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数学物理方程答案 数 学 物理方程 第二版答案 第一章 波 动 方程 1 方 程 的 导出 。定 解条 件 1 细杆 （或 弹簧 ） 受某 种外 界原 因而 产生 纵向 振动 ， 以 u(x,t) 表示 静止 时 在 x 点处的点 在时刻 t 离开原来位置的偏移， 假设振动过程发生的张力服从虎克定律， 试证明 ) , ( t x u 满足 方程 x u E x t u x t 其中 为杆的密度，E 为杨氏模量。 证： 在杆 上任 取一 段， 其中 两端 于静 止时 的坐标分别为 x 与 x x 。 现在 计算 这段 杆 在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： ) , ( ); , ( t x x u x x t x u x 其相对伸长等于 ) , ( ) , ( ) , ( t x x u x x t x u x t x x u x x x 令 0 x ，取极限得在点x 的相对伸长为 x u ) , ( t x 。由虎克定律，张力 ) , ( t x T 等于 ) , ( ) ( ) , ( t x u x E t x T x 其中 ) (x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为 ), (x S 则作用在杆段 ) , ( x x x 两端的力分别为 x u x S x E ) ( ) ( x u x x S x x E t x ) ( ) ( ); , ( ). , ( t x x 于是得运动方程 tt u x x s x ) ( ) ( x ESu t x ) , ( x x x x x ESu x x | ) ( | ) ( 利用微分中值定理，消去 x ，再令 0 x 得 tt u x s x ) ( ) ( x x ESu ( ) 若 ) (x s 常量，则得 2 2 ) ( t u x = ) ) ( ( x u x E x 即得所证。 2 在杆 纵向 振动 时， 假设(1) 端点固定，(2) 端点自由， (3) 端点固定在弹性支承上， 试 分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 数学物理方程答案 解：(1) 杆的两端被固定在 l x x , 0 两点则相应的边界条件为 . 0 ) , ( , 0 ) , 0 ( t l u t u (2) 若 l x 为自 由端 ， 则杆 在 l x 的张力 x u x E t l T ) ( ) , ( | l x 等于 零， 因此 相应 的边界条件为 x u | l x =0 同理，若 0 x 为自由端，则相应的边界条件为 x u 0 0 x (3) 若 l x 端固定在弹性支承上， 而弹性支承固定于某点， 且该点离开原来位置的 偏移由函数 ) (t v 给出，则在 l x 端支承的伸长为 ) ( ) , ( t v t l u 。由虎克定律有 x u E ) ( ) , ( t v t l u k l x 其中k 为支承的刚度系数。由此得边界条件 ) ( u x u ) (t f l x 其中 E k 特别地，若支承固定于一定点上，则 , 0 ) ( t v 得边界条件 ) ( u x u 0 l x 。 同理，若 0 x 端固定在弹性支承上，则得边界条件 x u E ) ( ) , 0 ( 0 t v t u k x 即 ) ( u x u ). ( 0 t f x 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 2 2 2 2 ) 1 ( ) 1 ( t u h x x u h x x E 其中h 为圆锥的高(如图 1) 证：如图，不妨设枢轴底面的 半径为 1 ，则x 点处截面的半径l 为： h x l 1 所以截面积 2 ) 1 ( ) ( h x x s 。利用第 1 题，得 ) 1 ( ) 1 ( ) ( 2 2 2 2 x u h x E x t u h x x 若 E x E ) ( 为常量，则得 2 2 2 2 ) 1 ( ) 1 ( t u h x x u h x x E 数学物理方程答案 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固 定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡 位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图 2，设弦长为l ，弦的线密度为 ，则x 点处的张力 ) (x T 为 ) ( ) ( x l g x T 且 ) (x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。 仍以 ) , ( t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直 于x 轴方向的位移，取弦段 ), , ( x x x 则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为 ) ( sin ) ( ( ); ( sin ) ( x x x x l g x x l g 其中 ) (x 表示 ) (x T 方向与x 轴的夹角 又 . sin x u tg 于是得运动方程 x u x x l t u x ) ( 2 2 x u x l g x x g x 利用微分中值定理，消去 x ，再令 0 x 得 ) ( 2 2 x u x l x g t u 。 5. 验证 2 2 2 1 ) , , ( y x t t y x u 在锥 2 2 2 y x t 0 中都满足波动方程 2 2 2 2 2 2 y u x u t u 证：函数 2 2 2 1 ) , , ( y x t t y x u 在锥 2 2 2 y x t 0 内对变量 t y x , , 有 二阶连续偏导数。且 t y x t t u 2 3 2 2 2 ) ( 2 2 5 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 ) ( 3 ) ( t y x t y x t t u ) 2 ( ) ( 2 2 2 2 3 2 2 2 y x t y x t x y x t x u 2 3 2 2 2 ) ( 数学物理方程答案 2 2 5 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 x y x t y x t x u 2 2 2 2 5 2 2 2 2 y x t y x t 同理 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 2y x t y x t y u 所以 . 2 2 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 2 2 t u y x t y x t y u x u 即得所证。 6. 在单性杆纵振动时, 若考虑摩阻的影响, 并设摩阻力密度涵数( 即单位质量所受的摩阻力) 与杆件在该点的速度大小成正比( 比例系数设为 b), 但方向相反, 试导出这时位移函数所满足 的微分方程. 解: 利用第 1 题的推导, 由题意知此时尚须考虑杆段 x x x , 上所受的摩阻力. 由题设, 单位质量所受摩阻力为 t u b , 故 x x x , 上所受摩阻力为 t u x x s x p b 运动方程为: t u x x s x b x x u ES t u ES t u x x s x x x 2 2 利用微分中值定理，消去 x , 再令 0 x 得 . 2 2 t u x s x b x u ES x t u x s x 若 ) (x s 常数，则得 t u x b x u E x t u x 2 2 若 则得方程 令 也是常量 是常量 , . , 2 E a E x E x . 2 2 2 2 2 x u a t u b t u 2 达 朗 贝尔 公式 、 波的传抪 1. 证明方程 数学物理方程答案 常数 0 1 1 1 2 2 2 2 2 h t u h x a x u h x x 的通解可以写成 x h at x G at x F u 其中 F,G 为任意的单变量可微函数, 并由此求解它的初值问题: . , : 0 x t u x u t 解：令 v u x h 则 x v u x h x u x h x v u x u x h 2 , ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 x v u x h x u x h x u x h x v u x u x h x 又 2 2 2 2 t v t u x h 代入原方程，得 2 2 2 2 2 1 t v x h a x v x h 即 2 2 2 2 2 1 t v a x v 由波动方程通解表达 式得 at x G at x F t x v , 所以 x h at x G at x F u 为原方程的通解。 由初始条件得 ) 1 ( 1 x G x F x h x x aG x aF x h x / / 1 数学物理方程答案 所以 ) 2 ( 1 0 c d h a x G x F x x 由 ) 2 ( ), 1 ( 两式解出 2 2 1 2 1 c d h a x x h x F x x o 2 2 1 2 1 c d h a x x h x G x x o 所以 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 ) , ( at x at x h at x at x h x h t x u + at x at x h x h a ( ) ( ) ( 2 1 . ) d 即为初值问题的解散。 问初 始条 件 ) (x 与 ) (x 满足怎样的条件时， 齐 次波动方程初值问题的解仅由右传 播波组成？ 解：波动方程的通解为 u=F(x-at)+G(x+at) 其中 F ，G 由初始条件 ) (x 与 ) (x 决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对 于任何 t x, 有 G(x+at) 常数. 即对任何 x, G(x) C 0 又 G （x）= x x a C d a x 0 2 ) ( 2 1 ) ( 2 1 所以 ) ( ), ( x x 应满足 ) (x x x C d a 0 1 ) ( 1 （常数） 或 (x)+ ) ( 1 x a =0 3. 利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） ). ( ) ( 0 0 2 2 2 2 2 x u x u x u a t u at x at x ) 0 ( ) 0 ( 数学物理方程答案 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 ) (x =F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 ) (x =F （2x）+G(0) 所以 F(x)= ) 2 ( x -G(0). G （x）= ) 2 ( x -F(0). 且 F （0）+G(0)= ). 0 ( ) 0 ( 所以 u(x,t)= ( ) 2 at x + ) 2 ( at x - ). 0 ( 即为古尔沙问题的解。 4对非齐次波动方程的初值问题 ) ( ) ( ), ( , 0 ) , 0 ( ) , ( 2 2 2 2 2 x x t u x u t x t t x f x u a t u 证明： （1） 如果初始条件在 x 轴的区间x 1 ,x 2 上发生变化，那末对应的解在区间 1 x ， 2 x 的影响区域以外不发生变化； （2） 在 x 轴区间 2 , 1 x x 上所给的初始条件唯一地确定区间 2 1 ,x x 的决定区 域中解的数值。 证： （1） 非齐次方程初值问题的解为 u(x,t)= at x at x a at x at x 2 1 ) ( ) ( 2 1 d ) ( + t t a x t a x d d f a 0 ) ( ) ( . ) , ( 2 1 当初始条件发生变化时，仅仅引起以上表达式的前两项发生变化，即仅仅影晌到相应齐 次方程初值的解。 当 ), (x ) (x 在 2 , 1 x x 上发 生变 化， 若对 任何 t0, 有 x+atx 2 , 则区间x-at,x+at 整个落在区间 2 , 1 x x 之外 ， 由解 的表 达式 知 u(x,t) 不发 生变 化， 即对 t0, 当 xx 2 +at, 也就是（x,t ）落在区间 2 1 ,x x 的影响域 ) 0 ( 2 t at x x at x t 数学物理方程答案 之外，解 u(x,t) 不发生变化。 （1）得证。 (2). 区间 2 1 ,x x 的决定区域为 at x x at x t 2 1 , 0 在其中任给（x,t ）, 则 2 1 x at x at x x 故区间x-at,x+at 完全落在区间 2 1 ,x x 中。因此 2 1 ,x x 上所给的初绐 条件 ) ( ), ( x x 代入达朗贝尔公式唯一地确定出 u(x,t) 的数值。 5. 若电报方程 GRu u LG CR CLu u t tt xx 为常数 G R L C , , , 具体形如 at x f t t x u , 的解（称为阻碍尼波） ，问此时 G R L C , , , 之间应成立什么关系？ 解 at x f t t x u , at x f t u xx at x f t a at x f t u t at x f t a at x f t a at x f t u tt 2 2 代入方程，得 0 2 1 2 at x f t GR t GR t LG CR t CL at x f t LG CR a t aCL at x f t CLa 由于 f 是任意函数，故 f f f , , 的系数必需恒为零。即 0 0 2 0 1 2 t GR t LG CR t CL t LG CR t CL CLa 于是得 2 1 a CL LG CR a t u t u 2 2 所以 t LG CR a e c t u 2 0 2 数学物理方程答案 代入以上方程组中最后一个方程，得 0 2 4 2 2 2 4 GR LG CR a LG CR a CL 又 GRCL LG CR CL a 2 2 4 1 , 1 得 即 0 2 LG CR 最后得到 R G L C 6利用波的反射法求解一端固定并伸长到无穷远处的弦振动问题 0 0 , 0 0 0 , 0 0 2 t t u x x u x u u a u t t t xx tt 解：满足方程及初始条件的解，由达朗贝尔公式给出： at x at x d a at x at x t x u 2 1 2 1 , 。 由题 意知 x x , 仅在 x 0 上给出，为利用达朗贝尔解，必须将 x x , 开 拓到 0 x 上，为此利用边值条件，得 at at d at at 2 1 0 。 因此对任何t 必须有 at at 0 at at d 即 x x , 必须接奇函数开拓到 0 x 上，记开拓后的函数为 x x , ； 0 , 0 , 0 , 0 , x x x x x x x x x x 所以 at x at x d a at x at x t x u 2 1 2 1 ,数学物理方程答案 0 , , 2 1 2 1 0 , , 2 1 2 1 x a x t d a x at at x x a x t d a at x at x at x x at at x at x 。 7 求方程 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z u y u x u a t u 形如 t r f u , 的 解 （ 称 为 球 面 波 ） 其 中 2 2 2 z y x r 。 解： t r f u , x r r u x r r u x u 3 2 2 2 2 2 2 2 1 r x r r u r x r u x u 3 2 2 2 2 2 2 2 1 r y r r u r y r u y u ) 1 ( 3 2 2 2 2 2 2 2 r z r r u r z r u z u 代入原方程，得 ) 3 ( 3 2 2 2 2 2 2 2 2 r z y x r r u r u a t u 即 ) 2 ( 2 2 2 2 2 r u r r u a t u 令 v ru ，则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , r v r u r u r r v u r u r t v t u r ， 代入方程，得 v 满足 2 2 2 2 2 r v a t v 故得通解 ) ( ) ( ) , ( at r G at r F t r v 所以 ) ( ) ( 1 at r G at r F r u 8求解波动方程的初值问题 数学物理方程答案 x t u u x t x u t u t t sin | , 0 sin 0 0 2 2 2 2 解：由非齐次方程初值问题解的公式得 d d d t x u t t x t x t x t x 0 ) ( ) ( sin 2 1 sin 2 1 ) , ( = t d t x t x t x t x 0 ) ( cos( ) ( cos( 2 1 ) cos( ) cos( 2 1 = t d t x t x 0 ) sin( sin sin sin = t t t x t x 0 ) sin( ) cos( sin sin sin = x t sin 即 x t t x u sin ) , ( 为所求的解。 9求解波动方程的初值问题。 2 0 0 2 2 2 1 1 | , 0 | ) 1 ( x u u x tx u a u t t t xx tt 解： t t a x t a x at x at x d d d a t x u 0 ) ( ) ( 2 2 2 ) 1 ( 1 1 2 1 ) , ( at x at x at x arctg at x arctg d ) ( ) ( 1 1 2 t t a x t a x t t a x t a x d d d 0 ) ( ) ( 2 0 ) ( ) ( 2 2 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( = t d t a x t a x 0 2 2 ) ( ( 1 ) ( ( 1 2 1 = x at x x at x du u a u at x du u a u at x ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 2 2 2 2 数学物理方程答案 = at x at x x at x x at x u du a t u du za t du u u x a 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 = 2 2 2 2 ) ( 1 ) ( 1 ln 4 1 ) ( ) ( ( 2 at x at x a at x arctg at x arctg a x + ) ( ) ( 2 2 at x arctg at x arctg arctgx a t = ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 2 2 at x arctg at x a at x arctg at x a + 2 2 2 ) ( 1 ) ( 1 ln 4 1 at x at x a arctgx a t 所以 ) ( 1 ) ( 1 ln 2 1 2 ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( 4 1 ) , ( 2 2 2 2 3 at x at x atarctgx at x arctg a at x at x arctg a at x a t x u 3 混 合 问题 的分 离变 量法 1. 用分离变量法求下列问题的解： (1) 0 ) , ( ) , 0 ( ) 0 ( ) 1 ( , 3 sin 0 2 2 2 2 2 t l u t u l x x x t u l x u x u a t u o t t 解：边界条件齐次的且是第一类的，令 ) ( ) ( ) , ( t T x X t x u 得固有函数 x l n x X n sin ) ( ，且 t l an B t l an A t T n n n sin cos ) ( ， ) 2 , 1 ( n 于是 1 sin ) sin cos ( ) , ( n n n x l n t l an B t l an A t x u 今由始值确定常数 n A 及 n B ，由始值得 1 sin 3 sin n n x l n A l x 数学物理方程答案 1 sin ) ( n n x l n B l an x l x 所以 , 1 3 A , 0 n A 当 3 n l n xdx l n x l x an B 0 sin ) ( 2 x l n x n l x l n n l x l n x n l l an cos sin cos 2 2 2 2 2 ) ) 1 ( 1 ( 4 cos 2 sin 2 4 4 3 0 3 3 3 2 2 2 n l an l x l n n l x l n n x l 因此所求解为 1 4 4 3 sin sin ) 1 ( 1 4 3 sin 3 cos ) , ( n n x l n t l an n a l x l t l a t x u (2) 0 ) 0 , ( , ) 0 , ( 0 ) , ( 0 ) , 0 ( 0 2 2 2 2 2 x t u x l h x u t l t u t u x u a t u 解：边界条件齐次的，令 ) ( ) ( ) , ( t T x X t x u 得： 0 ) ( , 0 ) 0 ( 0 l X X X X (1) 及 ) 2 ( 0 2 X a T 。 求问题(1) 的非平凡解，分以下三种情形讨论。 1 0 时，方程的通解为 x x e C e C x X 2 1 ) ( 由 0 ) 0 ( X 得 0 2 1 c c 由 0 ) ( l X 得 0 2 1 l l e C e C 解以上 方程组，得 0 1 C ， 0 2 C ，故 0 时得不到非零解。 数学物理方程答案 2 0 时，方程的通解为 x c c x X 2 1 ) ( 由边值 0 ) 0 ( X 得 0 1 c ，再由 0 ) ( l X 得 0 2 c ，仍得不到非零解。 3 0 时，方程的通解为 x c x c x X sin cos ) ( 2 1 由 0 ) 0 ( X 得 0 1 c ，再由 0 ) ( l X 得 0 cos 2 l c 为了使 0 2 c ，必须 0 cos l ，于是 2 2 1 2 l n n ) 2 , 1 , 0 ( n 且相应地得到 x l n x X n 2 1 2 sin ) ( ) 2 , 1 , 0 ( n 将 代入方程(2) ，解得 t a l n B t a l n A t T n n n 2 1 2 sin 2 1 2 cos ) ( ) 2 , 1 , 0 ( n 于是 0 2 1 2 sin ) 2 1 2 sin 2 1 2 cos ( ) , ( n n n x l n t a l n B t a l n A t x u 再由始值得 0 0 2 1 2 sin 2 1 2 0 2 1 2 sin n n n n x l n B a l n x l n A x l h 容易验证 x l n 2 1 2 sin ) 2 , 1 , 0 ( n 构成区间 , 0 l 上的正交函数系： n m l n m xdx l n x l m l 当 当 2 0 2 1 2 sin 2 1 2 sin 0 利用 x l n 2 1 2 sin 正交性，得 xdx l n x l h l A l n 2 1 2 sin 2 0 数学物理方程答案 l x l n n l x l n x n l l h 0 2 2 2 1 2 sin ) 1 2 ( 2 2 1 2 cos ) 1 2 ( 2 2 n n h ) 1 ( ) 1 2 ( 8 2 2 0 n B 所以 0 2 2 2 1 2 sin 2 1 2 cos ) 1 2 ( ) 1 ( 8 ) , ( n n x l n t a l n n h t x u 2。设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为 0 ) 0 , ( ) 0 , ( sin ) , ( , 0 ) , 0 ( 2 2 2 2 2 x t u x u t A t l u t u x u a t u 求解此问题。 解：边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取 t x l A t x U sin ) , ( ，则 ) , ( t x U 满 足 0 ) , 0 ( t U ， t A t l U sin ) , ( 令 ) , ( ) , ( ) , ( t x v t x U t x u 代入原定解问题，则 ) , ( t x v 满足 ) 1 ( ) 0 , ( 0 ) 0 , ( 0 ) , ( , 0 ) , 0 ( sin 2 2 2 2 2 2 x l A x t v x v t l v t v t x l A x v a t v ) , ( t x v 满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为 x l n x X n sin ) ( ， ) 2 , 1 , 0 ( n 故设 ) 2 ( sin ) ( ) , ( 1 n n x l n t T t x v 将方程中非齐次项 t x l A sin 2 及初始条件中 x l A 按 x l n sin 展成级数，得 1 2 sin ) ( sin n n x l n t f t x l A 数学物理方程答案 其中 l n xdx l n t x l A l t f 0 2 sin sin 2 ) ( l x l n n l x l n x n l t l A 0 2 2 2 2 2 sin cos sin 2 x l A t n A n sin ) 1 ( 2 1 2 x l n n n sin 1 其中 n l n n A xdx l n x l A l ) 1 ( 2 sin 2 0 2 将(2) 代入问题(1) ，得 ) (t T n 满足 n n n n n n n A T T t n A t T l an t T ) 1 ( 2 ) 0 ( , 0 ) 0 ( sin ) 1 ( 2 ) ( ) ( 1 2 2 解方程，得通解 2 2 1 2 ) ( sin ) 1 ( 2 sin cos ) ( l an t n A t l an B t l an A t T n n n n 由始值，得 0 n A 2 2 2 2 2 2 2 3 1 ) ( 2 ) 1 ( ) ) ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 l an al A l an n l A n A an B n n n n 所以 1 2 2 sin ) ( ) ( 2 ) 1 ( ) , ( n n t l an l an al A t x v x l n t n l an l A n sin sin 1 ) ( ) ( 2 ) 1 ( 2 2 2 2 1 x l n t n l t l an a l an l A n sin sin sin ) ( ) ( ) 1 ( 2 1 2 2 2 因此所求解为 1 2 2 2 ) ( ) ( ) 1 ( 2 sin ) , ( n l an l A t x l A t x u x l n t nt l t l an a sin sin sin 数学物理方程答案 3用分离变量法求下面问题的解 0 | | 0 | | 0 0 0 2 2 2 2 2 l x x t t u u t u u bshx x u a t u 解：边界条件是齐次的，相应的固有函数为 ) , 2 , 1 ( sin ) ( n x l n x X n 设 1 sin ) ( ) , ( n n x l n t T t x u 将非次项bshx 按 sin x l n 展开级数，得 1 sin ) ( n n x l n t f bshx 其中 shl bn l n xdx l n shx l b t f n l n 2 ) 1 ( sin 2 ) ( 2 2 2 1 0 将 1 sin ) ( ) , ( n n x l n t T t x u 代入原定解问题，得 ) (t T n 满足 0 ) 0 ( , 0 ) 0 ( 2 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 1 2 n n n n n T T shl l n bn t T l an t T 方程的通解为 shl l n bn an l t l an B t l an A t T n n n n 1 2 2 2 2 ) 1 ( 2 ) ( sin cos ) ( 由 0 ) 0 ( n T ，得： shl l n bn an l A n n 1 2 2 2 2 ) 1 ( 2 ) ( 由 0 ) 0 ( n T ，得 0 n B 所以 ) cos 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) ( 1 2 2 2 2 t l an shl l n bn an t T n n 所求解为 1 2 2 2 1 2 2 sin ) cos 1 ( ) ( ) 1 ( 2 ) , ( n n x l n t l an l n n shl a bl t x u 4用分离变量法求下面问题的解： 数学物理方程答案 0 | , | 0 | | ) 0 ( 2 0 0 0 2 2 2 2 2 t t l x x t u x l h u u u b x u a t u b t u 解：方程和边界条件都是齐次的。令 ) ( ) ( ) , ( t T x X t x u 代入方程及 边界条件，得 X X T a bT T 2 2 0 ) ( ) 0 ( l X X 由此得边值问题 0 ) ( ) 0 ( 0 l X X X X 因此得固有值 2 l n n ，相应的固有函数为 , 2 , 1 , sin ) ( n x l n x X n 又 ) (t T 满足方程 0 2 2 T a bT T 将 n 代入，相应的 ) (t T 记作 ) (t T n ，得 ) (t T n 满足 0 2 2 T l an bT T n n 一般言之，b 很小，即阻尼很小，故通常有 , 2 , 1 , 2 2 n l an b 故得通解 ) sin cos ( ) ( t B t A e t T n n n n bt n 其中 2 2 b l an n 所以 数学物理方程答案 x l n t B t A e t x u n n n n n bt sin ) sin cos ( ) , ( 1 再由始值，得 x l n B bA x l n A x l h n n n n n n sin ) ( 0 sin 1 1 所以 1 0 2 ) 1 ( 2 sin 2 n l n n h xdx l n x l h A 1 ) 1 ( 2 n n n n n n bh A b B 所求解为 . sin ) sin (cos ) 1 ( 2 ) , ( 1 1 x l n t b t n e h t x u n n n n n bt 4 高 维 波 动方 程 的柯 西问 题 1 利用泊松公式求解波动方程 ) ( 2 zz yy xx tt u u u a u 的柯西问题 0 0 2 3 0 t t t u z y x u 解：泊松公式 ds r a ds r a t u Sat M Sat M 4 1 4 1 现 z y x 2 3 , 0 且 0 2 0 | sin ) , , ( at r s d d r r ds r M at 其中 ) cos , sin sin , cos sin ( ) , , ( r z r y r x r ) cos ( ) sin sin ( ) cos sin ( 2 3 r z y r x 3 3 2 2 2 2 2 2 3 cos sin cos sin 3 cos sin 3 r xr r x z y x cos sin sin sin sin 2 2 2 2 r y rz yzr 数学物理方程答案 cos sin sin sin cos sin 2 2 3 2 r yr 计算 0 2 0 sin ) , , ( d d r r ) ( 4 ) cos ( 2 ) ( sin ) ( 2 3 0 2 0 0 2 3 2 3 z y x r z y x r d d r z y x 0 2 0 0 2 0 2 2 2 2 0 cos sin 3 sin cos sin 3 d d r x d d r r x 0 2 0 0 2 0 2 3 3 2 2 2 cos sin 3 sin cos sin 3 d d xr d d r xr 2 0 0 3 3 2 sin 4 1 2 cos cos 3 1 3 xr d d r r xr sin cos sin 4 3 3 0 2 0 3 3 3 2 0 4 0 4 4 cos sin xr d d r 0 2 0 2 2 0 2 0 0 sin sin 2 sin sin sin 2 d d yzr d d r yzr z r z r d d rz d d r z r 3 2 0 0 3 3 2 0 2 0 3 0 2 0 2 2 2 3 4 2 sin 4 1 2 cos cos 3 1 sin sin sin sin sin 0 2 0 2 2 0 2 0 2 0 sin cos sin cos d d r y d d r r y 2 0 0 2 3 0 2 0 2 0 sin cos sin 2 sin sin sin 2 d d yr d d r coc yr 0 2 0 2 3 4 0 2 0 2 2 3 0 sin cos sin sin cos sin sin d d r d d r r 数学物理方程答案 所以 3 1 4 3 4 4 ) ( 4 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 z t a t xa z y x at z r r z y x r ds r Sat M at r u(x,y,z)= Sat M r a t 4 1 z t a x t a z y x z t a t xa z ty tx t 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 3 1 即为所求的解。 2 试用降维法导出振动方程的达朗贝尔公式。 解：三维波动方程的柯西问题 ) , , ( ), , , ( ) ( 0 0 2 z y x u z y x u u u u a u t t t zz yy xx tt 当 u 不依赖于 x,y, 即 u=u(z), 即得弦振动方程的柯西问题： ) ( ), ( 0 0 2 z u z u u a u t t t zz tt 利用泊松公式求解 Sat M Sat M ds r a ds r a t u 4 1 4 1 因只与 z 有关，故 Sat M d d at at at z ds r 2 0 0 2 sin ) ( ) cos ( d at at z d sin ) cos ( 2 0 0 令 = atcos + z , d = d atsin - 得 Sat M at z at z d ds r ) ( 2 所以 数学物理方程答案 at z at z at z at z d a d a t t z u ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) , ( at z at z d a at z at z ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 即为达郎贝尔公式。 3. 求解平面波动方程的柯西问题： 0 | | 0 2 0 2 t t t yy xx tt u y x x u u u a u 解： 由二维波动方程柯西问题的泊松公式得： m at d d y x t a t a t y x u 2 2 2 2 , 2 1 , , m at d d y x t a 2 2 2 2 , 2 0 2 2 2 0 sin , cos 2 1 rdrd r t a r y r x t a at 又 sin cos cos sin , cos 2 r r y x r x r y r x 2 2 2 cos cos 2 r y x r y x x y x x cos sin cos 2 sin cos 2 2 xr r x sin cos cos 2 3 r 因为 2 0 2 2 0 2 0 cos , 0 sin , 0 cos d d d . 0 sin cos , 0 cos , 0 cos sin 2 0 2 2 0 3 2 0 d d d 所以 at rdrd r t a r y r x 0 2 0 2 2 2 sin , cos at at r t a dr r y x r t a rdr y x x 0 0 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 数学物理方程答案 又 at at at r t a r t a rdr 0 0 2 2 2 2 2 2 | at at at rdr r t a r t a r r t a dr r 0 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 3 2 | 3 3 0 2 3 2 2 2 3 2 | 3 2 t a r t a a 于是 y x a y x ax t a t y x u 3 3 2 2 2 1 , , 3 3 2 y x t a y x x 3 2 2 2 即为所求的解。 4. 求二维波动方程的轴对称解（即二维波动方程的形如 t r u u , 的解， ) 2 2 y x r . 解： 解法一：利用二维波动方程柯西问题的积分表达式 , , 2 1 , , 2 2 2 2 2 2 m att m att y x at d d y x at d d t a t y x u 由于 u 是轴对称的 , ,t r u u 故其始值 , 只是 r 的函数， r u t 0 | ， , . , | 2 2 2 2 0 t a y x r u m at t t 为圆 又 记圆上任 一点 , p 的矢径为 2 2 圆心 ) , ( y x M 其矢径为 2 2 y x r 记 2 2 y x s 则由余弦 定理知， cos 2 2 2 2 rs s r ，其中 为oM 与Mp 的夹角。选极坐标 ) , ( s 。 cos 2 2 2 rs s r ， cos 2 , 2 2 rs s r 于是以上公式可写成 sdsd s at rs s r t a t y x u at 2 0 2 2 2 2 0 cos 2 2 1 , , 数学物理方程答案 sdsd s at rs s r at 2 0 2 2 2 2 0 cos 2 由上式右端容易看出，积分结果和 ) , ( t r 有关，因此所得的解为轴对称解，即 at sdsd s at rs s r t a t r u 0 2 0 2 2 2 2 ) ( cos 2 2 1 ) , ( + ) ( cos 2 ( 0 2 0 2 2 2 2 sdsd s at r s r at 解法二：作变换 cos r x , sin r y . 波动方程化为 ) 1 ( 2 2 2 2 2 r u r r u a t u 用分离变量法，令 u(r,t)=R(r)T(t). 代入方程得 0 0 2 2 2 R r rR R r t a T 解得： ) ( ) ( sin cos ) ( 0 r J r R t a B t a A t T 令 叠加得 du J t B t A t r u ) ( ) sin ) ( cos ) ( ( ) , ( 0 0 5. 求解下列柯西问题 ) , ( ), , ( ) ( 0 0 2 2 y x r v y c v v c v v a v t t yy xx tt 提示：在三维波动方程中，令 ) , , ( ) , , ( t y x v e z y x u a cz 解：令 ) , , ( ) , , , ( t y x v e t z y x u a cz 则 yy a cz yy xx a cz xx tt a cz tt v e u v e u v e u , , v e a c u a cz zz 2 2 数学物理方程答案 代入原问题，得 ) , ( ), , ( ) ( 0 0 2 y x e u y x e u u u u a u a cz t t a cz t zz yy xx tt ds a ds a t t z y x u M at a c M at a c S r e S r e ) , ( 4 1 4 1 ) , , , ( ) , ( 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( : t a z y x S M at 记 M at S 为上半球， M at S 为下半球， M at 为 M at S 在 o 平面上的投影。 d d y x t a at ds 2 2 2 2 ) ( ) ( , 则 M at M at M at S S S a c a c a c ds e r ds e r ds r e ) , ( 1 ) , ( 1 ) , ( M at d d y x t a e y x t a z a c ) , ( ) ( ) ( 2 2 2 2 ) ) ( ) ( ( 2 2 2 2 d d y x t a e M at y x t a z a c ) , ( ) ( ) ( 2 2 2 2 ) ) ( ) ( ( 2 2 2 2 d d y x t a y x t a a c ch e M at a cz ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 rdrd r y r x r t a r a c t c ch e at a cz ) sin , cos ( ) ( 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 所以 x r t a r a c t c ch e a t z y x u at a cz ( ) ( 2 1 ) , , ( 2 0 0 2 2 2 2 2 2 ) sin , cos tftf r y r rdrd r y r x r t a r a c t c ch e a at a cz ) sin , cos ( ) ( 2 1 2 0 0 2 2 2 2 2 2 数学物理方程答案 于是 x r t a r a c t c ch a t t y x v at ( ) ( 2 1 ) , , ( 2 0 0 2 2 2 2 2 2 x r t a r a c t c ch a rdrd r y r at ( ) ( 2 1 ) sin , cos 2 0 0 2 2 2 2 2 2 rdrd r y r ) sin , cos 即为所求的解。 6试用 4 第七段中的方法导出平面齐次波动方程 ) , , ( ) ( 2 t y x f