数列的概念与简单表示法.ppt

第二章 数列 数列的概念与简单表示法 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 64个格子 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 6 6 7 7 8 8 你想得到 什么样的 赏赐？ 陛下，赏小 人一些麦粒 就可以 。 OK 请在第一个格 子放 1颗麦粒 请在第二个格 子放 2颗麦粒 请在第三个格 子放 4颗麦粒 请在第四个格 子放 8颗麦粒 依次类推 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 4 5 6 7 8 1 5 6 7 8 1 2 3 3 4 2 64个格子 你认为国王 有能力满足 上述要求吗 每个格子里的麦粒数都是 前 一个格子里麦粒数的 2倍 且共有 64 格子 22 1 32 632202 1 ? ? 18446744073709551615 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 三角形 数 1, 3, 6, 10, . 正方形数 1, 4, 9, 16, 传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题： 提问：这些数有什么规律吗？ Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数： 6332 22221 ， ， 4131211 354321 ， 1， 2， 3， 4 的倒数排列成的一列数： 高一（ 5）班每次考试的名次由小到大排成的一列数： -1的 1次幂， 2次幂， 3次幂， 排列成一列数： 1111 ， ， 1111 无穷多个 1排列成的一列数： 三角形数： 1， 3， 6， 10， 正方形数： 1， 4， 9， 16， Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 6332 22221 ， 354321 ， 1111 ， ， 1111共同特点： 1. 都是一列数； 2. 都有一定的顺序 1 2 3 4 5 ，41 ，31 ，21 1， 1， 3， 6， 10， 1， 4， 9， 16， Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定义：按一定顺序排列着的一列数称为 问 1： 数列 ， 2 ， 改为 1 3 ， ， 35 , 2 ， ， ， 35 3 3 1 请问：是不是同一数列？ 问 2: 数列 4 改为： -1， 1， -1， 1 1， -1， 1， -1 ， 请问：是不是同一数列？ (数列具有 有序性 ) 想一想 : 数列与集合的区别是什么？ Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. （ 1）数列 an中是一列数，而集合中的元素 不一定是数； （ 2） 数列 an中的数是有一定次序的，而集 合中的元素没有次序； （ 3） 数列 an中的数可以重复，而集合中的 元素不能重复。 思考：数列与集合的概念有何区别 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1 2 3 4 5 ， 1111 354321 ， ， 4131211 6332 22221 ， 1111 ， 数列中的每一个数叫 做这个数列的 项 。 各项依次叫做这个数列 的 第 1项 ， 第 2项 ， ， 第 n项 ， 数列的分类 (1)按 项数 分： 项数有限的数列叫 有穷数列 项数无限的数列叫 无穷数列 (2)按 项之间的大小 关系： 递增数列， 递减数列， 摆动数列 ， 常数列。 有穷数列 无穷数列 有穷数列 无穷数列 无穷数列 递增数列 递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1 2 3 4 5 数列的一般形式 可以 写成： 简记为 其中 ， naaaa 321 是数 na na 第 1项 第 2项 第 3项 第 n项 的第 n项 与项数之间的关系可以用一 个公式来表示， 1 1 1 1- 1 2, , , , , 22, 12n 632, , , 2 1 3 1 n 1, , , , 2 3 n, , , , 35 1 1- n)1-( , , , , , 1 1, , , 1 , 1a 2a 3a na na 列的第 n项。 02 1 1 1 12 n )64,( * nNn n1 n )35,( * nNn 那么这个 公式就叫做这个数列的 通项公式 。 如果数列 na 12 n na n 1 na n na n)1(- na 或 0nna n1 )( *Nn )( *Nn )( *Nn Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 根据数列的前若干项写 出的通项公式的形式唯 一吗？请举例说明。 例 1： 写出下面数列的一个通项公式，使 它的前 4项分别是下列各数： ；，）（ ；，）（ 02022 4 1 3 1 2 1 11 注意： 一些数列的通项公式不是唯一的 不是每一个数列都能写出它的通项公式 序号。 表示项的位置项，其中中的第数列 表示这个；而，数列 表示为通项的数列，即表示以 nna aaaaa aaa n nn nnn 321 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 对于数列中的每个序号 n,都有唯一的一个数（项） an与之对应 . 序号 n 1 2 3 4 64 项 an 1 2 22 23 263 （自变量） （函数值） 数列是一种特殊的函数 可以认为： 12)( n n nfa 数列与函数的关系： 从函数的观点看， 是 的函数。 数列的项 序号 数列可以看作是一个定义域为正整数集 （ 或它的 有限子集 1， 2， ， n）的函数， ,即当自变量 从小到大依次取值时对应的一列函数值。 N nfa n Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例 1：设某一数列的通项公式为 )1( nna n 1 2 3 4 2 6 12 20 高一（ 2）班考试名次由小到大排成的一列数 例 2 2 31 35 1 2 3 35 每个序号也都对应着一 个数（项） 序号 项 从函数的观点看， 是 的函数。 y=f（ x） an n 函数值 自变量 从映射的观点看， 数列可以看作是： 到 的映射 数列项 序号 数列项 序号 （正整数 或它的有限 子集） 项 数列的实质 序号 项 即，数列可以看作是一 个定义域为正整数集 （ 或它的有限子集 1 ， 2， ， n）的函数 ，当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函 数值 。 序号 通项 公式 *N Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1 2 2.5 4 4.5 3 4 5 6 7 a1 a2 a3 a4 a5 1 2 3 4 5 x y n an 通项公式： 数列 an的第 n项 an与 n的关系式 数列是一种特殊函数！ 定义域是N*(或它的有限子集 ) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 对于数列中的每个序号 n都有唯一的 一个数（项） an与之对应 . 项数 n 1 2 3 4 64 项 an 1 2 22 23 263 （自变量 n） （函数值 an ） 3.数列与函数 数列是一种特殊的函数 可以认为： )( nfa n Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 的图象)1( nna n 是些 孤立 点 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 图象做出常数数列： ,4,4,4,4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0 图象，做出摆动数列： 11-11- -1 我们好孤单！ 我们好孤单！ Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例 2. 下图中的三角形称为 谢宾斯基三角形 ，在下图 4个 三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标 系中画出它的图象 . （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 13 n na -= 数列用图象表示时的特点 一群孤立的点 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ）（，即倍再加上的前一项的 项起每一项等于它，从第的首项如果一个数列 11212 21 1 1 naa aa nn n ， ，那么 12 12 23 12 aa aa 称为递推公式。 ）（ 叫做递推法，其中象这样给出数列的方法 112 1 naa nn 个数列的递推公式。那么这个公式就叫做这 个公式来表示，项）间的关系可以用一（或前的前一项 与它项），且任一项项（或前的第如果已知数列 na ana n nn 1 1 递推公式也是数列的一种表示方法。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 项。写出这个数列的前 ）（ ， 满足：设数列例 5 .1 1 1 1 3 1 1 n a a a a n n n 3 5 8 1 , 2 , , , 2 3 5 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1 1 1 3. 1 , 1 ( 2) , 5 n n a a n a 例 已 知 写 出 这 个 数 列 的 前 项 . 解： a1=1 2 1 111 1 2 1 a a 3 2 1 1 311 22 a a 4 3 1 2 511 33 a a 5 4 1 3 811 55 a a 二、新课讲解 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1.通项公式能够很清楚的表示数列中项数和 项的关系 ; 2.由通项公式可以求出数列中的每一项 . 例 1: 根据下面数列的通项公式，写出前 5项 . (1 ) ; 1n na n ( 2) ( 1 ) nnan 12( 3 ) ( 1 ) n nan .65,54,43,32,21 5,4,3,2,1 25,16,9,4,1 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例 1、 写出下面数列的一个通项公式，使它的 前 4项分别是下列各数： 。，）（ ；， ；，）（ ）（ 02024 4 1 3 1 2 1 1)3( 2516942 ;7,5,3,11 12 na n 2)1( na n n a nn 1)1( 1 1)1(1 n na Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. （ 1） （ 2） 1 n na n na n n 1 na 例 1 根据下面数列 的 通项公式，写出它的前 5项： 解： （ 1）在通项公式中依次取 n =1， 2， 3， 4， 5，得到数列 的前 5项为 na . 6 5, 5 4, 4 3, 3 2, 2 1 （ 2）在通项公式中依次取 n=1， 2， 3， 4， 5，那么数列 的前 5项为 na 1， 2， 3， 4， 5. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例 2 写出数列的一个通项公式， 使它的前 4项分别是下列各数： （ 1） 1， 3， 5， 7； 解：此数列的前四项 1， 3， 5， 7都 是序号的 2倍减去 1，所以通项公式 是： 12 na n Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. （ 2） ; 5 15, 4 14, 3 13, 2 12 2222 解： 此数列的前四项的分母都 是序号加 1，分子都是分母的平方减 去 1，所以通项公式是： 1 2 1 11 2 n nn n n a n Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. （ 3） . 54 1, 43 1, 32 1, 21 1 解： 此数列的前 4项的绝对值都等 于序号与序号加上 1的积的倒数，且奇数 项为负，偶数项为正，所以通项公式是： 1 1 nn a n n Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 思考题： 1、 写出下列数列的一个通项公式： （ 1） 1， 1， 1， 1； （ 2） 2， 0， 2， 0； （ 3） 9， 99， 999， 9999； （ 4） 0.9， 0.99， 0.999， 0.9999。 答案： （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） n n n n n n n n a a a a 101 110 11 1 1 1 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个 数列的一个通项公式： 128), (,32,16), (,4,2)1( 49), (,25,16,9,4), )(2( ) (, 6 1, 5 1-, 4 1), (, 2 11,-)3( 7), (,5,2), (,2,1)4( 8 64 1 36 3 1- 7 1- 3 6 an=2n an=n2 n a nn 1 )1()3( na n )4( Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 本节课学习的主要内容有： 1、数列的有关概念 2、数列的通项公式； 3、数列的实质； 4、本节课的能力要求是： (1) 会由通项公式 求数列的任一项； (2)会用观察法由数列的前几项 求数列的通项公式。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.