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1要极限两个重极限存在准则第六节一、极限存在准则二、两个重要极限三、小结及作业2一、极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则准准则则 如如果果数数列列nnyx,及及nz满满足足下下列列条条件件:,lim,lim)2()3,2,1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末数数列列nx的的极极限限存存在在,且且axnn lim.证证,azaynn因为因为使得使得,0,0,021 NN 所以所以3,1 ayNnn时恒有时恒有当当,max21NNN 取取恒有恒有时时当当,Nn ,ayan即即,2 azNnn时恒有时恒有当当,azan上两式同时成立上两式同时成立,azxyannn,成成立立即即 axn.limaxnn因此因此上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限4准则准则 如果当如果当),(0 xUx(或或Mx )时时,有有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在,且等于且等于A.注意注意:.,的极限是容易求的与并且与键是构造出利用夹逼准则求极限关nnnnzyzy准则准则 和和准则准则称为称为夹逼准则夹逼准则.5AC二、两个重要极限1sinlim0 xxx)20(,xxAOBO 圆心角圆心角设单位圆设单位圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 AOB 的面积圆扇形AOB的面积 AOC的面积,tan2121sin21xxx即即6,tansinxxx,1sincosxxx即即,1coslim0 xx因为因为.1sinlim0 xxx所以所以xxxcos1sin17 解 解 例2 例例 2 求20cos1limxxx 20cos1limxxx20cos1limxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx 2112122sinlim21220 xxx2112122sinlim21220 xxx 例1 求 xxx3tanlim033cos133sinlim33tanlim00 xxxxxxx8说明说明）更一般形式）更一般形式（1,1)()(sinlim0)(xfxfxf.1sinlim330 xxx如如）不要混淆）不要混淆（2.0sinlimxxx例例3 3.tanlim0 xxx求求xxxxcos1sinlim0.111解解xxxtanlim0920)22sin(lim21xxx2121.215例.arcsinlim0 xxx解解,arcsin xt 令令,sin tx 则则原式原式tttsinlim0tttsin1lim0.1解解220)2(2sinlim21xxx2202sin2limxxx原式原式例例4 4.cos1lim20 xxx 求求10 x1x2x3x1 nxnx2.单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.几何解释几何解释AM11(2)exxx )11(lim存在存在先证先证nnn)11(limnnnx)11(21!2)1(1!11nnnnn).11()21)(11(!1)11(!2111nnnnnnnnnnnnn1!)1()1(12).11()121)(111()!1(1)111()121)(111(!1)111(!21111nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显然显然;是是单单调调递递增增的的x x故故n n!1!2111nxn1212111n1213n,3 ;是有界的是有界的故故nx存在.存在.故故nnxlimennn)11(lim记为记为)71828.2(e类似地类似地,13.)11(limexxx可证可证注注;)1(lim110exxx等价形式等价形式）（.)(1(lim2)(10)(exfxfxf一般形式一般形式）（14 解 令t1/x 则x 0时 t 于是 exxx)11(lim exx)(1)(1lim(x)0)xxx)11(lim ttt)11(limettt1)11(1limxxx)11(lim ttt)11(limettt1)11(1limxxx)11(lim ttt)11(limettt1)11(1lim 例6 求 xxx10)1(lim 11)(10)1()(1010)(1 lim)(1 lim)1(limexxxxxxxxx 或 xxx10)1(lim 15例例7 7.)21(lim5xxx求求解解102)21(limxxx原式原式.10 e例例8 8xxxxcot0)11(limxxxxxxxxxsincos12210)121(limxxxxxxxxxsin1cos2210)121(lim.2e16三、小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限两面夹准则两面夹准则;单调有界准则单调有界准则.;1sinlim10 某过程某过程.)1(lim210e 某过程某过程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 17作业作业5561P习题1(2,3,4,5),2(2,4),4(2,3)18思考题思考题求极限求极限 xxxx193lim 19思考题解答思考题解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e20._3cotlim40 xxx、一、填空题一、填空题:._sinlim10 xxx、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、练练 习习 题题._cotlim30 xxx、arc21xxx2tan4)(tanlim2、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10、xxaxax)(lim3 、二、求下列各极限二、求下列各极限:nnnn)11(lim42 、22 5 5、nnnn1)321(lim 三、三、利用极限存在准则证明数列利用极限存在准则证明数列,.222,22,2 的极限存在，并求的极限存在，并求出该极限出该极限.23一、一、1 1、；2 2、32；3 3、1 1；4 4、31 ；5 5、0 0；6 6、e；7 7、2e；8 8、e1；二、二、1 1、2 2；2 2、e1；3 3、ae2；4 4、1 e ；5 5、3.3.三、三、2lim nxx.练习题答案练习题答案
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