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专题一 质点的直线运动,知识清单,方法一初速度为零的匀变速直线运动的解题方法 1.几个重要推论 (1)1T末、2T末、3T末、nT末瞬时速度的比值为 v1v2v3vn=123n (2)1T内、2T内、3T内、nT内位移的比值为 x1x2x3xn=122232n2 (3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、第N个T内位移的比值为 x1x2x3xN=135(2N-1) (4)通过前x、前2x、前3x、前nx位移所用时间之比为 t1t2t3tn=1 (5)从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比值为 t1t2 t3tN=1(-1)(-)(-),突破方法,2.常用的两个结论 (1)= 如图:vc= (2)x=aT2 xm-xn=(m-n)aT2 例1物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面,到达斜面最高点C时速度恰为零,如图所示。已知物体运动到斜面长度处的B点时,所用时间为t,求物体从B滑到C所用的时间。 解题思路本题的解答方法很多。如:因为vC=0,故可用逆向思维法将该过程看做是沿斜面向下,的匀加速直线运动,不论采用什么方法,一定要从时间、位移和速度三方面找到相互联系,建立方程。 解析解法一物体向上减速冲上斜面且vC=0,则相当于沿斜面向下的初速度为0的匀加速直线运动。 故xBC=,xAC=a 又xBC=,解得tBC=t。 解法二对于初速度为零的匀加速直线运动,在连续相等的时间里通过的位移之比为 x1x2x3xn=135(2n-1)。 现有xCBxBA=13 因通过xAB的时间为t,故通过xBC的时间tBC=t。 解法三中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度 = 又=2axAC,=2axBC xBC= 解得vB= 可以看出vB正好等于AC段的平均速度,因此B点是中间时刻的位置。因此有tBC=t。 解法四对于初速度为零的匀加速直线运动,通过连续相等的各段位移所用的时间之比为t1t2t3tn=1(-1)(-)(-)。 现将整个斜面分成相等的四段,如图所示,设通过BC段的时间为tx,那么通过DB、ED、AE段的时间分别为tDB=(-1)tx,tED=(-)tx,tAE=(-)tx,又tDB+tED+tAE=t,得tx=t。 答案t 点评对于减速到零的匀减速直线运动,逆向思维转变成初速度为零的匀加速直线运动,就可以大大降低解题难度,顺利找到突破口。故逆向思维法是一种化繁为简、化难为易的好方法。,1-1一列火车在正常行驶时,司机发现前方铁轨上有一障碍物,于是采取紧急刹车。火车紧急刹车后经7 s停止,设火车做匀减速直线运动,它在最后1 s内的位移是2 m,则火车在刹车过程中通过的位移和开始刹车时的速度各是多大? 答案98 m28 m/s 解析首先将火车视为质点,由题意画出草图,如图所示。 解法一基本公式方法 火车在第7 s内的平均速度为 =2 m/s, 又 =, 则第6 s末的速度v6=4 m/s,加速度a= m/s2=-4 m/s2,负号表示与初速度v0的方向相反。 由0=v0+at,得初速度v0=-at=47 m/s=28 m/s, 位移x=v0t+at2=287 m-449 m=98 m。 解法二逆向思维法 倒过来看,将匀减速过程看成是初速度为0的匀加速直线运动的逆过程。 则由x7=at2 得加速度a=4 m/s2, 火车在刹车过程中通过的位移 x=at2=449 m=98 m, v0=at=47 m/s=28 m/s。 解法三逆向思维、比例式法 将整个过程倒过来仍看成初速度为0的匀加速直线运动,因x1x2x3xn=135(2n-1)。,其中x1=2 m,则总位移 x=2(1+3+5+7+9+11+13) m=98 m, 由x=(v0+v)t 得v0=28 m/s。 解法四图象法 作出火车的速度时间图象如图所示,火车在第7 s内的位移大小为阴影部分小三角形的面积,则x7=,得v6=4 m/s。小三角形与大三角形相似,有v6v0=17,得v0=28 m/s,总位移为大三角形 的面积,即x=728 m=98 m。,方法二巧解追及相遇问题的方法,例2在水平轨道上有两列火车A和B相距x,A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同。要使两车不相撞,求A车的初速度v0满足什么条件。 解析两车不相撞的临界条件是,A车追上B车时其速度与B车相等。设A、B两车从相距x到A车,追上B车时,A车的位移为xA、末速度为vA、所用时间为t;B车的位移为xB、末速度为vB,运动过程如图所示,现用四种方法解答如下: 解法一临界法利用位移公式、速度公式求解,对A车有xA=v0t+(-2a)t2,vA=v0+(-2a)t 对B车有xB=at2,vB=at 两车位移关系有x=xA-xB 追上时,两车不相撞的临界条件是vA=vB 联立以上各式解得v0= 故要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是 v0。 解法二函数法利用判别式求解,由解法一可知xA=x+xB,即v0t+(-2a)t2=x+at2,整理得3at2-2v0t+2x=0 这是一个关于时间t的一元二次方程,当根的判别式=(-2v0)2-43a2x=0时,两车刚好不相撞,所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是 v0。 解法三图象法利用v-t图象求解,先作A、B两车的v-t图象,如图所示,设经过t时间两车刚好不相撞,则对A车有vA=v=v0-2at 对B车有vB=v=at 以上两式联立解得t= 经t时间两车发生的位移之差为原来两车间距离x,它可用图中的阴影面积表示,由图象可知 x=v0t=v0=,所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0。 解法四相对运动法巧选参考系求解。以B车为参考系,A车的初速度为v0,加速度为a=-2a-a=-3a。A车追上B车且刚好不相撞的条件是:v=0,这一过程A车相对于B车的位移为x,由运动学公式v2-=2ax得: 02-=2(-3a)x 所以v0=。 故要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0。 答案v0 2-1一车从静止开始以1 m/s2的加速度前进,在车后x0=25 m处,与该车运动方向相同的某人同时开始以6 m/s的速度匀速追车,问能否追上?若追不上,则人、车间的最小距离为多少? 解题导引,答案见解析 解析作出运动过程示意图,如图所示。 解法一(函数法)设经时间t追上,则: 人的位移x1=v1t 车的位移x2=at2 两者位移关系为x1=x2+x0 由式得t2-12t+50=0 由于方程根的判别式0,无解,说明人追不上车。 两者相距为:x=at2+x0-v1t=t2-6t+25 当t=6 s时,x有极小值,解得x=7 m。,解法二(临界法)人的速度只要大于车的速度,两者的距离就越来越小,人的速度小于车的速度,两者距离就越来越大,那么,当两者速度相等时,两者的距离最小。两者速度相等,有:v1=at,解得t= s=6 s 人追赶的最大距离为: x=v1t-=(66-) m=18 m25 m 则人不能追上车,两者之间的最小距离为: x=x0-x=25 m-18 m=7 m。 解法三(图象法)作出人与车的速度-时间图象(如图所示),从图象中可以看出人追车的最大距离就是图中有阴影部分三角形的面积,该面积所对应的位移为x= m=18 m25 m,说明人追 不上车,但人与车的最小距离为x=x0-x=(25-18) m=7 m。,解法四(相对运动法)以车为参考系,人相对于车的初速度v0=6 m/s,加速度a=-1 m/s2,减速前行 人减速前行的距离 x=18 m25 m 则人不能追上车 人距车的最近距离x=25 m-x=7 m,方法三纸带问题的处理方法 1.由纸带判断物体的运动性质 在纸带上测出各个连续相等的时间T内的位移分别是x1、x2、xn,如果x1=x2=xn,则物体做匀速直线运动;如果x2-x1=x3-x2=xn-xn-10,即在连续相等时间内的位移差相等,据此可判断物体做匀变速直线运动;如果不相等,则物体做变加速直线运动。 2.由纸带求物体运动的速度 如果物体做匀变速直线运动,x1、x2、xn为其在连续相等时间内的位移,T为相等时间间隔值,则纸带上某点对应的瞬时速度等于以这个点为中间时刻的位移内的平均速度,即vn=。 3.由纸带求物体运动的加速度 (1)由图象求加速度:利用多组数据描绘出v-t图象,则v-t图线的斜率即为物体运动的加速度。 (2)利用逐差法求加速度:如图所示的纸带,按时间顺序取0、1、2、3、4、5、6七个计数点,用刻度尺测量相邻两点之间的距离分别是x1、x2、x3、x4、x5、x6,T为相邻计数点间的时间,由x=aT2可得x4-x1=(x4-x3)+(x3-x2)+(x2-x1)=3aT2,x5-x2=(x5-x4)+(x4-x3)+(x3-x2)=3aT2,x6-x3=(x6-x5)+(x5-x4)+(x4-x3)=3aT2,则物体运动的加速度,a= 例3(2015河北衡水检测)如图是“研究匀变速直线运动”实验中获得的一条纸带,O、A、B、C、D和E为纸带上六个计数点。加速度大小用a表示。 O、D间的距离为cm。 如图是根据实验数据绘出的s-t2图线(s为各计数点至同一起点的距离),斜率表示,其大小为m/s2(保留三位有效数字)。,解析由图知O、D间的距离为2.20 cm-1.00 cm=1.20 cm。由于物体做的是匀变速直线运动,所以其从某一点开始运动的位移s=v0t+at2,由于s-t2图线是一条倾斜直线,因此v0=0,则s=t2, 这样,我们就可以知道s-t2图线的斜率为,通过图线可求得斜率为0.464。 答案1.181.22之间均可a0.4580.464之间均可,3-1图甲是某同学做“研究匀变速直线运动”实验时获得的一条纸带。 图甲 (1)打点计时器所用电源频率为50 Hz。A、B、C、D、E、F、G是纸带上7个连续的点,F点由于不清晰而未画出。试根据纸带上的数据,推测F点的位置并在纸带上标出,算出对应的速度vF=m/s(计算结果保留2位有效数字)。 (2)图乙是该同学根据纸带上的数据作出的v-t图象。根据图象,t=0时的速度v0=m/s,加速度a=m/s2(计算结果保留2位有效数字)。,图乙,答案(1)图见解析0.70(2)2.010-15.0 解析(1)根据纸带上的数据可得x=0.20 cm,所以xEF=xDE+x=1.30 cm,F点的位置如图所示。根据中间时刻的瞬时速度等于全程的平均速度得vF=0.70 m/s。 (2)由图象可知,t=0时的速度v0=2.010-1 m/s。由图线的斜率可得加速度a= m/s2= 5.0 m/s2。,
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