理论力学-第十一章动量矩定理.ppt

动量矩定理,均质轮受外力作用而作定轴转动,不能用动量定理、质心运动定理 来描述轮绕质心轴的定轴转动。,质心运动定理,引言,几个有意义的实际问题,动量矩定理,谁最先到 达顶点?,几个有意义的实际问题,直升飞机如果 没有尾翼将发生 什么现象,动量矩定理,跳远运动员怎样使身体在空中不发生转动？,Prof, Wang JX,几个有意义的实际问题,动量矩定理,四脚朝天的猫怎样在空中将自己的身体翻转过来变为四脚落地？,几个有意义的实际问题,动量矩定理,1、坐在转椅上(双脚离地)或摇篮内的小孩,是否可用双手将转椅转动?,2、花样滑冰的运动员通过手臂的伸长和收拢改变旋转的速度，你能否说明此道理？,几个有意义的实际问题,3、太空中飘浮状态下的宇航员，如何实现转体180度？,动量矩定理,101 质点和质点系的动量矩 102 动量矩定理 103 刚体绕定轴的转动微分方程 104 刚体对轴的转动惯量 105 质点系相对于质心的动量矩定理 106 刚体的平面运动微分方程,第十章 动量矩定理,动量矩定理,10-1质点和质点系的动量矩,矢量,一、质点的动量矩,1、质点对固定点O的动量矩：,大小：,2QOA,方向：,右手螺旋,质点的动量对于定点O的矩,动量矩定理,2、质点对定轴 z 的动量矩,代数量,大小：,符号：,q,O,2QOA,从 z 轴正向看,逆时针为正,顺时针为负.,一般情况下，质点对定轴 的动量矩,动量对同一轴之矩的代数和.,3、质点对固定点的动量矩与对通过该点的任意定轴 z 的动量矩之间的关系,质点对点的动量矩矢在 轴上的投影， 等于对该轴的动量矩。,2、质系对固定轴z 动量矩,二、质点系的动量矩,1、质系对固定点的动量矩,3、质系对定点的动量矩和对定轴的 动量矩的关系,动量矩定理,4、刚体的动量矩计算,（2）刚体定轴转动时对定转轴的动量矩计算,令,刚体对轴的转动惯量,例1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O的转动惯量为J，半径为r，角速度为，重物A的质量为m，并设绳与原盘间无相对滑动，求系统对轴O的动量矩。,11-2动量矩定理,一、质点的动量矩定理,1、对固定点的动量矩定理,动量矩定理,3、质点的动量矩守恒,常矢量,2、对定轴的动量矩定理,注意：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致。,动量矩定理,运动分析,受力分析,例1已知单摆m，l，从静止开始释放。 求单摆的运动微分方程。,动量矩定理,二、质点系的动量矩定理,1、质点系对固定点的动量矩定理,动量矩定理,由于,2、质点系对固定轴的动量矩定理,注意：,1、上述动量矩定理的形式只适用于对,对于一般的动点或动轴，动量矩定理具有较复杂的表达式。,2、动量矩和力矩的正负号规定必须完全一致。,3、只有外力的矩才能改变质点系的动量矩,固定点或固定轴；,例 均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求重物下落的加速度。,受力分析,运动分析,例 高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，绕O轴转动。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道倾角为。设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。,受力分析,运动分析,再次强调：,动量矩和力矩的正负号规定必须完全一致。,例：已知 , , , , , ,不计摩擦.,求:（1）,（2）O处约束力,（3）绳索张力 ，,由 ,得,（2）由质心运动定理,（3） 研究,（4）研究,3动量矩守恒定律,若 ,若 , 则 常量。,则 常矢量；,4、质点在有心力的作用下,动量矩定理,对Z轴的动量矩守恒,r,质点在有心力的作用下,开普勒第二定律,面积定律：,行星和太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。,动量矩守恒实例,坐在转椅上(双脚离地)或摇篮内的小孩,是否可用双手将转椅转动?,思考1,某同学坐在实验室转椅上（转椅的铅直转动轴上的摩擦不计），手握两个哑铃。现从静止开始欲向后转体180度，请你设计一套最佳动作。,思考2,1、两人的质量相同，A比B爬的快。二人分别抓住绳的两端从同一高度由静止向上爬，不计绳与滑轮的质量及轴承的摩擦，分析比赛结果。,二人爬绳比赛,动量矩守恒。,二猴的绝对速度永远相等，比赛不分胜负。,受力分析,例 水平杆AB长2a，可绕铅垂轴 z 转动，其两端各用铰链与长为l的杆AC及BD相连，杆端各联结质量为m的小球C和D。起初两小球用细线相连，使杆AC与BD均为铅垂，这系统绕 z 轴的角速度为w0。如某时此细线拉断，杆AC和BD各与铅垂线成a 角。不计各杆的质量，求这时系统的角速度w 。,受力分析,作业：在手柄AB上施加外力偶矩M0，通过鼓轮使物体C移动。鼓轮可视为均质圆柱，其对转轴的转动惯量为J，半径为R，物体C的质量为2，与水平面间的摩擦系数为f，求物体C的加速度。,15、滑轮的半径为R，质量为M；二重物系于绳的两端，质量分别为、；求重物的加速度。,动力学,5、平面运动刚体动量矩计算,11-3刚体绕定轴的转动微分方程,刚体定轴转动微分方程,、 使刚体的转动状态发生改变。,、如果作用于刚体上的主动力对转轴的矩的代数和为零，,、如果作用于刚体上的主动力对转轴的矩的代数和为常量，,几点说明,作用于刚体上的外力对转轴的矩,刚体不转或作匀速转动。,刚体作匀变速转动。,例题:已知: 求,解:,求微小摆动的周期 .,例 ： 物理摆（复摆），已知 ，,解：,微小摆动时，,即：,通解为,称角振幅， 称初相位，由初始条件确定.,周期,求：制动所需时间 .,例 ：已知： ，动滑动摩擦系数 ，,解：,例 ：已知 求： .,解：,因 ， ，得,11-4 刚体对轴的转动惯量,刚体（质量是连续分布）,一、定义：,离散的质点系,二、转动惯量的计算,（1）匀质细直杆长为l ,质量为m 。求对质心轴的转动惯量,动量矩定理,1简单形状物体的转动惯量计算,Z,（3）匀质圆板半径R，质量为m ，其对中心轴z的转动惯量。 任取一圆环，则,动量矩定理,（2）匀质圆环半径R，质量为m ，其对中心轴z的转动惯量为,2、 惯性半径 （或回转半径）,在工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯量,物体的转动惯量,称为回转半径,动量矩定理,同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。,3、平行移轴定理,动量矩定理,刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积，即,证明：设质量为m的刚体，质心为C，,已知均质杆的质量为m，对 z1 轴的转动惯量为J1，求杆对z2 的转动惯量J2 。,z,z1,z2,a,b,C,LZ=Jz,均质偏心圆轮重Q，偏心距OC=e，绕过O点且与图平面垂直的Z轴转动，某瞬时其 角速度为。求:在该瞬时圆轮对Z轴的动量矩,4计算转动惯量的组合法,钟摆： 均质直杆m1, l ； 均质圆盘：m2 , R 。 求 JO 。,动量矩定理,均质直角折杆尺寸如图，其质量为3m，求其对轴O的转动惯量。,薄壁圆筒,常见均质物体的转动惯量和回转半径,动量矩定理,转动惯量的计算,（1）简单形状物体,（2）规则形状物体的组合,（3）几何形状复杂的物体,查表,叠加,5、实验方法测物体的转动惯量,物体的重量为Q，绕轴O转动。重心C到转轴O的距离为OCL，测得微幅摆动的周期为T。,（2）落体法测转动惯量,测半径为R的飞轮对轴A的转动惯量,P2自同一高度下落，测下落时间t2秒。,P1，h，测出下落时间t1秒；,设摩擦力矩为一常力偶矩，与重物的重量无关。,转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度，,说明,转动惯量不仅与质量的大小有关，,更与质量的分布有关,是刚体转动时的惯性度量。,受到冲击时，能够保持比较稳定的运行状态。,从转动惯量的概念，看飞轮的作用,制造飞轮时，要求尽可能将飞轮的质量分布在轮缘上,使转动惯量尽可能大。,跳远运动员怎样使身体在空中不发生转动？,跳水运动员怎样使身体在空中转过大角度？,应用举例,应用举例,芭蕾舞演员、花样滑冰运动员如何实现高速转体动作？,起旋,加速,减速,例题 ：提升装置中，轮A、B的重量分别为P1 、 P2 ,半径分别为 r1 、 r2 , 可视为均质圆盘; 物体C 的重量为P3 ; 轮A上作用常力矩M1 。求 物体C上升的加速度。,补充方程,练习1、下列各图中圆盘的质量均为，半径为，计算圆盘转动的角加速度,练习2、质量为100Kg、半径为1米的均质制动轮以每分钟120转的速度绕轴O转动。现有一常力P作用于闸杆AB，使制动轮经10秒后停止运转。轮与杆间的滑动摩擦系数取f=0.1，求力P？,练习3、轮A的质量为m1，半径为r1，可绕轴A转动。B轮的质量为m2，半径为r2，可绕轴B转动。二轮开始接触时A轮的角速度为1，B静止。A轮放在B轮上后，A轮的重量由B轮支持。不计轴承摩擦及OA杆的重力。二轮间的动摩擦系数为f，A、B轮视为均质圆盘。问从A放在B上起，经多长时间二轮间无相对滑动？,练习4、A、B各重为P，B沿倾角为45度的光滑斜面运动。轮O的半径为R，鼓轮半径为，总重量为Q，对轴O的回转半径为。在轮上作用有自动力偶M。求A物体的加速度以及OB处绳的张力。,练习5、轮视为均质圆盘，半径为R，重为P，可在铅垂平面内绕轴O转动。B物体的重量为Q，沿倾角为45度的斜面向上运动。问当作用在鼓轮上的力矩为M时B的加速度有多大？轴承O处的反力有多大？当M？时B物体可匀速运动。,练习6、T形杆OABDL，各段的质量为，BAAD，且OA垂直于BD，OA杆水平。将绳BE突然割断，求此瞬时O处约束反力。,11-5质点系相对于质心的动量矩定理,如图平移动系Cxyx，质点系对质心C的动量矩为：,相对,绝对,1.质点系对定点O 的动量矩,质点系对任一点O的动量矩等于集中于系统质心的动量mvC对点O的动量矩加上此系统对于质心C的动量矩LC 。,动力学,例 滑轮A：m1，R1，J1。滑轮B：m2，R2，J2 。 R1=2R2； 物体C：m3 ，以速度v 匀速上升， 求系统对O轴的动量矩。,动力学,运动学分析,2 相对质心的动量矩定理,由于,即,得,质点系相对于质心的动量矩定理:质点系相对于 质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系 的外力对质心的主矩.,特别强调,2、只有相对于质心的动量矩定理才有较简单的形式；,1、如何计算质点系相对于质心的动量矩？,3、质点系瞬时相对于瞬心的动量矩定理,质点系相对于质心的动量矩守恒,能否用对固定轴的动量矩定理解释此现象,相对于质心的动量矩定理应用1,受力分析,外力对过质心身体纵轴的矩为零；,对质心轴的动量矩守恒,Lz0=0,猫在1/8秒的时间内使身体转过180度。,只受到自身重力作用,初始动量矩,结论：,符合力学原理，但不符合实际；,1、“四肢开合” 论,法国 古龙,苏联 洛强斯基与路易耶 理论力学教程,猫尾巴的质量猫的整个身体的质量；,1960 英国生物学家 麦克唐纳,割去猫尾巴作试验；,猫体在1/8秒内转过180度。,2、“转尾巴” 论,美国斯坦福大学 凯恩,在下落过程中依次向各个方向弯脊柱；,前半身作圆锥运动；,全身作为整体向相反方向转动；,前半身作圆锥运动一周，,4、“弯腰” 论,全身正好沿相反方向转过180度。,仿真计算,猫爪上厚实的脂肪肉垫,猫尾巴的平衡功能,腿部发达的肌肉,发达的运动神经,结实的肌肉韧带,太空中飘浮状态下的宇航员，如何实现转体180 度？,应用举例2,花样滑冰运动双人滑的抛旋动作,应用举例3,应用举例4,直升飞机如果没有尾翼将发生什么现象,应用举例5,相对质心的动量矩定理,质心运动定理,11-6 刚体平面运动微分方程,刚体的平面运动,随质心的平动,绕质心的转动,投影形式,刚体平面运动微分方程,说明,刚体的运动与其所受的力联系起来：,质心运动定理：,刚体质心的运动与,相对于质心的动量矩定理：,刚体的转动与,必须选取,质心为基点,得到刚体的平面运动微分方程。,外力系的主矢,外力系的主矩,对动力学问题的分析步骤：,2、受力分析；,3、补充运动学方程；,依据受力图列写动力学方程；,1、运动分析；,注意事项1,1、随质心平动部分的投影轴,要灵活选取；,2、在刚体运动的任意瞬时均成立；,3、方程仅对质心C成立；,注意事项2,1、正确画出研究对象的受力图，,然后列动力学方程,2、动力学问题求解常常需要,补充运动学关系,3、静滑动摩擦力一般是未知量，,不能补充方程,动滑动摩擦力在任何情况下均可以补充：,例1 半径为r、质量为m的均质圆轮沿水平直线纯滚动。设轮的回转半径为rC，作用于圆轮上的驱动力矩为M。求（1）轮心的加速度；（2）地面对圆轮的约束力；（3）圆轮与地面间的静摩擦系数为f，在不滑动的条件下力矩M的最大值。,2、受力分析,1、运动分析,3、动力学方程,4、补充方程,欲使圆轮只滚动而不滑动,请谈谈体会,1、无主动外力时，,什么力使质心产生加速度？,2、纯滚动时能否直接补充,3、纯滚动时运动学关系：,移动的动力；,例题2 课本278页,例3、课本283页11-14,O,B,例4、 均质圆柱体O 和C的质量均为M，半径相等。圆柱O可绕通过点O 的水平轴转动，一绳绕在圆柱O上 。 求圆柱下落时，其质心C 的加速度及 AB段绳的拉力T。,aA = aB,aC = aB + aCB ,运动分析,O,A,B,= R O,=R O+R C,受力分析,动力学方程,MR2 O /2 =T R,Mg - T = M aC,MR2 C /2 =T R,aC=R O+R C,请谈谈体会,1、明确每一个刚体的运动；,2、针对不同运动的刚体选用合适的动力学方程；,4、利用运动学知识得到补充方程；,3、受力分析重要吗？,5、擅长取运动状态明确的单个构件；,O1,O2,A,B,C,例5、质量为M长为l 的均质杆AB用等长的细绳悬挂静止。若突然把绳O2B剪断, 求此瞬时绳O1A的拉力T为多少.,AB= 0,O1,O2,A,B,C,剪断O2B的瞬时,运动分析,anA= 0,x,O1,O2,A,B,C,受力分析,动力学方程,例6. 均质直杆AB长l ,质量为M ,静止于光滑水平面上如图所示.若突然把绳 OA 剪断,求此瞬时点 B 的加速度和杆AB的角加速度。,1、运动分析,anBC =0,=0,2、受力分析,3、动力学方程,4、补充方程,例7 均质圆柱C质量为M，半径为R ，无初速的放在倾角为 的斜面上，不计滚动阻力 ，求其中心 C 点的加速度和圆柱的角加速度。,M ec= 0, = 0,1、设接触处是光滑的,受力分析,运动分析,=0,动力学方程,受力分析,运动分析,动力学方程,2、接触处是粗糙的，圆柱作纯滚动,3、设接触处有摩擦但圆柱不能作纯滚动,N - M g cos = 0,F = f N,受力分析,运动分析,动力学方程,例8 小车上放一半径为R质量为 M 的钢管(钢管厚度不计) ,钢管与车面间有足够的摩擦力防止滑动 。今小车以加速度a向右运动,不计滚动摩擦求钢管中心C的加速度,ac = a+ a CB,ac = a + R ,运动分析,受力分析,动力学方程,M a C= F,MR2 = -F R,例9 均质圆柱，半径为r，重量为Q，置圆柱于墙角。初始角速度0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f ，滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。,补充方程：,受力分析,质心C不动，刚体绕质心转动,运动分析,动力学方程,例 长 l，质量为m 的均质杆 AB 和 BC 用铰链 B 联接， 并用铰链 A 固定，位于平衡位置。今在 C 端作用一水平力F， 求此瞬时，两杆的角加速度,本章小结,1质系对定点的动量矩,质系对于某定轴,2质系动量矩定理,动量矩定理,3刚体绕定轴转动微分方程,4质系相对质心动量矩定理,5刚体平面运动微分方程,动量矩定理,