。关于多输入多输出系统,针对每个输入及其引起的输出分别进行简化;4、一般系统方块图的简化方法u若系统传递函数方块图内无交叉回路,则依照环节串联、并联及反馈连接的等效原则,从里到外进行简化;u若系统传递函数方块图内有交叉回路,则依照相加点、分支点等移动规则首先消除交叉回路,然后按步骤2进行简化。例:利用方块图简化规则,求图示系统传递函数。3、4 传递函数方块图及其简化相加点前移分支点后移3、4 传递函数方块图及其简化3、4 传递函数方块图及其简化3、4 传递函数方块图及其简化例:利用方块图简化规则,求图示系统传递函数。3、4 传递函数方块图及其简化3、4 传递函数方块图及其简化例:利用方块图简化规则,求图示系统传递函数。相加点前移3、4 传递函数方块图及其简化3、4 传递函数方块图及其简化3、4 传递函数方块图及其简化3、4 传递函数方块图及其简化分支点后移课堂练习:相加点前移3、4 传递函数方块图及其简化课堂练习:3、4 传递函数方块图及其简化四、系统方块图的画法及传递函数的求取u确定系统的输入和输出;u列写系统原始微分方程;u依照信号的传递与交互过程,依次连接上述各方块图,从而构成整个系统的传递函数方块图;u在初始条件为零的情况下,对各原始微分方程分别进行拉氏变换;u依照因果关系(比如说,一个变量是导致另一个变量的原因,那么这个变量就是局部环节的输入),将各个环节拉氏变换的结果表示成传递函数方块图的形式,也就是构建各个环节的传递函数方块图;u利用方块图的简化规则,求取整个系统的传递函数。步骤:例:画出图示电网络系统方块图,并求其传递函数。3、4 传递函数方块图及其简化iCiRi确定系统的输入、输出列写原始微分方程对各原始微分方程取拉氏变换3、4 传递函数方块图及其简化感谢您的聆听！