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第二章 测试信号分析与处理Signal analysis and processing in measurement,测试信号分析与处理,2.1 信号与测试系统分析 2.2 信号描述 2.3 数字信号处理,本章学习重点,1.了解信号与测试系统分析的意义 2.确定性信号时、频域描述的方法： 周期信号的频域表达及离散谱； 非周期信号的频域表达及连续谱； 傅立叶变换的主要性质及应用； 典型信号的傅立叶变换及应用。 3.随机信号时、频域描述的方法 -互相关函数与自相关函数,本章学习重点（续）,-自功率谱和互功率谱 -工程应用 4. 数字信号处理的意义和基本原理 -离散傅里叶变换（DFT）及性质 - 采样定理 - 泄漏与加窗处理 - 栅栏效应 -快速傅里叶变换（FFT）,2.1 信号与测试系统,图2.1 简谐振动信号测试系统结构框图,对于不同的被测参量，测试系统的构成及作用原理可以不同；根据测试任务的复杂程度，一个测试系统也可以有简单和复杂之分；根据不同的作用原理，测试系统可以是机械的、电的、液压的等等。 在对待属性各异的各类测试系统中，常常略去系统具体的物理上的含义，而将其抽象为一个理想化的模型，目的是为了得到一类系统共性的规律。将系统中变化着的各种物理量，如力、位移、加速度、电压、电流、光强等称为信号。 因此，信号与系统是紧密相关的。信号按一定的规律作用于系统，而系统在输入信号的作用下，对它进行“加工”，并将该“加工”后的信号进行输出。通常将输入信号称为系统的激励，而将输出信号称为系统的响应。,2.2 信号描述,一、信号的定义 二、信号的分类 三、信号时域和频域描述方法 四、周期信号的频域描述 五、周期信号的功率 六、非周期信号的频域描述 七、随机信号描述,一、信号的定义,“信号”(signal)一词最初起源于“符号”、“记号”(sign)，它表示用来作为信息向量的一个物体、一个标记、一种语言的元素、或一个约定的符号等等。 信号是信号本身在其传输的起点到终点的过程中所携带的信息的物理表现。 例如：质量弹簧系统在受到一个激励后的运动状况，可以通过系统质量块的位移时间关系来描述。反映质量块位移的时间变化过程的信号则包含了该系统的固有频率和阻尼比的信息。,噪声的概念： 噪声(noise)也是一种信号 ； 任何干扰对信号的感知和解释的现象称为噪声。 信号与噪声的区别纯粹是人为的，且取决于使用者对两者的评价标准。 例：齿轮噪声 信号理论必须包括噪声理论。,二、信号的分类,信号的分类方法(signal classifications)： 基于信号的演变类型、信号的预定特点、或者信号的随机特性的表象(phenomenological)分类法。 规定两类信号的能量(energy)分类法，两类信号中一类为具有有限能量的信号，另一类为具有有限平均功率但具有无限能量的信号。 基于信号的幅值或者独立变量是连续还是离散的这一特点的形态(morphological)分类法。 基于信号模型中独立变量个数的维数(dimensional)分类法。 基于信号频谱的频率分布形状的频谱(spectral)分类法。,1、确定性信号和随机信号,分类方法1是考虑信号沿时间轴演变的特性所作的一种分类。根据这种时域分类法可定义两大类信号：确定性信号和随机信号。 确定性（deterministic）信号：可以用合适的数学模型或数学关系式来完整地描述或预测(predicable)其随时间演变情形的信号。 随机（random）信号：具有不能被预测(unpredicable)的特性且只能通过统计观察来加以描述的信号。,确定性信号分为周期信号和非周期信号。 周期(periodic)信号： 定义：满足下面关系式的信号： x(t)=x(t+kT)(2.3) 式中，T周期。 周期信号一般又分为正余弦信号、多谐复合信号、和伪随机信号。 非周期(nonperiondic)信号： 定义：不具有上述性质的确定性信号。 非周期信号又可分成准周期(quasi-periodic)信号和瞬态(transient)信号两类。,正余弦(harmonic)信号具有如下的一般表达式 ：,伪随机(pseudo-random)信号组成周期信号的一个特殊范畴，它们具有准随机的特性。,图2.2 正、余弦信号,图2.3 伪随机信号,非周期信号又可分成准周期信号和瞬态信号两类。 准周期信号：由多个具有不成比例周期的正弦波之和形成，或者称组成信号的正（余）弦信号的频率比不是有理数 。 瞬态信号：时间历程短的信号 。,图2.5 瞬态信号： x(t)矩形脉冲信号； y(t)衰减指数脉冲信号； z(t)正弦脉冲；,随机信号又可分成两大类：平稳(stationary)随机和非平稳(nonstationary)随机信号。,平稳随机信号：信号的统计特征是时不变的。,图2.6 平稳随机信号 x(t)宽带信号（白噪声） y(t)经低通滤波后的信号,非平稳随机信号：不具有上述特点的随机信号。,图2.7 非平稳随机信号,按信号时域特性的表象分类法分类图,2、能量信号和功率信号,能量(energy)信号： 例如： 在右图所示的单自由度振动系统中： 由弹簧所积蓄的弹性势能为 x2(t); 若x(t)表达为运动速度，则x2(t)反映的是系统的运动中的动能。 定义：当x（t）满足关系式 则称信号x（t）为有限能量信号 ，简称能量信号。 矩形脉冲、衰减指数信号等均属这类信号。,图2.8 单自由度振动系统,2、能量信号和功率信号（续）,功率(power)信号： 当信号满足条件 亦即信号具有有限的（非零）平均功率，则称信号为有限平均功率信号，简称功率信号。,3、连续信号和离散信号,分类依据： 信号的幅值是连续的还是离散的 ； 自变量（即时间t）是连续的还是离散的 。 对于连续信号(continuous signal )： 自变量和幅值均为连续的信号称模拟(analog)信号 ； 自变量是连续、但幅值为离散的信号，则称为量化(quantized)信号。 对于离散信号(discrete signal)： 信号的自变量及幅值均为离散的，则称为数字(digital)信号 ； 信号的自变量为离散值、但其幅值为连续值时，则称该信号为被采样(sampled)信号。,信号按形态分类法加以区分的四种形式,三、信号时域和频域描述方法,时域描述法(time-domain description) ： 主要反映信号的幅值随时间变化的特征。 分析系统时，除采用经典的微分或差分方程外，还引入单位脉冲响应和单位序列响应的概念，借助于卷积积分的方法。 频域分析法(frequency-domain description)： 将信号和系统的时间变量函数或序列变换成对应频率域中的某个变量的函数，来研究信号和系统的频域特性 。 对于连续系统和信号来说，常采用傅里叶变换和拉普拉斯变换；对于离散系统和信号则采用Z变换。 频域分析法将时域分析法中的微分或差分方程转换为代数方程，给问题的分析带来了方便。,实际信号的形式常常是比较复杂的。因此常常将复杂的信号分解成某些特定类型（易于实现和分析 ）的基本信号之和 ，如正弦信号、复指数型信号、阶跃信号、冲激信号等等 。 信号的频域描述即是将一个时域信号变换为一个频域信号，将该信号分解成一系列基本信号的频域表达形式之和，从频率分布的角度出发研究信号的结构及各种频率成分的幅值和相位关系。,四、周期信号的频域描述,在有限区间上，一个周期信号x（t）当满足狄里赫利条件时可展开成傅里叶级数(Fourier series)： 式中， 注意：an是n或n0的偶函数，a-n=an；而bn则是n或n0的奇函数，有b-n=-bn 。,(2.12),(2.13),(2.14),信号x（t）的另一种形式的傅里叶级数表达式： 式中， An称信号频率成分的幅值(amplitude)，n称初相角(phase)。 注意：An是n或n0的偶函数，A-n=An；而bn则是n或n0的奇函数，有-n=-n 。 比较式（2.12）和式（2.15），可见 ：,（2.15）,n1,2, （2.16）,n1,2,（2.17）,小结与讨论,式中第一项a0/2为周期信号中的常值或直流分量 ； 从第二项依次向下分别称信号的基波或一次谐波、二次谐波、三次谐波、n次谐波 ； 将信号的角频率0作为横坐标，可分别画出信号幅值An和相角n随频率0变化的图形，分别称之为信号的幅频谱和相频谱图。 由于n为整数，各频率分量仅在n0的频率处取值，因而得到的是关于幅值An和相角n的离散谱线。 周期信号的频谱是离散的!,例1 求图2.11所示的周期方波信号x（t）的傅里叶级数。 解： 信号x（t）在它的一个周期中的表达式为： 根据式（2.13）和（2.14）有：,图2.11 周期方波信号,注意：本例中x(t)为一奇函数，而cosn0t为偶函数，两者的积x(t)cosn0t也为奇函数，而一个奇函数在上、下限对称区间上的积分值等于零。,根据式（2.12），便可得图2.11所示周期方波信号的傅里叶级数表达式为：,图2.12 周期方波信号的频谱图,奇、偶函数的傅里叶系数计算特点,x(t)为奇函数 由于x(-t)=-x(t)，因此， 由式（2.16）进而有,（2.18）,（2.19）,x(t)为偶函数 由于x(-t)=x(t)，因而有 进而有,图2.14 偶函数例，图中函数为对称于纵轴的三角波,（2.20）,（2.21）,傅里叶级数表达成指数函数的形式,由欧拉公式可知 ： 代入式（2.12）有： 令 则 或,（2.22）,（2.23）,（2.24）,（2.25）,求傅里叶级数的复系数 Cn Cn是离散频率n0的函数，称为周期函数x(t)的离散频谱。 Cn一般为复数，故可写为 且有,（2.26）,（2.27）,（2.28）,（2.29）,离散频谱的两个重要性质,每个实周期函数的幅值谱是n（或n0）的偶函数 。 当周期信号有时间移位时，其振幅谱不变，相位谱发生n0弧度的变化。,周期信号的频谱的特点,周期信号的频谱是离散谱； 周期信号的谱线仅出现在基波及各次谐波频率处； 周期信号的幅值谱中各频率分量的幅值随着频率的升高而减小，频率越高，幅值越小。,解：根据式（2.26）有,例2 求周期矩形脉冲的频谱，设周期矩形脉冲的周期为T，脉冲宽度为，如图2.16所示。,图2.16 周期矩形脉冲,由于0=2/T，代入上式得 定义 则式（2.36）变为 根据式（2.25）可得到周期矩形脉冲信号的傅里叶级数展开式为,（2.36）,（2.37）,（2.38）,（2.39）,图2.17 周期矩形脉冲的频谱（T=4）,通常将0 2/T这段频率范围称周期矩形脉冲信号的带宽，用符号C表示： 我们来考虑当周期矩形脉冲信号的周期和脉宽改变时它们的频谱变化的情形。,(2.40),图2.18 信号脉冲宽度与频谱的关系,信号的脉冲宽度相同而周期不同时，其频谱变化情形 ：,图2.19 信号周期与频谱的关系,五、周期信号的功率,一个周期信号x（t）的功率为 ： 将式（2.15）代入式（2.41），有 根据正交函数的性质 ，式（2.41）展开后的结果为： 上式等号右端的第一项表示信号x（t）的直流功率，而第二项则为信号的各次谐波的功率之和。,（2.41）,（2.42）,（2.43）,又因为 ，故式（2.43）又可写为 式(2.43)和式(2.44)称巴塞伐尔（Parseval）定理。它表明：周期信号在时域中的信号功率等于信号在频域中的功率。 定义周期信号x（t）的功率谱为 其中Pn表示信号第n个功率谱点。 功率谱的性质 : Pn是非负的； Pn是n的偶函数； Pn不随时移而改变。,（2.44）,（2.45）,六、非周期信号的频域描述,（一）傅里叶变换与连续频谱 （二）能量谱 （三）傅里叶变换的性质 （四）功率信号的傅里叶变换,（一）傅里叶变换与连续频谱,设x（t）为(-T/2,T/2)区间上的一个周期函数。它可表达为傅里叶级数的形式： 式中 将式（2.50）代入式（2.49）得 当T时，区间(-T/2,T/2)变成(-, )，另外，频率间隔=0=2/T变为无穷小量，离散频率n0变成连续频率 。,(2.49),(2.50),(2.51),由式（2.51）得到 将式（2.52）中括号中的积分记为： 它是变量的函数。则（2.52）式可写为： 将X()称为x（t）的傅里叶变换(Fourier transform,FT)，而将x(t)称为X()的逆傅里叶变换，记为：,(2.52),(2.53),(2.54),(2.55),非周期函数x（t）存在有傅里叶变换的充分条件是x（t）在区间(-, )上绝对可积，即 但上述条件并非必要条件。因为当引入广义函数概念之后，许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换。 若将上述变换公式中的角频率用频率f来替代，则由于=2f，式（2.53）和（2.54）分别变为,(2.56),(2.57),小结： 从式（2.57）可知，一个非周期函数可分解成频率f连续变化的谐波的叠加。式中X(f)df的是谐波ej2f的系数，决定着信号的振幅和相位。 X(f)或X()为x(t)的连续频谱。 由于X(f)一般为实变量f的复函数，故可将其写为 将上式中的 (或 ，当变量为时）称非周期信号x(t)的幅值谱， (f)（或()）称x(t)的相位谱。,(2.59),例4 求图示单边指数函数的频谱。 解：由式（2.56）有 于是,图2.21 单边指数函数 e-at(t) (a0),图2.22 单边指数函数e-at(t) (a0)的频谱,例5 图2.23所示为一矩形脉冲（又称窗函数或门函数），用符号gT(t)表示： 求该函数的频谱。 解：,图2.23 矩形脉冲函数,(2.59),其幅频谱和相频谱分别为 ： 可以看到，窗函数gT(t)的频谱GT()是一个正或负的实数，正、负符号的变化相当于在相位上改变一个弧度。,(2.60),(2.61),(2.62),图2.24 矩形脉冲函数的频谱GT(),矩形脉冲函数与sinc函数之间是一对傅里叶变换对，若用rect（t）表示矩形脉冲函数则有：,（二）能量谱,一个非周期函数x（t）的能量定义为 将式（2.54）代入上式可得 对于实信号x(t)，有 ,式(2.64)变为,(2.63),(2.64),由此最后得 式（2.64）亦称巴塞伐尔方程或能量等式。它表示，一个非周期信号x(t)在时域中的能量可由它在频域中连续频谱的能量来表示。 式（2.64）亦可写成 其中， , 称S()为x(t)的能量谱密度函数，简称能量谱函数。,(2.65),(2.66),图2.27 矩形脉冲函数的能量谱曲线及能量表示,(三)傅里叶变换的性质,对称性（亦称对偶性） 线性 尺度变换性 奇偶性 时移性 频移性（亦称调制性） 卷积 时域微分和积分 频域微分和积分,对称性（亦称对偶性） 若有 则有 线性 如果有 则,(2.67),(2.68),尺度变换性(scaling) 如果有 则对于实常数a，有 若信号x（t）在时间轴上被压缩至原信号的1/a，则其频谱函数在频率轴上将展宽a倍，而其幅值相应地减至原信号幅值的1/|a|。 信号的持续时间与信号占有的频带宽成反比。,(2.69),图2.29 窗函数的尺度变换（a=3）,奇偶性 x(t)为时间t的实函数 x(t)为偶函数（x(t)=x(-t)），X()为的实、偶函数； x(t)为奇函数（x(t)=-x(-t)），X()为的虚、奇函数； x(t)为时间t的实函数,(2.73),(2.74),5. 时移性(time shifting) 如果有 则 例8 求图2.30所示矩形脉冲函数的频谱 。 解：该函数的表达式可写为 可视为一个中心位于坐标原点的矩形脉冲时移至t0点位置所形成。则 幅频谱和相频谱分别为,(2.75),图2.30 具有时移t0的矩形脉冲,图2.31 具有时移的矩形脉冲函数的幅频和相频谱图形,6. 频移性(frequency shifting)（亦称调制性） 如果有 则 0常数。,(2.76),图2.32 x(t)cos0t的频谱,7. 卷积(convolution) 时域卷积 如果有 则 式中x(t)*h(t)表示x(t)与h(t)的卷积。 频域卷积 如果有 则,(2.79),(2.81),证明：（时域卷积）根据卷积积分的定义有 其傅里叶变换为 由时移性知， 代入上式得,(2.80),图2.34 卷积的图解,时域微分和积分 如果有 则 以及 条件是X(0)=0。 证明：(1) n阶微分的傅里叶变换公式：,(2.87),(2.88),(2.89),(2) 设函数g(t)为 其傅里叶变换为G()。由于 利用(2.87)得 或 亦即,9. 频域微分和积分 如果有 则 进而可扩展为 和 式中 若x(0)=0，则有,(2.91),(2.92),(2.93),(2.94),（四）功率信号的傅里叶变换,只有满足狄里赫利条件的信号才具有傅里叶变换，即 。 有限平均功率信号，它们在(-, )区域上的能量可能趋近于无穷，但它们的功率是有限的，即满足 利用函数和某些高阶奇异函数的傅立叶变换来实现这些函数的傅立叶变换。,(2.95),1.单位脉冲函数,在时间内激发有一矩形脉冲p (t)，的幅值为，面积为1。当0时，该矩形脉冲p (t)的极限便称为单位脉冲(impulse)函数或函数。 性质： （1） （2）,(2.96),(2.97),图2.36 矩形脉冲函数与函数,由函数的两条性质式(2.96)和(2.97) ，可得 其中x(t)在t=t0时是连续的。 单位脉冲函数(t)的傅里叶变换 ： 即,(2.99),(2.100),(2.101),图2.37 (t)及其傅里叶变换,时移单位脉冲函数(t-t0)的傅里叶变换对：,常数1的傅里叶变换对：,图2.38 (t-t0)及其傅里叶变换,图2.39 常数1及其傅立叶变换,(2.102),(2.103),(2.104),单位脉冲函数(t)与任一函数x(t)的卷积 证明： 推广可得,(2.105),(2.106),图2.41 x(t-t1)与(t-t0)的卷积,2.余弦函数,欧拉公式： 余弦函数的频谱： 正弦函数的频谱：,图2.42 正、余弦函数及其频谱,(2.111),(2.110),(2.109),3.周期函数,周期函数x(t) 的傅里叶级数形式： 式中 x(t)的傅立叶变换为： 一个周期函数的傅里叶变换由无穷多个位于的各谐波频率上的单位脉冲函数组成。,(2.117),例12 单位脉冲序列 求它的傅里叶变换。 解：将x(t)表达为傅里叶级数的形式 于是有 对式（2.119）两边作傅里叶变换得 根据式（2.117）可得 亦即,(2.118),(2.119),(2.120),一个周期脉冲序列的傅里叶变换仍为（在频域中的）一个周期脉冲序列。单个脉冲的强度为0=2/T，且各脉冲分别位于各谐波频率n0=n2/T上，n=0, 1, 2, 。,图2.47 周期脉冲序列函数及其频谱,七、随机信号描述,（一）概述 （二）随机过程的主要特征参数 均值、均方值和方差 概率密度函数和概率分布函数,（一）概述,随机信号(random signal)特点： 具有不能被预测的瞬时值； 不能用解析的时域模型来加以描述； 能由它们的统计的和频谱的特性来加以表征。 描述随机信号必须采用概率统计的方法。 样本(samle)函数 ：随机信号按时间历程所作的各次长时间的观察 ，记作xi(t)。 样本记录 ：在有限时间区间上的样本函数。 随机过程 ：同一试验条件下的全部样本函数的集（总体）(ensemble)，记为x(t)。,(2.121),对随机过程常用的统计特征参数： 均值、均方值、方差、概率密度函数、概率分布函数和功率谱密度函数等。 均值(mean value)： 均方值(mean square value)： 这些特征参数均是按照集平均(set average)来计算的，即在集中的某个时刻对所有的样本函数的观测值取平均。 分类： 平稳随机过程 ； 非平稳过程。,平稳随机过程(stationary random process) ： 过程的统计特性不随时间的平移而变化、或者说不随时间原点的选取而变化的过程。严格地说便是：如果对于时间t的任意n个数值t1,t2, ,tn和任意实数，随机过程x(t)的n维分布函数满足关系式 对于一个平稳随机过程，若它的任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集平均统计特征，则该过程称为各态历经(ergodic)过程。 工程中遇到的许多过程都可认为是平稳的；其中的许多都具有各态历经性。,(2.124),（二）随机过程的主要特征参数,均值、均方值和方差 对于一个各态历经过程x(t)，其均值x定义为 Ex变量x的数学期望值； x(t) 样本函数 ； T观测的时间。 均值x表示信号的常值分量。 随机信号的均方值x2定义为 Ex2变量x2的数学期望值。 均方值描述信号的能量或强度 。x2的平方根称均方根值xrms 。,(2.125),随机信号的方差(variance)x2定义为 方差x2表示随机信号的波动分量，方差的平方根x称为标准偏差(standard deviation)。 x、x2、x2之间的关系为 随机过程的均值、方差和均方值的估计(estimate)公式为：,(2.127),(2.128),(2.129),(2.130),(2.131),概率密度函数(probability density function) 概率密度函数是指一个随机信号的瞬时值落在指定区间（x,x+x）内的概率对x比值的极限值。 概率密度函数p(x)则定义为：,2.概率密度函数和概率分布函数,(2.134),(2.135),概率分布函数(probability distribution function) 概率分布函数P(x)表示随机信号的瞬时值低于某一给定值x的概率，即 式中Tx为x(t)值小于或等于x的总时间。 概率密度函数与概率分布函数间的关系,(2.137),(2.138),(2.139),利用概率密度函数还可来识别不同的随机过程。,图2.51 典型随机信号的概率密度函数图 （a）正弦信号（初始相角为随机量）（b）正弦加随机噪声 （c）窄带随机信号（d）宽带随机信号,