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1,第四章 静定结构位移的计算,2,A,第四章 静定结构位移的计算,41 计算结构位移的目的,42 功广义力和广义位移,43 计算结构位移的一般公式,44 静定结构在荷载作用下的位移计算,45 图乘法,46 静定结构由于支座位移和温度变化时的位移计算,47 互等定理,3,41 计算结构位移的目的,位移的概念： 结构在荷载、温度变化、支座移动与制造误差等各种因素作用下发生变形，因而结构上各点的位置会有变动。这种位置的变动称为位移。 位移分类： 截面的移动-线位移；截面的转动-角位移。 线位移又分为：水平位移和竖向位移。 按位置变化的参照物分：绝对位移和相对位移,一、结构的位移,4,结构上的一个指定截面，位移后的新位置相对其位移前旧位置的改变。,绝对位移,结构上的两个指定截面，位移后新的位置关系相对其位移前旧位置关系的改变。,相对位移,5,A,P,A,A,线位移：,角位移：,A,(A),Ay,Ax,Ay,Ax,A,绝对位移,相对位移,P,A,C,D,C,D,C,D,CD= C+ D,B,6,为什么要计算 位移?,引起结构位移的原因,还有什么原 因会使结构产 生位移?,7,二 计算结构位移的目的,铁路工程技术规范规定:,(1) 刚度要求,桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 1/700 和1/900跨度,高层建筑的最大位移 1/1000 高度； 最大层间位移 1/800 层高。,(2) 超静定、动力和稳定计算,(3）施工要求,在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；,8,本章所研究的是线性变形体系的位移计算,是指位移与荷载成比例的结构体系，荷载对这种体系的影响可以叠加，而且当荷载全部撤除时，由荷载引起的位移也完全消失。,满足如下基本假定： 、应力和应变服从虎克定律（物理线性）； 、位移是微小位移（几何线性），即可用结构原尺寸和叠加法计算其位移； 、所有约束为理想约束，即约束力不作功。,9,42 功、 广义力、 广义位移,功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力力作用点沿力方向上的位移,实功：力在自身所产生的位移上所作的功,广义力、广义位移 对于其他形式的力或力系所做的功也常用两个因子的乘积来表示，其中与力相对应的因子称为广义力，与位移相对应的因子称为广义位移。,一个力系作的总功 W=P ,P-广义力; -广义位移,10,例: 1)作功的力系为一个集中力,2)作功的力系为一个集中力偶,3)作功的力系为两个等值 反向的集中力偶,4)作功的力系为两个等值 反向的集中力,11,43 计算结构位移的一般公式,虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功,虚功中的力和位移之间没有因果关系，即虚功的力和位移不相关。这是虚功区别于实功的重要特点。,实功：力在自身所产生的位移上所作的功,虚功中的两种状态,力状态,位移状态,（虚力状态）,（虚位移状态）,12,在简支梁上先加载FP1 ，使力FP1作用点的位移达到终值11，再加载FP2，使力FP1的作用点发生位移12，力FP1在位移12上作的功叫虚功, 即：,W12=FP112虚功中的力和位移两个要素不相关。即无因果关系。虚功具有常力功的形式。,根据叠加原理,+,13,变形体的虚功原理,虚应变能： 当结构的力状态的外力因结构的位移状态的位移作虚功时，力状态的内力也因位移状态的相对变形而作虚功，这种虚功称为虚应变能，以V表示。 变形体系的虚功原理： 设变形体系在力系作用下处于平衡状态（力状态），又设该变形体系由于别的原因产生符合约束条件的微小的连续变形（位移状态），则力状态的外力在位移状态的位移上所作的虚功，恒等于力状态的内力在位移状态的变形上所作的虚功，即等于虚应变能。或简写为： 外力虚功W=虚应变能V,14,微段剪切,微段拉伸,微段弯曲,力状态,位移状态,对于杆件结构，设在力状态中任一微段dx的内力为FN1、FQ1、M1；而位移状态中杆件对应微段的相对变形，即正应变2、切应变2和曲率2。如图所示：,微段上的虚应变能可表示为：,dV= FN1du2+FQ1dv2+M1d2,15,微段上的虚应变能：,dV= FN1du2+FQ1dv2+M1d2,对上式沿杆长进行积分，然后对结构的全部杆件求和，即得到杆件结构的虚应变能为：,或,那么杆件结构的虚功原理就可表示为：,或,16,计算结构位移的一般公式,求D点的水平位移,实际状态,虚拟状态,在D点处沿水平方向加上一个单位荷载，此时处虚拟状态的支座反力为 B处的支座反为 ，结构在单位力和相应的支座反力的作用下维持平衡，其内力用 、 、 来表示。,17,虚设力系的外力（包括反力）对实际状态的位移所作的总虚功为：,即：,以d、d、d表示实际状态中微段的变形，则总的虚应变能为：,由杆件结构的虚功原理，得,即：,计算结构位移的一般公式,18,求C点竖向位移,求B点水平位移,求C点转角位移,求A、B两点 相对竖向位移,力的虚设方法,求A、B两点 相对水平位移,19,求C点相对转角位移,求CD杆相对转角位移,20,求A、B两点 相对线位移,求A、B两点 相对线位移,求相对转角位移,21,在具有理想约束的刚体体系中，若力状态中的力系满足静力平衡条件，位移状态中的刚体位移与约束几何相容，则该力在该相应的刚体位移上所作的外力虚功之和等于零，即W。,刚体的虚功原理,利用虚功原理和虚功的力和位移不相关的特性，虚功原理有两种应用： 1）虚设位移，求实际的力虚位移原理； 2）虚设力状态，求位移虚力原理。,22,1 虚设位移求未知力,(a),(b),如图（a）所示杠杆，在B点作用已知荷载FP，求杠杆平衡时在A点需加的未知力FA。,把刚体取虚位移，如图（b）所示，根据刚体虚功原理得：,令A=1，且令B表示位移 之间的比例系数： ，由图中几何关系得：,(1),其中： 分别是沿FA和FP方向的虚位移。,将（1）式除以A，得,23,例求 A 端的支座反力(Reaction at Support),解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.,直线,待分析平衡的力状态,虚设协调的位移状态,由外力虚功总和为零，即：,通常取,单位位移法(Unit-Displacement Method),(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是 实际受力状态的平衡方程 (2)虚位移与实际力状态无关,故可设 (3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。 (4)用几何法来解静力平衡问题,24,单位位移法步骤：,去掉与拟求力相应的约束，并代以拟求力（力的方向是先假定的），并使得到的体系（机构）沿拟求力的方向发生单位虚位移； 令所有外力在体系的虚位移上作虚功，建立虚位移方程并求解。 结果为正，所得力的方向与假定的方向相同；结果为负，所得力的方向与假定的方向相反。,25,例：利用虚位移原理求图示简支梁的支座的反力FBy。,(1)去掉B支座链杆,(2)按拟求支座反力让机构发生单位虚位移,(3)写出虚位移方程,(4)求解虚位移方程,解：,26,例：试求静定多跨梁在C点的支座反力Fx。,(1)去掉C支座链杆，把支座反力变成主动力Fx,(2)按拟求支座反力让机构发生单位虚位移，并设x=1。根据几何关系，可得：,(3)写出虚位移方程,(4)求解虚位移方程,解：,27,例：试求简支梁截面C的弯矩Mc，设在A端作用力偶荷载M。,(1)去掉与弯矩Mc相应的约束，即将截面C由刚接改为铰接。同时弯矩Mc由约束力变为主动力，由一对大小相等、方向相反的力偶组成。,(2)取虚位移，设C点竖向位移为c，则AC和BC两段的转角和分别为：,(3)写出虚位移方程,(4)求解虚位移方程,解：,28,例：试求简支梁截面C的剪力FQc，设全跨作用均布竖向荷载q。,(1)去掉与剪力FQc相应的约束，即将截面C切开，加上两个平行梁轴的链杆。同时剪力FQc由约束力变为主动力，由一对大小相等、方向相反的竖向力组成。,(2)取虚位移，两梁的转角为，C1、C2的竖向位移分别为a 和 b ，相对竖向位移为a + b ：,(3)写出虚位移方程,解：,剪力FQC作的虚功为：,29,因此虚功方程为：,微段dx上的均布荷载q在竖向位移y上作的虚功为：,AC1段上的均布荷载q作的虚功为：,BC2段上的均布荷载q作的虚功为：,(4)求解虚位移方程,30,2 虚设力系求位移,在拟求位移 的方向设置单位位移，而在其他地方不再设置荷载。这个单位位移与相应的支座反力组成一个虚设的平衡力系。,静定梁支座A向上移动距离c1，拟求B点的竖向位移 。,（1）虚设的平衡力系,（2）虚功方程,（3）竖向位移,(1)所建立的虚功方程,实质上是几何方程。 (2)虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广义力 P=1 (3)求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。 (4)是用静力平衡法来解几何问题。,单位荷载法,31,悬臂梁在截面B有相对转角 ，拟求A点的竖向位移 。,（1）在B处加铰，把实际位移状态表示为刚体体系的位移状态。,（4）竖向位移,（3）虚功方程,（2）在A点沿拟求位移的方向虚设单位荷载，在B处加铰还虚设一对弯矩,32,44 静定结构在荷载作用下的位移计算,当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位 移KP，此时没有支座位移，故,KP=,式中：,为虚拟状态中微段上的内力；dP、duP、 Pds为实际状态中微段上的变形。由材料力学知,（a）,dP=,duP=,Pds=,将以上诸式代入式（a）得,KP=,这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。,33,讨 论,1. 梁和刚架:轴向变形和剪切变形影响较小，可以忽略,KP=,2.桁架：只有轴力的作用,KP=,3. 组合结构：,KP=,在实际计算时，根据结构的具体情况,34,(4)拱结构：一般的实体拱中，其位移计算只考虑弯曲变形一项的影响；但在扁平拱中有时尚须考虑轴向变形对位移的影响，故位移公式：,例：求图示简支梁中点C的竖向位移 。,解：（1）取虚力状态如图：,（2）写出弯矩、剪力的方程：,/,L,/,2,L,/,2,2,35,（3）计算,（2）写出弯矩、剪力的方程：,36,（4）比较弯曲变形与剪切变形的影响,弯曲变形：,剪切变形：,两者的比值：,若高跨比为：,则：,37,例 求图示刚架A点 的 竖 向位移Ay。E、A、I为常数。,A,B,C,q,L,L,A,实际状态,虚拟状态,A,B,C,1,解：,1. 设置虚拟状态,x,x,选取坐标如图。,则各杆弯矩方程为:,AB段：,x,BC段：,2. 实际状态中各杆弯矩方程为,AB段：,BC段：,MP=,MP=,x,x,3. 代入公式得,Ay=,，,(),=,(-x)(-,2,qx,2,),EI,dx,+,(-L),(-,2,qL,2,),EI,dx,返 回,38,解：（1）求,写出杆件的 方程,BA杆：,给出结构的虚拟状态,39,（2）求,写出杆件的 方程,BC杆：,BA杆：,给出结构的虚拟状态,40,例 ：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知),解：构造虚设的力状态如图示,41,小曲率杆可利用直杆公式近似计算，轴向变形、剪切变形 对位移的影响可略去不计。,42,例：如图所示桁架，求 (1)D结点的竖向位移 (2)CD杆的转角位移 。已知各杆EA相等，并为常数 。,（1）求D结点的竖向位移DV,解：,1）计算,通过求解我们得到，各杆的轴力如图所示（单位：KN）：,43,2）计算,在D点虚设单位竖向荷载，相应各杆的轴力如图所示：,3）求D结点的竖向位移DV,根据桁架位移计算公式得：,44,（2）求CD杆的转角位移q,设置虚力状态：,求得相应虚力状态的各杆内力：,根据桁架位移计算公式得：,(),45,图乘法及其应用条件 几种常见图形的面积和形心位置 应用图乘法时的几个具体问题 图乘法应用举例,45 图 乘 法,46,图乘法,计算弯曲变形引起的位移时，需要计算积分,对直杆或直杆一段，当 EI 沿杆长度不变，且积分号内两个弯矩图形有一个是直线图时，采用图乘法计算积分比较方便。,什么是图乘法？它的 适用条件是什么?,图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他当时 为莫斯科铁路运输学院的学生。,47,KP=,当结构符合下述条件时：,（1）杆轴为直线； （2）EI=常数；,上述 积分可以得到简化。,MP图,和M两个弯矩图中 至少有一个是直线图形。,（3）,x,y,面积 ,设等截面直杆AB段的两个弯矩图中，,为一段直线，MP图为任意,形状，,A,B,O,则上式中的ds可用dx代替。,A,B,MP,dx,故有,=xtg,且tg=常数，则,d=MPdx,x,EI,tg,xMPdx =,EI,tg,xMPdx =,EI,tg,xd,图乘法:计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算下面的积分,48,MP图,x,y,形心,C,面积 ,A,B,O,A,B,MP,dx,d=MPdx,x,xC,有,yC,yC=xCtg,则积分运算化简为 一个弯矩图的面积乘 以其形心处所对应的另 一个直线弯矩图上的竖 标 yC。,如果结构上所有各 杆段均可图乘则位移计 算可写成,KP=,而,EI,xd,tg,EI,xC,tg,EI,yC,EI,yC,49,由此可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积 乘以其形心处所对应的另一个直线弯矩图上的纵距 ，再除以EI。这就是图形相乘法的计算公式，简称为图乘法。,图乘法公式：,(1)结构上各杆均为等截面直杆，即，各杆EI分别或分段为常数；,(2)竖标必须取自直线弯矩图形;,(3)另一弯矩图的面积A和面积形心易求得。,图乘公式的应用条件：,图乘法的注意事项：,（1）必须符合上述三个前提应用条件； （2）竖标yc只能取自直线图形； （3）与yc若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。,50,3. 常用的几种简单图形的面积和形心,L,h,2L/3,L/3,L,h,a,b,（L+a)/3,(L+b)/3,形心,形心,三次抛物线,51,L,h,二次抛物线,顶点,L/2,二次抛物线,L,h,4L/5,L/5,3L/8,5L/8,1,2,1=2/3(hL),2=1/3(hL),顶点,返 回,52,注：图中的抛物线均为标准抛物线。 标准抛物线是指含有顶点在内且顶点处的切线与基线平行的抛物线。弯矩图为标准抛物线时，在顶点处截面的弯矩为0。,n次抛物线,53,应用图乘法要注意的若干问题：,（1）如果两个图形都是直线图，则标距yc可取自其中任一图形。,（2）如果两个图形都是梯形，则把一个梯形分为两个三角形，分别应用乘法。,MP图,a,b,c,d,L,yb,ya,则,其中标距ya和yb要用以下公式计算,54,(3) 当yC所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。,1,2,3,y1,y2,y3,1,2,3,y1,y2,y3,=,(1y1+ 2y2+ 3y3),I1,I2,I3,=,55,MP图,a,b,c,d,y1,y2,此时,y1=2/3c1/3d y2=2/3d1/3c,（4）图形的纵距a、b 或c、d不在基线同一侧时。 处理原则也和上面一样，可分解为位于基线两侧的两个三角形，分别与另一图形相乘，然后叠加。,56,例 试求图a 所示刚架 C 点的竖向位移 。,解：,1）作实际状态的 。,（2）建立虚拟状态， 并作 图。,1,l/2,57,（3）进行图形相乘，求C点竖向位移 。,y1,y2,y3,58,例：求A点的转角和C点的 竖向位移。,解：（1）求A点的转角,（2）求C点的竖向位移,59,图,图,例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角,解:,60,例：求图示三铰刚架C点的相对转角。 解：荷载作用下的弯矩图和虚 设力作用下的弯矩图如图 所示。,B,20kN/m,Mp图,61,3/4,3/4,1,62,求下图所示刚架C、D两点间距离的改变。设EI=常数。,A,B,C,D,L,h,q,解：,1. 作实际状态的MP图。,MP图,2. 设置虚拟状态并作,。,1,1,h,h,yC=h,3. 计算位移,（）,CD=,EI,yC,=,EI,1,(,3,2,8,qL,2,L),h,=,12EI,qhL,2,形心,63,求图示刚架A点的竖向位移Ay 。,A,B,C,D,EI,EI,2EI,P,L,L,L/2,解： 1. 作MP图、,P,PL,MP图,1,L,；,2. 图乘计算。,Ay=,（）,EI,yC,=,EI,1,(,2,LL,2,PL,(L,4,=,16EI,PL,2,),-,2EI,1,2,3L,),PL,返 回,64,求图示外伸梁C点的竖向位移Cy。EI=常数。,q,A,B,C,L,图,1,1,y2,y3,+,解：,1. 作MP图,2. 作,图,3. 图乘计算,y1=,y2=,y3=,Cy=,y1,MP图,2,3,返 回,65,76 静定结构温度变化时的位移计算,当静定结构温度发生变化时，由于材料热胀冷缩，结构将产生 变形和位移。,设结构(见图)外侧温度升高 t1，内侧温度升高 t2 ,求K点的竖向位移Kt 。,t1,t2,K,K,Kt,现研究实际状态中任一微段ds, 由于温度变化产生的变形。,ds,ds,Kt=,此时由式（75）可得,h,t1,t2,t2ds,t1ds,dt,dut=(t1ds+t2ds)/2= tds,(a),(b),K,ds,PK=1,ds,实,虚,式中,dt=(t2ds-t1ds)/h=,t= t2t1,(c),h,tds,式中,将式（b) 、(c)代入式（a)，得,Kt=,（711）,温度变化不会引起剪切变形，即t=0,返 回,66,支座移动、温度作用时的位移计算,静定结构由于支座移动并不产生内力，材料（杆件）也不产生变形，只发生刚体位移。（该位移也可由几何关系求得）。有,一 支座移动时的位移计算,67,例：图示三铰刚架A支座往下位移了b，B支座往右位移了a，求C点的竖向位移 , 和C点的相对转角 。,（1）求C点的竖向位移,真实的位移状态,在C点作用一个竖向单位力， 求出 和 。,虚设的力状态,68,（2）求C点的相对转角,在C点作用一对力矩，求出 和 。,虚设的力状态,真实的位移状态,a,69,例：图示三铰刚架右边支座的竖向位移By=0.06m 水平位移Bx=0.04m,已知 L=12m，h=8m。求A 。,h,L/2,L/2,Bx,By,实,A,B,C,解： 虚拟状态如图。,A,B,C,1,A,=0.0075rad,虚,70,二 温度改变时的位移计算,杆件温度变化时，静定结构不会引起内力，但材料会发生膨胀和收缩，从而引起截面的应变，使结构产生变形和位移。,温度改变时：1）由于纤维的伸长或缩短引起轴向变形 2）由于伸长或缩短不一致，引起弯曲变形 3）温度改变不引起剪切变形,一般公式,设温度沿截面高度h以直线传递，则截面上材料的应变沿高度也呈线性变化。因此，杆件由于温度改变变形后平截面假定仍然适用。,71,上边缘温度上升 ，下边缘温度上升 。,形心轴处的温度,当 时,材料的线胀系数 ，则微段 的变形,由于温度改变不引起切应变,72,温度作用引起的位移：,若温度沿杆长变化相同，且截面高度不变，则上式 可写成：, 由虚设单位力产生的弯矩图面积,正负号的规定：虚力状态中的变形与温度改变产生的 变形方向一致时，取正号，反之取负号。,73,温度作用的位移计算例子,解:,C 点加单位竖向力 p=1，并作 图。,杆件两边的温差及轴线处温度升高为,74,例 图示刚架施工时温度为20，求冬季外侧温度为10，内侧温度为0时A点的竖向位移 Ay。已知L=4m，=105，各杆均为矩形截面，高度h=0.4m。,L,L,t1,t2,实,解：,外侧温度变化,绘,图，,A,A,1,虚,1,代入式（712），并注意正负号(判断)，,L,Ay,可得,t1=,1020=30,内侧温度变 化,t2=020=20 。,t=(t1+t2)/2=25 ,t=t2t1=10,75,已知：AB杆做短了lAB。 求：安装后，C点的竖向位移。,解,位移状态：只有刚体位移。,力状态：在求位移处加单位力、将有制造误差的杆件去掉，画出杆件的轴力。,静定结构制造误差下的结构位移计算,实际的位移状态,虚设的单位力状态,76,刚体虚功原理,若多个杆件有误差,实际的位移状态,虚设的单位力状态,77,已知：下弦杆均做短了0.6cm。求：结点A的竖向位移。,解,6m,66m,A,1/2,1/2,1,1,1/2,1/2,78,互等定理,本节介绍线性变形体系的四个互等定理： 1）功的互等定理 2）位移互等定理 3）反力互等定理 4）位移反力互等定理 其中最基本的是功的互等定理，其它三个定理均可由此推导出来。,互等定理只适用于线形变形体系，其应用条件为：,材料处于弹性阶段，应力与应变成正比； 结构变形很小，不影响力的作用。,79,1) 功的互等定理 设有两组外力FP1和FP2分别作用于同一线弹性结构上，如图所示，(a)、(b)分别称为结构的第一状态和第二状态。,(a) 第一状态,(b) 第二状态,第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。,80, 外力所作总功与加载次序无关， 即：W1 = W2 由1、2可得：,这两组力按不同次序先后作用于同一结构上时所作的总功分别为：,(1)先加FP1后加FP2，外力的总功,(2)先加FP2后加FP1，外力的总功,定理推导：,81,2) 位移互等定理,在功的互等定理中，令：FP1 =FP2 =1,即：,由功的互等定理式 则有：,令：,位移影响系数每单位力引起的位移值 。,82,位移互等定理: 即第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向上的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向上的位移。,在位移互等定理中： 单位力广义力（单位力偶、单位集中力）； 位 移广义位移（线位移、角位移）。,83,右图分别表示二种状态，即支座1发生单位位移11时，使支座2产生的反力k21；另一种即为支座2发生单位位移21时，使支座1产生的反力k12。,3）反力互等定理,反力互等定理也是功的互等定理的一个特例。,(a) 第一状态,(b) 第二状态,84,根据功的互等定理有：,反力互等定理: 即支座1发生单位位移所引起支座2的反力，等于支座2发生单位位移所引起的支座1的反力。,85,注意：该定理对结构上任何两支座都适用，但应注意反力与位移在作功的关系上应相对应，即力对应线位移；力偶对应角位移。,由反力互等定理，则有： k12 = k21,86,4) 反力位移互等定理,这个定理同样是功的互等定理的一种特殊情况。,由两个状态应用功的互等定理，则有, 主功力与反力的功相反 相差一负号,(b) 第二状态 （由1=1引起21 ）,（a）第一状态 （由FP2 =1引起k12）,87,单位载荷引起某支座的反力，等于因该支座发生单位位移时所引起的单位载荷作用处相应的位移，但符号相反,88,支座移动产生的位移刚体位移,制造误差产生的位移刚体位移,荷载作用产生的位移变形体位移,温度改变产生的位移变形体位移,显然支座移动产生的位移、制造误差产生的位移应该用刚体的虚力原理计算。荷载作用产生的位移、温度改变产生的位移应该用变形菜体的虚力原理计算。,