数量值函数的曲面积分

第二节 数量值函数的曲面积分 (第一类曲面积分),一、概念的引入,二、第一类曲面积分的定义,三、第一类曲面积分的计算法,一、概念的引入,所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想, 采用,“分割, 取近似值, 求近似和,求极限”的方法,可得,求质量M.,其中, 表示n小块曲面的直径的,最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,二、第一类曲面积分的定义,1.定义,记为,即,注意：,2.第一类曲面积分的存在性,3.第一类曲面积分的性质,1) 第一类曲面积分具有线性性质,回顾:,则,按照曲面的不同情况,曲面面积元素分为以下三种：,则,则,三、第一类曲面积分的计算法,当 为 xoy 平面上的区域 D 时， 即是 D 上的二重积分，,定理: 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,证明: 由定义知,而,( 光滑),例1,第一类曲面积分的计算法:,例2,例3,则,则,2. 若曲面 可表示成 y = y(x,z),(2) 计算,2）解: 设,上的部分, 则,原式 =,分别表示 在平面,小结(第一类曲面积分计算):,则,按照曲面的不同情况分为以下三种：,则,则,说明：,例5,注：,例5. 计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,分析: 若将曲面分为前后(或左右),则,解: 取曲面面积元素,两片,则计算较繁.,练习： 求椭圆柱面,位于 xOy 面上方及平面,z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S .,解:,取,4. 利用对称性简化计算：,补充:,P225. 1(10) 设,在第一卦限中的部分, 则有( ).,( 2000 考研 ),例1. 计算,其中 是球面,利用轮换对称性可知,解:,四、几何与物理意义,例1. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.,解: 设 的方程为,利用对称性可知重心的坐标,而,用球面坐标,解,依对称性知：,例2,解,（左右两片投影相同）,例3,解,五、小结,2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算.,1、 对面积的曲面积分的概念;,（按照曲面的不同情况分为三种）,思考题,在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中, 有因子 , 试说明这个因子的几何意义.,思考题解答,是曲面元的面积,故 是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数.,练 习 题,练习题答案,