概率统计：第四章 随机变量的函数的分布(第一,二节)

第四章 随机变量的函数的分布 问题、目的、实际意义 设为随机变量,它的概率分布(分布函数,分布律或概率密度)已知,为连续函数,则为随机变量,如何确定的概率分布; 设为二维随机变量,它的概率分布已知,为连续函数,则为随机变量,如何确定的概率分布;这是在实际和理论中既普遍又重要的一类问题.例如在无线电接收中,某时刻接收到的信号是一个随机变量,那么把这个信号通过平方检波器输出的信号为,这时就需要根据的分布来求的分布.又如在统计物理中,已知分子运动速度的绝对值之分布,要求其动能的分布.再如火炮射击平面上的目标0时,已知弹着点的分布,要求弹着点到目标0的距离的分布等等.本章只讨论一维与二维的的离散型和连续型随机变量的函数的分布.第一节 离散型随机变量的函数的分布实例 测量一个正方形的边长,其结果是一个随机变量(为简单起见把它看成是离散型的).的分布律为 91011120.20.30.40.1求周长和面积的分布律.解 根据题意, , 的分布律为364044480.20.30.40.1的分布律为811001211440.20.30.40.1 例1 已知随机变量的分布律为012 试求:(1);(2) 的分布律.解 (方法步骤,列表代入计算复合函数值)0-103-1135-1012 (1) 的分布律为-1135(2) 的分布律为-103一般地,有如下定理:定理 设离散型随机变量的分布律为 , (1)若对于的不同取值,的取值也不同,则随机变量的分布律为 , (2)如果对于的有限个或可列无穷多个不同的取值有则有 .二维离散型随机变量的函数的分布律 实例 一个仪器由两个主要部件组成,其总长度为此二部件长度的和,这两个部件的长度和为两个相互独立的随机变量,其分布律如表,X91011P0.30.50.2 Y67P0.40.6求此仪器长度的分布律.解 根据题意, ;列表计算Z=X+Y151616171718(X,Y)(9,6)(9,7)(10,6)(10,7)(11,6)(11,7) P0.120.180.20.30.080.12的分布律.Z15161718P0.120.380.380.12 定理 设二维离散型随机变量的分布律为 , (1)若对于的不同取值，的取值也不相同，则随机变量的分布律为 , (2) 如果对于的有限对或可列无穷对不同的取值,取相同的值, ,则 .例2 已知二维随机变量的分布律 YX012-10.10.20.120.20.10.3 试求:(1); (2) ;(3)的分布律.解 (将的取值对列出,计算函数值,合并相同的值)列表max(X,Y)012222XY+110-11352X+Y-2-10456(X,Y)(-1,0)(-1,1)(-1,2)(2,0)(2,1)(2,2)P0.10.20.10.20.10.3 从而得所求分布律为(1)2X+Y-2-10456P0.10.20.10.20.10.3(2)XY+1-10135P0.10.20.1+0.2=0.30.10.3(3)max(X,Y)012P0.10.20.7例3 设,且相互独立,试证 . 证明 由已知条件,由于,由互不相容事件概率的可加性和随机变量的独立性得 ,故由泊松分布定义知 .例4 设随机变量相互独立且服从相同的(01)分布,即,.令 ,试分别求和的分布律.解 根据题意和题设条件知,的值为(1,0),(1,1),(0,0),(0.1);的可能取值为:2,1,0,-1; , , , , ,于是的分布律为-1012, ,于是的分布律为01第二节 一维连续型随机变量的函数的分布例1 设对球的直径进行测量，测量值在区间上服从均匀分布，试求球体体积的概率密度. 解 随机变量的概率密度 ,分布函数;随机变量的分布函数, , 的概率密度 .其中为的反函数. 例2 由统计物理学知道,气体分子运动速度的绝对值服从马克斯威尔分布,即其概率密度为 ,其中参数,试求分子运动动能的概率密度.解 的分布函数 ,当时,当时, , ,于是的概率密度 .将例1,例2的解法一般化,我们有如下定理. 定理一 设连续型随机变量的概率密度为,函数在区间上严格单调,其反函数有连续导数,则是一个连续型随机变量,其概率密度为 ,其中为的值域.(证明见书)该定理从理论上对问题进行了彻底解决,实际做题时可套用,也可以按其证明的方法进行做题,而不必记此公式. 求随机变量的函数的概率密度的一般方法:先求的分布函数,然后对求导数得到概率密度.这种方法不仅适用于求一维随机变量的函数的概率密度.而且也适用于求二维或更多维的随机变量的函数的概率密度.设连续型随机变量的概率密度为,函数(一般函数),记 ,求随机变量的分布函数,求导数得到概率密度. 一般方法如下: , .例3 设,试求(为常数,且)的概率密度. 解 由题设条件, 的概率密度为 , , 先求分布函数(1) 若,则 ,于是, ;(2) 若,则,于是, ,从而得的概率密度,由正态分布的定义,可见 ,特别当时,即服从标准正态分布. (这个结论很有用). 例4 设随机变量在上服从均匀分布,试求的概率密度. 解 由题设条件, 的概率密度为 ;记 ,所以, .例5设随机变量在上服从均匀分布,试求的概率密度.解 由题设条件, 的概率密度为 ; ,(1) 当时, ;(2) 当时, ;(3) 当时, ;(4) 当 时, , 此时 所以 .例6 若气体分子的速度是随机向量,各分量相互独立,且均服从,试证服从马克斯威尔分布 . 证明 由题设条件, 的概率密度分别为 , ; 因为相互独立,所以()的概率密度为 (1) 当时,;(2) 当时, , 于是的概率密度； .其中我们用到了球面坐标变换, ;. 例7 已知随机变量的分布函数,求的分布函数.解 当时,;当时, ,当时, ,故 .例8已知,求的概率密度.解 由题设条件, 的概率密度为 ,当时, ;当时, ,故的概率密度为 .