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专题三 函数及其图像一、考点综述考点内容：1.函数的概念及表示法2.函数自变量的取值范围的确定3.函数值的确定4.函数的图象考纲要求：1.理解函数的概念及表示法，会判断图形是否表示函数，会用函数关系式表示简单的数量变化.2.了解函数自变量的意义，会求简单函数的自变量的取值范围.3.了解函数值的意义，能在具体函数中根据自变量的值求函数值.4.理解函数的图象表示法，能根据问题情景画简单的函数图象，能从函数图象中获取相关信息.考查方式及分值：本课时是函数的基础部分，主要是以函数的概念及自变量的取值范围和对函数的图象上信息的读取和判断为命题点，试题难度为低、中档题，题量约占总题量的2%4%，题型有填空题、选择题为主.备考策略：据近几年中考对这部分的考查可以看到：一是否把握函数的定义和自变量的取值范围，二是能否联系时候实际用函数图象去反映运动变化规律.此部分常与其它学科结合考查对知识的牵移能力，建议在平时复习及练习时，理解函数定义，准确描述函数的变量之间的关系并能用图象去表示出来，加强对函数图象的认识，明确横、纵坐标所表示的意义.联系实际，能用图象表示简单的变量之间的变化关系.二、例题精析：例题 1.下列图形不能体现y是x的函数关系的是()yyyyOxOxOxOxA B C D解题思路：函数是指在一个变化过程中的两个变量x,y,对于x的每一个值,y都有唯一的值与之对应，那么y就叫做x的函数；函数的表示方法通常有两种；解析法、列表法和图象法.解析：此题是考查函数的表示方法中的图象法,判断图象所表示的是否为函数，在图象上任意取一点，看是否唯一对应一个函数值，图象 C 显然不符合要求，对于一个x的值，对应的y值不是唯一的，答案答案：C规律总结规律总结：判断图象是否表示函数，在x轴上任取一点向x轴线，如果与图象有交点，交点只有一个，则图象表示的图象是函数，如果交点有2个或者2个以上，则图象不表示函数.例题 2.“512”汶川特大地震灾害发生后，社会各界积极为灾区捐款捐物，某经销商在当月销售的甲种啤酒尚有2 万元货款未收到的情况下，先将销售甲种啤酒全部应收货款的70%捐给了灾区，后又将该月销售乙种啤酒所得的全部货款的80%捐给了灾区已知该月销售甲、乙两种啤酒共 5000 件，甲种啤酒每件售价为50 元，乙种啤酒每件售价为35 元，设该月销售甲种啤酒x件，共捐助救灾款y元（1）该经销商先捐款元，后捐款元（用含x的式子表示）（2）写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围解题思路解题思路：用解析法表示函数，解题思路与列方程相似，先仔细审题，找出相等关系，用两个变两表示相等关系就可以写出解析式.答案：答案：（1）50 x70%或 35x 35(5000 x)80%或(14000028x)(2)y 与 x 的函数关系式是：y 50 x700035(5000 x)8000，所以 y7x140000由题意得50 x 20000 0解得 400 x5005000 x 0自变量 x 的取值范围是 400 x500规律总结规律总结：列函数解析式实际上就是列一个二元一次方程.找出相等关系是关键.2.乘坐益阳市某种出租汽车.当行驶 路程小于 2 千米时，乘车费用都是 4 元(即起步价 4 元)；当行驶路程大于或等于 2 千米时，超过 2 千米部分每千米收费1.5 元.(1)请你求出x2 时乘车费用y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系式；(2)按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整(如记费器上的数字显示范围大于或等于 9.5 而小于 10.5 时，应付车费 10 元)，小红一次乘车后付了车费 8 元，请你确定小红这次乘车路程x的范围.例题 3.函数y x2 1的自变量 x 的取值范围为（）x2 A、x2 B、x2 且 x2 C、x0 且2 D、x2 且2解题思路解题思路：求函数自变量的取值范围主要有：（1）分母不等于0；（2）算术平方根的被开方数是非负数；（3）零指数和负指数幂的底数不能为0.利用这些限制条件列不等式（组）就可以求出自变量的取值函数.答案：答案：由题知，x 2 0且x 2 0，所以x 2，且x 2选 D.规律总结规律总结：注意函数由几部分组成时是求解集的公共部分.例题 4.根据下面的运算程序，若输入x 13时，输出的结果 y=.y x2(x 0)2y x 2 1(0 x 1)输入x解题思路：解题思路：函数值是值在自变量取值范围内,x与自变量相对应的函数的值，通常是将自变量的值代入函数解输出y析式计算，就可以求出函数值.y x 2x1(x1)答案：答案：根据问题中所给程序，对于自变量取值范围不同，所对应的函数解析式就不一样当x 13时x 0，所对应的函数为y x 2，所以y 13 2 13规律总结：规律总结：对于自变量不同对应函数解析式不同的函数，注意对应关系和自变量的范围.2AB例题 5、如图，在四边形 ABCD 中，动点 P 从点 A 开始沿CD的路径匀速前进到 D 为止。在这个过程中，APD 的面积 S 随时间 t 的变化关系用图象表示正确的是（）DAsPCBsssOAtOBtOCtODt解题思路：解题思路：对于函数图象类问题，主要是反映自变量与函数值之间的变化规律，因此抓住自变量的变化所产生的函数值是如何变化的，就容易排除干扰选项而得出答案.答案答案：根据动点的移动知，P 点在 AB 上移动时，APD 的面积 S 是在增加，排除答案C，P 点在 BC 上移动时，APD 的面积 S 是不变化的，排除答案 A，因为CD AB，点 P 是匀速前进，所以在 CD 上移动的时间比在 AB 上移动所用时间多，所以排除答案D，选 B规律总结规律总结：要注意弄清楚点的移动与图象的对应关系，特别注意抓特殊点，特殊线段.三、综合训练一、选择题1.下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（）0vyxOvvx0 x0 xA2.在函数y=x3中，自变量x的取值范围是().（A）x-3（B）x-3（C）x 3（D）x 3y 为 B（）BCD3.根据流程右边图中的程序，当输入数值x 为2 时，输出数值A4 B6 C8 D104.在常温下向一定量的水中加入食盐Nacl，则能表示盐水溶液的浓度与加入的 Nacl 的量之间的变化关系的图象大致是（）ABCD5.一列货运火车从梅州站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，那么可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是（）二、填空题1.函数y 3 x中，自变量x的取值范围是x1x 1，那么f(2)2.已知函数f(x)3.等腰三角形ABC的周长为 10cm，底边BC为ycm，腰AB的长为x cm，（1）写出y关于x的函数的解析式_（2）求x的取值范围_（3）求y的取值范围_4.点A(3,5)到x轴的距离是_；到y轴的距离是_；到原点的距离是_；5.如图所示等腰梯形ABCD，ABCDC=D=60，AD=AB=2 求：（1）梯形各顶点坐标 A _ B _ C _ D _（2）B点关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标分别为_、_三、解答题1.乘坐益阳市某种出租汽车.当行驶 路程小于 2 千米时，乘车费用都是 4 元(即起步价 4 元)；当行驶路程大于或等于 2 千米时，超过 2 千米部分每千米收费1.5 元.(1)请你求出x2 时乘车费用y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系式；(2)按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整(如记费器上的数字显示范围大于或等于 9.5 而小于 10.5 时，应付车费 10 元)，小红一次乘车后付了车费 8 元，请你确定小红这次乘车路程x的范围.2.生态公园计划在园内的坡地上造一片有A，B两种树的混合体，需要购买这两种树苗2000 棵 种植A，B两种树苗的相关信息如下表：品种项目单价（元/棵）1520成活率劳务费（元/棵）34AB95%99%设购买A种树苗x棵，造这片林的总费用为y元解答下列问题：（1）写出y（元）与x（棵）之间的函数关系式；（2）假设这批树苗种植后成活1960 棵，则造这片林的总费用需多少元？3.离山脚 30 米处向上铺台阶，每上 4 级台阶升高 1 米，（1）求离山脚高度h与台阶数n之间的函数关系式；（2）已知山脚至山顶高为217 米，求自变量n的取值范围。答 案一选择题1.C 解析：在 x 轴取一点作 x 的垂线与圆有两个交点，所以它的图象不能表示函数.2.C 解析：x 3 0，解得x 33.B 解析：因为x 1时函数解析式为y 11x 5，当x 1时函数的解析式为y x 5，所以当221x 2时，y (2)5 624.D 解析：当食盐 Nacl 加到一定量时溶液达到饱和状态，浓度不再变化.5.B 解析：匀加速行驶速度在逐渐增加，排除答案 A、D，然后匀速行驶，速度保持不变，排除答案C，到达下一站速度减小到 0，装货这段时间速度为 0，装完货后匀加速行驶速度增加，然后 匀速行驶速度保持不变，选 B二、填空题1.x3且x 1.解析：3 x 0且x 1 0，所以x 3且x 12.3.解析：当x 2时，f(2)21 33.解析：（1）2x y 10所求函数解析式为y 102x。（2）x、y均为线段，x 0,y 0,且2x y 10 2x,即：4x 10 x 5,由y 0,即10 2x 0 x 525x的取值范围为 x 5.的任意实数，2（3）y的取值范围为0 y 545,3,2 75.解析：（1）在 RtAOD中，AOD=90D=60AD=2，OAD 30 OD 1 OA 3点 D 坐标（0，1），点A坐标（3，0）AB=2,ABx轴，点B坐标（3，2），根据等腰梯形的对称性，点C坐标为（0，3）（2）点B关于x轴的对称点B坐标为（3，2），关于y轴对称的点B坐标为（-3，2），关于原点对称的点B的坐标为（-3，-2）。三、解答题1.解析：(1)根据题意可知：y=4+1.5(x-2)，y=1.5x+1(x2)(2)依题意得：7.51.5x+18.513x532.解析：（1）y (153)x(20 4)(2 000 x)6x 48 000（2）由题意，可得：0.95x0.99(2 000 x)1950 x 500当x 500时，y 6500 48 000 45 000造这片林的总费用需 45 000 元3.解析：（1）依题意：h 30（2）h 217米1n（n是非负整数）41217 30nn 7484n的取值范围是0 n 748的非负整数
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