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机械振动 (第一课时),一.简谐运动,1.机械振动 (1)定义：物体在某一位置附近的往复运动叫机械振动。,(2)机械振动产生的条件： a、物体离开平衡位置时要受到回复力作用。 b、介质阻力要足够小。,(3)回复力:使振动物体回到平衡位置的力。 回复力是按效果来命名的力，类同“向心力”、“动力”等称谓。它可以是重力在某方向的分力，可以是弹力，也可以是振动物体所受的几个实际力的合力。是振动物体在振动方向上所受的合力，不一定是物体所受所有力的总的合力。 回复力为零的位置为平衡位置(物体通过平衡位置时所受合力不一定为零)。,简谐运动,）定义：物体在受到与对平衡位置的位移大小成正比而方向相反的回复力作用下的振动叫简谐运动,（）简谐运动的特征 回复力Fkx 加速度kx K是由振动系统本身决定的一个常数，不一定是弹簧的劲度系数。x是振动物体相对于平衡位置的位移。,描述简谐运动的物理量,（1）位移x:由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段，矢量,2）振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离。标量，表示振动的强弱用A表示。,（3）周期：振动物体完成一次全振动所用的时间。用T表示。国际单位是s,（4）频率：振动物体1秒钟内完成全振动的次数。用表示。,周期与频率的关系：T1/或1/T,注意：它们都是表示振动快慢的物理量，T和f是由振动系统本身的性质决定时(非受迫振动)，则叫做固有周期和固有频率简谐运动的周期与振幅无关。,4简谐运动过程分析：简谐运动是一种变加速运动,（1）物体经过平衡位置时速度最大，加速度最小。物体在最大位移处时速度为零，加速度最大。,（）物体向着平衡位置运动时：与V同方向， 减小、减小、V增大。,（）物体背离平衡位置运动时：与V反方向，、增大、V减小。,简谐运动的特点：,（）周期性：每经过一个周期，物体运动的速度、位移、加速度均与一个周期前相同。经过半个周期与半周期前相比，物体的位移、速度、加速度大小相等方向相反。,）对称性：简谐运动物体运动到同一点或关于平衡对称的两点时，其位移、速度、加速度均大小相等；通过同一段距离所用时间相等。,（）矢量性：注意位移、速度、加速度均为矢量，相同时必须是大小方向均相同。,（）振动能量:指振动系统的总的机械能，对于两种典型的简谐运动单摆和弹簧振子，其振动能量与振幅有关，振幅越大，能量越大,简谐运动的分析方法,(1)判断振动是简谐运动的基本思路: 正确进行受力分析；找出物体的平衡位置；设物体的位移为x；证明回复力满足关系式F=kx，即说明k为比例常数即可,(2)判断简谐运动的回复力，加速度，速度变化的一般思路: 由位移根据F=kx判断回复力F；根据F=ma判断加速度；根据运动方向与加速度方向的关系判断速度,二简谐运动的图象,（1）物理意义：反映了振动物体对平衡位置的位移随时间的变化规律，不表示质点的运动轨迹。它是一个质点在不同时刻振动情况的历史记录。 （2）图象特点：为正弦或余弦曲线 （3）图象的作用：可确定振动的振幅、 周期、质点的速度、力和加速度方向。 任一时刻质点 离开平街位置的位移。 还可继续沿时间轴画出以后时间内振动 图象的变化规律。,三、单摆的振动,单摆模型：将一根轻且不可伸长的细线一端固定于悬点，另一端系一质量大而体积小的钢球。使单摆回到平衡位置的回复力Fmgsin,当摆角时， ，考虑到F与方向相反，所以 式中为一常数，由 可知单摆在 情况下，其运动可看作简谐运动。令带入简谐运动的周期公式可得单摆的周期公式为,从式中可以看出，当单摆做简谐运动时，其固有周期只与摆长和当地的重力加速度有关，而与摆球的质量无关，与振幅无关(在5的条件下)。,四、应用 例1关于简谐振动，以下说法中正确的是 A回复力总指向平衡位置 B加速度、速度方向永远一致 C在平衡位置加速度、速度均达到最大值 D在平衡位置速度达到最大值，而加速度为零,例2某质点做简谐运动，先后以相同的速度通过A、B两点，历时0.5 s，质点以大小相等方向相反的速度再次通过B点，历时也是0.5 s，求该质点的振动周期,练： 1做简谐振动的质点在通过平衡位置时，为零值的物理量有 A加速度 B速度 C回复力 D动能,例3。弹簧振子的振动图象如图所示从图中可知，振动的振幅是 cm，完成1次全振动,振子通过的路程是 cm,图 2,例4若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的1/2，则单摆振动的 ( ) A频率不变，振幅不变 B频率不变，振幅改变 C频率改变，振幅改变 D频率改变，振幅不变,练习.06天津卷 17一单摆做小角度摆动，其振动图象如图，以下说法正确的是 A时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小 B时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小 C时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大 D时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大,答案:D,例5如图所示为一双线摆，绳的质量不计，当小球垂直于纸面做简谐运动时，振动周期为多少？（ 、 为已知）,分析与解：找等效摆长。,例6（90全国）一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的1/4。在地球上走得很准的摆钟搬到此行星上后，此钟的分针走一整圈所经历的时间实际上是 （ ） 1/4小时B. 1/2小时 C. 2小时 D. 4小时,例7细长轻绳下端栓一小球构成单摆，在悬挂点正下方一半摆长处有一个能挡住摆线的钉子A，如图所示现将单摆向左方拉开一个小角度，然后无初速地释放对于以后的运动，下列说法中正确的是 （ ） （A）摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小 （B）摆球在左、右两侧上升的最大高度一样。 （C）摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等 （D）摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍,例8、为了测量一个球面的半径R，让一个半径为r的钢珠，在凹面内做振幅很小的振动，若测出它完成N次全振动的时间为t，则此球面的半径为：,练习:如图所示，光滑圆弧槽半径为R，A为最低点，C到A的距离远小于R，两质点小球B和C都由静止释放，要使B、C两球在A点相遇，问B到A点的距离H=,例9如图所示，一质量m半径为r的木球，用长为L的细线拴在烧杯底部O点，拉偏离竖直位置一小角度，然后释放，已知水的密度为，求 (1)通过平衡位置时绳中拉力大小， (2)从释放至第一次回到平衡位置过程中绳中拉力的冲量,例10 水平轨道AB，在B点与半径R=300m的光滑圆弧形轨道BC相切，一个质量M=0.99kg的木块静止在B点,现有一颗质量m=0.01kg的子弹以V=500m/s的水平速度从左边射入木块且未穿出,如图,已知木块与水平轨道AB间动摩擦因素为0.5,木块不能从弧形轨道上端飞出,g取10m/s2,求子弹射入木块后,木块运动多长时间保持静止?,弹簧振子（第二课时）,平衡位置:,（1）.周期： 与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度决定。,（2）.可以证明：竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是 。这个结论可以直接使用。,（3）.在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。,例1 有一弹簧振子做简谐运动，则 （ ） A加速度最大时，速度最大 B速度最大时，位移最大 C位移最大时，回复力最大 D回复力最大时，加速度最大,解析：振子加速度最大时，处在最大位移处，此时振子的速度为零，由F= - kx知道，此时振子所受回复力最大，所以选项A错，C、D对振子速度最大时，是经过平衡位置时，此时位移为零，所以选项B错故正确选项为C、D,点评：分析振动过程中各物理量如何变化时，一定要以位移为桥梁理清各物理量间的关系：位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动量、动能均减小；位移减小时，回复力、加速度、势能均减小，速度、动量、动能均增大各矢量均在其值为零时改变方向，如速度、动量均在最大位移处改变方向，位移、回复力、加速度均在平衡位置改变方向,例2 一个弹簧振子，第一次被压缩x后释放做自由振动，周期为T1，第二次被压缩2x后释放做自由振动，周期为T2，则两次振动周期之比T1T2为 A11 B12 C21 D14,【正确解答】 事实上，只要是自由振动，其振动的周期只由自身因素决定，对于弹簧振子而言，就是只由弹簧振子的质量m和弹簧的劲度系数k决定的，而与形变大小、也就是振幅无关。所以只要弹簧振子这个系统不变（m，k不变），周期就不会改变，所以正确答案为A。,【小结】 本题给出的错解是初学者中最常见的错误。产生这一错误的原因是习惯于用旧的思维模式分析新问题，而不善于抓住新问题的具体特点，这反映了学习的一种思维定势。只有善于接受新知识、新方法，并将其运用到实际问题中去，才能开阔我们分析、解决问题的思路，防止思维定势。,例3一弹簧振子做简谐运动周期为T A若t时刻和（t+t）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则t一定等于T/2的整数倍 D若t时刻和（t+t）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则t一定等于T的整数倍 C若tT2，则在t时刻和（tt）时刻弹簧的长度一定相等 D若tT，则在t时刻和（tt）时刻振子运动的加速度一定相同,解析：若tT2或tnTT/2，（n1，2，3），则在t 和（tt）两时刻振子必在关于干衡位置对称的两位置（包括平衡位置），这两时刻振子的位移、回复力、加速度、速度等均大小相等，方向相反但在这两时刻弹簧的长度并不一定相等（只有当振子在t和（tt）两时刻均在平衡位置时，弹簧长度才相等）反过来若在t和（tt），两时刻振子的位移（回复力、加速度）和速度（动量）均大小相等方向相反，则t一定等于tT2的奇数倍即t（2n1）T/2（n1，2，3）如果仅仅是振子的速度在t 和（tt），两时刻大小相等方向相反，那么不能得出t（2n一1）T/2，更不能得出tnT/2（n1，2，3）根据以上分析A、C选项均错 若t和（tt）时刻，振子的位移（回复力、加速度）、速度（动量）等均相同，则tnT（n1，2，3），但仅仅根据两时刻振子的位移相同，不能得出tnT所以B这项错若tT，在t和（tt）两时刻，振子的位移、回复力、加速度、速度等均大 小相等方向相同，D选项正确。,例4水平弹簧振子，每隔时间t，振子的位移总是大小和方向都相同，每隔T/2的时间，振子的动量总是大小相等，方向相反，则有（） A弹簧振子的周期可能小于T/2 B每隔T/2的时间，振子的加速度总是相同的 C每隔T/2的时间，振子的动能总是相同的 D每隔T/2的时间，弹簧的长度总是相同的,【正确解答】 1由题意可知，t = nT，n可以是1，2，3，当n=1时，Tt；当n=2时，T；当n=3时，T，所以选项A是正确的。 2.因为加速度是矢量，由题意可知，每隔时间，振子的动量方向相反，且对称于平衡位置，所以加速度的方向是相反的。 3同错解3。 4水平弹簧振子的弹簧应为如图62a或62b的样子。当振子的位置在平衡位置两侧时，弹簧长度是不同的。所以选项D不对。,另外，符合题意条件的不一定非选最大位移处的两点，也可以选其他的点分析，如图6-3 P、Q两点，同样可以得出正确结论。 所以此题的正确答案为A，C。,例5在水平方向做简谐振动的弹簧振子,当振子正经过平衡位置O时,恰好有一块橡皮泥从其上方落下,粘在振子上随其一起振动那么,前后比较,振子的 (A)周期变大,振幅不变 (B) 周期变大,振幅变小 (C) 周期变小,振幅变小 (D) 周期不变,振幅不变,例6.如图所示，木块的质量为M，小车的质量为m，它们之间的最大静摩擦力为f，在倔强系数为k的轻质弹簧作用下，沿水平地面做简谐振动.为了使木块与小车在振动中不发生相对滑动，则它们的振幅不应大于多少?,例7.弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动B、C相距20 cm某时刻振子处于B点经过0.5 s，振子首次到达C点求： （1）振动的周期和频率； （2）振子在5 s内通过的路程及位移大小； （3）振子在B点的加速度大小跟它距O点4 cm处P点的加速度大小的比值,解析：（1）设振幅为A，由题意BC2A10 cm，所以A10 cm振子从B到C所用时间t05s为周期T的一半，所以T10s；f1/T10Hz （2）振子在1个周期内通过的路程为4A。故在t5s5T内通过的路程st/T4A200cm5 s内振子振动了5个周期，5s末振子仍处在B点，所以它偏离平衡位置的位移大小为10cm （3）振子加速度ax，所以aB：aPxB：xp10：45：2,例8.如图(1)所示,一弹簧振子沿x轴在POQ之间做简谐振动,确定向右为正方向.若以某时刻作为计时零点(t=0),经过1/4周期,振子具有正方向的最大速度,那么能够正确反映振子振动情况的振动图像应是图(2)中的( ),例9. 一弹簧振子沿轴x 振动，振幅为4cm，振子的平衡位置位于x 轴上的0点，图1中的为四个不同的振动状态；黑点表示振子的位置，黑点上的箭头表示运动的方向，图2给出的四条振动图线，可用于表示振子的振动图象。（ ） A若规定状态a 时t = 0，则图象为 B若规定状态b 时t = 0，则图象为 C若规定状态c 时t = 0， 则图象为 D若规定状态d 时t = 0， 则图象为,AD,例10. 一个做简谐运动的弹簧振子，周期为T，振幅为A，设振子第一次从平衡位置运动到 处所经最短时间为t1 ，第一次从最大正位移处运动到 所经最短时间为t2 ，关于t1与t2 ，以下说法正确的是（） At1t2 Bt1t2 Ct1t2 D无法判断,例11. 试证明竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动,解析：如图所示，设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧的形变为 ，根据胡克定律及平衡条件有 当振子向下偏离平衡位置为时，回复力（即合外力）为 ,将代人得： ， 可见，重物振动时的受力符合简谐运动的条件,点评： （1）分析一个振动是否为简谐运动，关键是判断它的回复力是否满足其大小与位移成正比，方向总与位移方向相反证明思路为：确定物体静止时的位置即为平衡位置，考查振动物体在任一点受到回复力的特点是否满足。 （2）还要知道中的k是个比例系数，是由振动系统本身决定的，不仅仅是指弹簧的劲度系数关于这点，在这里应理解为是简谐运动回复力的定义式而且产生简谐运动的回复力可以是一个力，也可以是某个力的分力或几个力的合力此题中的回复力为弹力和重力的合力,例12.如图所示，质量为m的小球放在劲度为k的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧。（1）最大振幅A是多大？（2）在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力Fm是多大？,解析：该振动的回复力是弹簧弹力和重力的合力。在平衡位置弹力和重力等大反向，合力为零；在平衡位置以下，弹力大于重力，F- mg=ma，越往下弹力越大；在平衡位置以上，弹力小于重力，mg-F=ma，越往上弹力越小。平衡位置和振动的振幅大小无关。因此振幅越大，在最高点处小球所受的弹力越小。极端情况是在最高点处小球刚好未离开弹簧，弹力为零，合力就是重力。这时弹簧恰好为原长。 （1）最大振幅应满足kA=mg， A= （2）小球在最高点和最低点所受回复力大小相同，所以有：Fm-mg=mg，Fm=2mg,例13.一立方体木块浮于静止的水中，浸入水中部分的高度为L，今用手力将其稍稍压下，然后放手让它运动，求其振动的振幅和周期?,解：平衡时受力如图F1=g LS=mg 设从此位置下压x x+L=c 受力如图 F2=gcS F回= mg F2 =g LS - gcS =g( L -c)S= - gSx = - kx,例14.如下图所示为一振动在光滑斜面上的弹簧振子，斜面倾角为，轻质弹簧的劲度系数为k，振子质量为m，振子的平衡位置在O点，在振子沿斜面倾斜方向振动过程中，则当振子对平衡位置的位移为x时，它受到的回复力F = _。这一弹簧振子振动的周期为 。,四、受迫振动与共振 1受迫振动 物体在驱动力（既周期性外力）作用下的振动叫受迫振动。 物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。 物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：两者越接近，受迫振动的振幅越大，两者相差越大受迫振动的振幅越小。 2共振 当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振。 要求会用共振解释现象，知道什么情况下要利用共振，什么情况下要防止共振。 （1）利用共振的有：共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千 （2）防止共振的有：机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢,例15. 把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛。不开电动机让这个筛子自由振动时，完成20次全振动用15s；在某电压下，电动偏心轮的转速是88r/min。已知增大电动偏心轮的电压可以使其转速提高，而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期。为使共振筛的振幅增大，以下做法正确的是 A降低输入电压 B提高输入电压 C增加筛子质量 D减小筛子质量,解析：筛子的固有频率为f固=4/3Hz，而当时的驱动力频率为f驱=88/60Hz，即f固 f驱。为了达到振幅增大，应该减小这两个频率差，所以应该增大固有频率或减小驱动力频率。本题应选AD。,例16.一物体做受迫振动，驱动力的频率小于该物体的固有频率。当驱动力的频率逐渐增大时，该物体的振幅将：（ ） A逐渐增大B先逐渐减小后逐渐增大； C逐渐减小D先逐渐增大后逐渐减小,解析：此题可以由受迫振动的共振曲线图来判断。 受迫振动中物体振幅的大小和驱动力频率与系统固有频率之差有关。驱动力的频率越接近系统的固有频率，驱动力与固有频率的差值越小，作受迫振动的振子的振幅就越大。当外加驱动力频率等于系统固有频率时，振动物体发生共振，振幅最大。 由共振曲线可以看出，当驱动力的频率小于该物体的固有频率时，增大驱动力频率，振幅增大，直到驱动力频率等于系统固有频率时，振动物体发生共振，振幅最大。在此之后若再增大驱动力频率，则振动物体的振幅减小。所以本题的正确答案为D。,例17.如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有 a、b、c、d、e五个单摆，让a摆略偏离平衡位置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动；接着其余各摆也开始振动。下列说法中正确的有：（ ） A各摆的振动周期与a摆相同 B各摆的振幅大小不同，c摆的振幅最大 C各摆的振动周期不同，c摆的周期最长 D各摆均做自由振动,解析：a摆做的是自由振动，周期就等于a摆的固有周期，其余各摆均做受迫振动，所以振动周期均与a摆相同。 c摆与a摆的摆长相同，所以c摆所受驱动力的频率与其固有频率相等，这样c摆产生共振，故c摆的振幅最大。此题正确答案为A、B。,6铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击。由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动。普通钢轨长为12.6m，列车固有振动周期为0.315s。下列说法正确的是 A列车的危险速率为 B列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象 C列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的 D增加钢轨的长度有利于列车高速运行,【分析】共振的条件是驱动力的频率等于系统的固有频率，由 可求出危险车速为 40 m/ s ，故选项 A正确。列车过桥需要减速，是为了防止桥与火车发生共振现象，故选项B 错误。,(A D),
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