经济数学 CH6 差分方程

2020/9/8,1,如果时间被作为离散变量，即变量t仅取整数值，那么，导数的概念将不再适用。微分方程被差分方程所取代。 差分方程就是同时包含了内生变量现值和滞后值的等式。,CH7 差分方程,2020/9/8,2,一、离散时间、差分与差分方程,在离散情况下，仅当变量t从一个整数变为另外一个整数值时，例如t=1变为t=2时，y的值才会变化。 现在的变化模式用差商y/t来表示。它是导数dy/dt在离散时间下的对应物。 由于时间变量t仅取整数值，因此在分析相邻两个连续时期的y的变化时， t=1，差商y/t可以简化为y，称为y的一阶差分。 一阶差分： yt=yt+1-yt 二阶差分： 2yt= ( yt) = (yt+1-yt)= (yt+2-yt+1)- (yt+1-yt),2020/9/8,3,一阶差分方程：yt+1=f(yt) 例子：一阶线性差分方程 yt=2yt+1-yt=2 yt=yt yt+1-yt=yt yt+1=2yt 一阶线性差分方程一般形式： yt+1+ayt=x(t) 如果x(t)=0，方程是齐次方程：如果数列yt满足方程，则数列kyt也满足方程。 m阶差分方程： yt+m=f(yt+m-1, yt+m-2,，yt),2020/9/8,4,二、一阶差分方程的解法,解法： 1、作图。 2、解析解。,2020/9/8,5,1、图解法,一阶差分方程：yt+1=f(yt) 第一步：计算稳态值或均衡值。 当yt+1=yt=y*，即y*=f(y*)时，离散动态系统达到均衡， y*是系统的均衡值。 第二步：以yt+1为纵轴，以yt为横轴，判断均衡是否是稳定的。,2020/9/8,6,例1：yt+1-0.5yt=1 写成：yt+1=0.5yt+1 令yt+1=yt=y*，带入原方程，可以得到均衡值：y*=2。 例2：yt+1-2yt=-1,yt,yt+1,yt+1=0.5yt+1,2,2,y0,y1,y1,y2,稳定的稳态,变化过程： 给定一个初始值y0，运动开始。在第1期得到y1，通过45线可以在横轴上得到y1。由此可以得到第2时期的y2。,2020/9/8,7,例3：一阶非线性差分方程 yt+1=2yt-yt2 首先计算均衡点： y=2y-y2 y*=0,y*=1。 令yt+1=0,可以得到在横轴上的截距：0和2。,yt,yt+1,0,2,1,1,系统在y*=0点是不稳定的；在y*=1点是稳定的。,y0,y1,y1,y2,2020/9/8,8,稳定性总结,一阶差分方程：yt+1=f(yt) 均衡值为y*。,2020/9/8,9,练习：蛛网模型,在时间t的需求qtd取决于当前市场价格pt，供给qts取决于上期的价格pt-1。当需求等于供给时，市场出清。 判断供求均衡是否稳定。 供求模型： qtd=a-bpt qts=-c+dpt-1 qtd= qts a,b,c,d0,q,p,p0,q1,p1,q2,p2,S斜率=1/d,D斜率=-1/b,结论： 当供给曲线的斜率大于需求曲线的斜率，即db时，模型是收敛的。反之则是发散的。当二者相等时，模型是循环的。,2020/9/8,10,蛛网模型,将需求曲线和供给曲线代入到均衡方程，得到： pt=(a+c)/b-(d/b)pt-1 这是一个一阶非齐次线性差分方程。 当价格不变时，供求达到均衡。 p*=(a+c)/b-(d/b)p* 均衡价格p*=(a+c)/(b+d),Pt-1,pt,p*,当(d/b)1时，模型是发散的；反之则是收敛的。,2020/9/8,11,2、解析法,迭代法 例1：yt+1=yt+2，已知y0=10。 求解： y1=y0+2 y2=y1+2=y0+2+2=y0+22 y3=y2+2=y0+22+2=y0+32 yt=y0+t2=10+2t,例2：yt+1-byt=0 求解： yt+1=byt y1=by0 y2=by1=bby0=b2y0 yt=bty0,b的绝对值小于1，y收敛。,2020/9/8,12,一般方法,1、常系数和常数项的一阶线性差分方程： yt+1+ayt=c 其中，a和c是两个常数。 方程的通解由两部分的和构成：特别积分yp（它是方程的一个任意解），余函数yc（它是齐次方程yt+1+ayt=0的通解）。 解的含义：特别积分表示系统的瞬时均衡值，余函数表示时间路径与均衡的偏离。 余函数的计算： 假设变量的解为：yt=Abt 代入齐次方程得到：Abt+1+aAbt=0 消去非零公因子Abt，得到b=-a 因此，余函数为：yc=A(-a)t,2020/9/8,13,特别积分的计算： 特别积分是原方程的任意解，假设为常数k。则yt+1=yt=k，即k为系统的瞬时均衡值。 将k代入原方程，得到:k+ak=c 特别积分为：yp=k=c/(1+a)，a-1。 如果a=-1，那么就假设yt=kt，yt+1=k(t+1)。 代入原方程得到：k=c。 特别积分为：yp=kt=ct，a=-1。表示移动均衡。,2020/9/8,14,将特别积分和余函数相加就可以得到原方程的通解。,a-1,a=-1,2020/9/8,15,练习,求解一阶线性差分方程： yt+1-5yt=1,y0=7/4 余函数：yc=A5t 特别积分：yp=-1/4 通解为：yt=A5t -1/4 初始条件：t=0时,y0=7/4,代入得到：A=2。 答案： yt=25t -1/4,2020/9/8,16,2、常系数和可变项的一阶线性差分方程 yt=ayt-1+mt mt是一个外生的时间函数，也被称为强制性函数。 如果系数a的绝对值小于1，系统是稳定的；反之则是不稳定的。 第一种情况：a的绝对值小于1。 对于任意变量yt，定义滞后因子L为： Lyt=yt-1, Lnyt=yt-n。 原方程可以表述为：(1-aL)yt=mt 由于(1-aL)(1+aL+a2L2+a3L3+)=1 所以(1-aL)-1= 1+aL+a2L2+a3L3+,2020/9/8,17,该项即为特别积分。当mt为常数m时，yt=m/(1-a)。余函数为齐次方程的解。,例子：定义Kt为t期期末的资本存量。资本存量的变化如下：,解为：,t时期的资本存量等于第1时期到t时期的未折旧的投资总量加上0时期的未折旧的初始资本存量。,2020/9/8,18,第二种情况：a的绝对值大于1。 yt=ayt-1+mt 在这种情况下，yt是发散的。对于一些经济问题来说，这样的结果没有意义。另外，一些前瞻性（forward-looking）的经济变量，如资产价格，主要取决于未来变化。 定义提前因子L-1为：L-1yt=yt+1 原方程变为：(L-1-a)yt-1=L-1mt-1 将上式提前一个时期，并乘以-a-1，得到： (1-a-1L-1)yt=-a-1L-1mt 由于(1-a-1L-1)(1+a-1L-1+a-2L-2+a-3L-3+)=1 所以(1-a-1L-1)-1= 1+a-1L-1+a-2L-2+a-3L-3+,2020/9/8,19,在许多经济模型中，变量会自动调整使A=0，即经济中没有自致的投机性资产价格泡沫。余函数将为零。,2020/9/8,20,3、随机线性差分方程,已知随机线性差分方程： Et-1yt=ayt-1+Et-1mt a的绝对值大于1。 将方程前推一个时期，并引入t时期的预期： Etyt+1=aEtyt+Etmt+1, 在该方程中，yt是t时所知信息惟一决定的变量，因此Etyt=yt 利用提前因子L-1建立t期和t+1期的联系： L-1Etyt= EtL-1yt= Etyt+1 由此可以将差分方程表述为： (1-a-1L-1) Etyt=-a-1L-1Etmt,假设余函数为零，得到方程的解：,2020/9/8,21,三、均衡的动态稳定性,由于一阶差分方程的通解由特别积分和余函数组成，前者一般为常数，因此，动态的稳定性取决于余函数。 余函数的一般形式为Abt，因此它的变动：,2020/9/8,22,四、二阶差分方程,当t期的经济变量yt不仅取决于滞后一期的数量yt-1，而且取决于滞后两期的数量yt-2，这时就需要二阶差分方程。 二阶差分： 2yt= ( yt) = (yt+1-yt)= (yt+2-yt+1)- (yt+1-yt)= yt+2-2yt+1+yt 2yt与连续时间的d2y/dt2相对应。,2020/9/8,23,常系数和常数项的二阶线性差分方程,求解：yt+2+a1yt+1+a2yt=c 与一阶线性差分方程一样，其解由两部分组成： 表示y的瞬时均衡水平的特别积分yp 表示每一时期与均衡偏离的余函数yc。,2020/9/8,24,特别积分,2020/9/8,25,余函数,余函数是齐次方程yt+2+a1yt+1+a2yt=0的通解，形式一般为yt=Abt。代入方程并消去公因子得到原方程或齐次方程的特征方程： b2+a1b+a2=0 具有两个特征根：,第一种情况：a124a2，存在不同的实根。余函数yc=A1b1t+A2b2t,第二种情况：a124a2，存在相同的实根。b=b1=b2=-a1/2 余函数yc=A1bt+A2tbt,时间路径的收敛性：b1和b2的绝对值都大于1，余函数发散；都小于1则收敛到0；如果一个绝对值大于1，一个小于1，那么后者随时间推移而消失，路径发散。,时间路径的收敛性：如果b的绝对值大于1，余函数发散；如果b的绝对值小于1，那么bt的衰减力量超过t的放大力量，路径收敛。,2020/9/8,26,第三种情况：a124a2,特征根为共轭复根。,时间路径的收敛性：时间路径为周期性的阶梯波动。当R1时，波动逐渐缩减。,2020/9/8,27,五、差分方程组,求解一阶差分方程组：yt=Ayt-1+mt 其中，yt和mt是n1列向量，A是nn常系数矩阵。 定义zt=V-1yt，V是特征向量矩阵 则zt=V-1yt=V-1Ayt-1+V-1mt=Dzt-1+V-1mt D是特征值对角矩阵 yt=Vzt,例子：二阶差分方程组的稳定性,2020/9/8,28,系统的稳定性取决于系数矩阵的特征根。,如果两个特征根的绝对值都小于1，系统是稳定的。,如果两个特征根的绝对值都大于1，系统是不稳定的。,如果一个的绝对值大于1，另一个的绝对值都小于1，系统是鞍点稳定的。,