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热点专题突破系列(四)立体几何的综合问题考点一考点一 平行、垂直关系的证明与体积的计算平行、垂直关系的证明与体积的计算【考情分析【考情分析】以空间几何体以空间几何体(主要是柱、锥或简单组合体主要是柱、锥或简单组合体)为载体为载体,通过空间平通过空间平行、垂直关系的论证命制行、垂直关系的论证命制,主要考查公理主要考查公理4 4及线、面平行与垂直的判定及线、面平行与垂直的判定定理与性质定理定理与性质定理,常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查考查,考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想,一般以解答题的形式出现一般以解答题的形式出现,难度中等难度中等.【典例【典例1 1】(2014(2014重庆高考改编重庆高考改编)如图所示如图所示,在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,底面是以底面是以O O为中心的菱形为中心的菱形,POPO底面底面ABCD,AB=2,BAD=,MABCD,AB=2,BAD=,M为为BCBC上一点上一点,且且BM=,NBM=,N为为ABAB上一点上一点,且且BN=.BN=.(1)(1)证明证明:MN:MN平面平面PAC.PAC.(2)(2)证明证明:BC:BC平面平面POM.POM.(3)(3)若若MPAP,MPAP,求四棱锥求四棱锥P-ABMOP-ABMO的体积的体积.31212【解题提示【解题提示】(1)(1)只需证明只需证明MNMNACAC即可即可.(2)(2)在平面在平面POMPOM内可以找到内可以找到OM,POOM,PO与与BCBC垂直垂直,从而得出结论从而得出结论.(3)(3)直接利用体积公式求解即可直接利用体积公式求解即可.【规范解答【规范解答】(1)(1)因为因为BM=BN=,BM=BN=,所以所以所以所以MNAC.MNAC.又又MNMN 平面平面PAC,ACPAC,AC 平面平面PAC,PAC,所以所以MNMN平面平面PAC.PAC.12BMBN,BCBA(2)(2)因为因为ABCDABCD为菱形为菱形,O,O为菱形中心为菱形中心,连接连接OB,OB,则则AOOB.AOOB.因为因为BAD=,BAD=,故故OB=ABOB=ABsinsin =1,=1,又因为又因为BM=,BM=,且且OBM=,OBM=,在在OBMOBM中中,OMOM2 2=OB=OB2 2+BM+BM2 2-2OB-2OBBMBMcosOBMcosOBM36123221131()2 1cos.2234 所以所以OBOB2 2=OM=OM2 2+BM+BM2 2,故故OMBM,OMBM,故故OMBC.OMBC.又又POPO底面底面ABCD,ABCD,所以所以POBC.POBC.从而从而BCBC与平面与平面POMPOM内两条相交直线内两条相交直线OM,POOM,PO都垂直都垂直,所以所以BCBC平面平面POM.POM.(3)(3)由由(2)(2)得得,OA=AB,OA=ABcosOABcosOAB=2=2设设PO=a,PO=a,由由POPO底面底面ABCDABCD知知,POAPOA为直角三角形为直角三角形,故故PAPA2 2=PO=PO2 2+OA+OA2 2=a=a2 2+3.+3.由由POMPOM也是直角三角形也是直角三角形,故故PMPM2 2=PO=PO2 2+OM+OM2 2=a=a2 2+.+.连接连接AM,AM,在在ABMABM中中,AMAM2 2=AB=AB2 2+BM+BM2 2-2AB-2ABBMBMcosABMcosABMcos3.63422112212()2 2cos.2234 由已知由已知MPAP,MPAP,故故APMAPM为直角三角形为直角三角形,则则PAPA2 2+PM+PM2 2=AM=AM2 2,即即 得得 (舍去舍去),),即即PO=PO=此时此时S S四边形四边形ABMOABMO=S=SAOBAOB+S+SOMBOMB=AOAOOB+OB+BMBMOMOM所以四棱锥所以四棱锥P-ABMOP-ABMO的体积的体积22321a3a,44 33a,a22 3.2121211135 33 1.22228 P ABMOABMO115 335VSPO.338216四边形【规律方法【规律方法】1.1.空间两直线位置关系的判定方法空间两直线位置关系的判定方法(1)(1)对于平行直线可通过作辅助线对于平行直线可通过作辅助线,利用三角形或梯形中位线的性质及利用三角形或梯形中位线的性质及线面平行与面面平行的性质定理线面平行与面面平行的性质定理.(2)(2)垂直关系可采用线面垂直的性质解决垂直关系可采用线面垂直的性质解决.2.2.空间线面的位置关系的判定方法空间线面的位置关系的判定方法(1)(1)证明直线与平面平行证明直线与平面平行,设法在平面内找到一条直线与已知直线平行设法在平面内找到一条直线与已知直线平行,解答时合理利用中位线性质、线面平行的性质解答时合理利用中位线性质、线面平行的性质,或构造平行四边形或构造平行四边形,寻寻求比例关系确定两直线平行求比例关系确定两直线平行.(2)(2)证明直线与平面垂直证明直线与平面垂直,主要途径是找到一条直线与平面内的两条相主要途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直交直线垂直.解题时注意分析观察几何图形解题时注意分析观察几何图形,寻求隐含条件寻求隐含条件.3.3.空间面面的位置关系的判定方法空间面面的位置关系的判定方法(1)(1)证明面面平行证明面面平行,需要证明线面平行需要证明线面平行,要证明线面平行需证明线线平要证明线面平行需证明线线平行行,将将“面面平行面面平行”问题转化为问题转化为“线线平行线线平行”问题问题.(2)(2)证明面面垂直证明面面垂直,将将“面面垂直面面垂直”问题转化为问题转化为“线面垂直线面垂直”问题问题,再再将将“线面垂直线面垂直”问题转化为问题转化为“线线垂直线线垂直”问题问题.4.4.计算几何体体积的关键及注意点计算几何体体积的关键及注意点计算几何体的体积时计算几何体的体积时,能直接用公式时能直接用公式时,关键是确定几何体的高关键是确定几何体的高,而不而不能直接用公式时能直接用公式时,注意进行体积的转化注意进行体积的转化.【变式训练【变式训练】(2015(2015杭州模拟杭州模拟)如图如图,在三棱柱在三棱柱ABCABC-A A1 1B B1 1C C1 1中中,ACBC,ABBBACBC,ABBB1 1,AC=BC=BB,AC=BC=BB1 1=2,D=2,D为为ABAB的中点的中点,且且CDDACDDA1 1.(1)(1)求证求证:平面平面A A1 1B B1 1BB平面平面ABC.ABC.(2)(2)求多面体求多面体DBCDBC-A A1 1B B1 1C C1 1的体积的体积.【解析【解析】(1)(1)因为因为AC=BC,DAC=BC,D为为ABAB的中点的中点,所以所以CDAB,CDAB,又又CDDACDDA1 1,ABDA,ABDA1 1=D,=D,所以所以CDCD平面平面A A1 1B B1 1B,B,又因为又因为CD CD 平面平面ABC,ABC,故平面故平面A A1 1B B1 1BB平面平面ABC.ABC.(2)(2)因为平面因为平面A A1 1B B1 1BB平面平面ABC,ABC,平面平面A A1 1B B1 1BB平面平面ABC=AB,BBABC=AB,BB1 1AB,AB,BBBB1 1 平面平面A A1 1B B1 1B,B,所以所以BBBB1 1平面平面ABC,ABC,故故AAAA1 1平面平面ABC,ABC,因此因此=S=SABCABC|AA|AA1 1|-S|-SADCADC|AA|AA1 1|=S|=SABCABC|AA|AA1 1|-S|-SABCABC|AA|AA1 1|=|=S SABCABC|AA|AA1 1|=.|=.111DBC A B CV多面体1111ABC A B CAADCVV棱柱棱锥13113256103【加固训练【加固训练】(2013(2013江西高考江西高考)如图如图,四棱柱四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,AA,AA1 1面面ABCD,ABCD,ADAB,AB=2,AD=,AAABCD,ABCD,ADAB,AB=2,AD=,AA1 1=3,E=3,E为为CDCD上一点上一点,DE=1,EC=3.,DE=1,EC=3.(1)(1)证明证明:BE:BE平面平面BBBB1 1C C1 1C.C.(2)(2)求点求点B B1 1到平面到平面EAEA1 1C C1 1的距离的距离.2【解析【解析】(1)(1)过点过点B B作作CDCD的垂线交的垂线交CDCD于点于点F,F,则则BF=AD=,BF=AD=,EF=AB-DE=1,FC=2.EF=AB-DE=1,FC=2.在在RtRtBFEBFE中中,BE=,BE=,在在RtRtCFBCFB中中,BC=.,BC=.在在BECBEC中中,因为因为BEBE2 2+BC+BC2 2=9=EC=9=EC2 2,所以所以BEBC,BEBC,又由又由BBBB1 1平面平面ABCDABCD得得BEBBBEBB1 1,又又BBBB1 1BC=B,BC=B,故故BEBE平面平面BBBB1 1C C1 1C.C.236(2)(2)在在RtRtA A1 1D D1 1C C1 1中，中，同理，同理，则则设点设点B B1 1到平面到平面EAEA1 1C C1 1的距离为的距离为d d，则三棱锥，则三棱锥B B1 1-EA-EA1 1C C1 1的体积为的体积为所以点所以点B B1 1到平面到平面EAEA1 1C C1 1的距离为的距离为111111E A B C1A B C1VAA S2.322111111A CA DD C 3 2.222221111ECECCC3 2A EA AADDE2 3.，11A C ES3 5.11A C E110Vd S5d,5d2,d.35 从而10.5考点二考点二 平面图形折叠成空间几何体问题平面图形折叠成空间几何体问题【考情分析【考情分析】先将平面图形折叠成空间几何体先将平面图形折叠成空间几何体,再以其为载体研究其中的线、再以其为载体研究其中的线、面间的位置关系与计算有关的几何量是近几年高考考查立体几何的一面间的位置关系与计算有关的几何量是近几年高考考查立体几何的一类重要考向类重要考向,它很好地将平面图形拓展成空间图形它很好地将平面图形拓展成空间图形,同时也为空间立体同时也为空间立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径图形向平面图形转化提供了具体形象的途径,是高考深层次上考查空是高考深层次上考查空间想象能力的主要方向间想象能力的主要方向.【典例【典例2 2】(2015(2015中山模拟中山模拟)如图如图1 1所示所示,在在RtRtABCABC中中,AC=6,BC=3,AC=6,BC=3,ABC=90ABC=90,CD,CD为为ACBACB的平分线的平分线,点点E E在线段在线段ACAC上上,且且CE=4.CE=4.如图如图2 2所示所示,将将BCDBCD沿沿CDCD折起折起,使得平面使得平面BCDBCD平面平面ACD,ACD,连接连接AB,AB,设点设点F F是是ABAB的中点的中点.(1)(1)求证求证:DE:DE平面平面BCD.BCD.(2)(2)若若EFEF平面平面BDG,BDG,其中其中G G为直线为直线ACAC与平面与平面BDGBDG的交点的交点,求三棱锥求三棱锥B-DEGB-DEG的体积的体积.【解题提示【解题提示】(1)(1)由平面由平面BCDBCD平面平面ACD,ACD,只需证明只需证明DEDEDCDC即可即可.(2)(2)先由平面先由平面BCDBCD平面平面ACD,ACD,求得求得B B到平面到平面ACD,ACD,即即DEGDEG的距离的距离,再由体积再由体积公式求解公式求解.【规范解答【规范解答】(1)(1)在题图在题图1 1中中,因为因为AC=6,BC=3,ABC=90AC=6,BC=3,ABC=90,所以所以A=30A=30,ACB=60,ACB=60.因为因为CDCD为为ACBACB的平分线的平分线,所以所以BCD=ACD=30BCD=ACD=30,所以所以CD=2 .CD=2 .因为因为CE=4,DCE=30CE=4,DCE=30,由余弦定理可得由余弦定理可得cos30cos30=即即 ,解得解得DE=2.DE=2.则则CDCD2 2+DE+DE2 2=EC=EC2 2,所以所以CDE=90CDE=90,DEDC.,DEDC.3222CECDDE,2CE CD22234(2 3)DE22 4 2 3 在题图在题图2 2中中,因为平面因为平面BCDBCD平面平面ACD,ACD,平面平面BCDBCD平面平面ACD=CD,ACD=CD,DE DE 平面平面ACD,ACD,且且DEDC,DEDC,所以所以DEDE平面平面BCD.BCD.(2)(2)在题图在题图2 2中中,因为因为EFEF平面平面BDG,EF BDG,EF 平面平面ABC,ABC,平面平面ABCABC平面平面BDG=BG,BDG=BG,所以所以EFBG.EFBG.因为点因为点E E在线段在线段ACAC上上,CE=4,CE=4,点点F F是是ABAB的中点的中点,所以所以AE=EG=CG=2.AE=EG=CG=2.作作BHCDBHCD于点于点H.H.因为平面因为平面BCDBCD平面平面ACD,ACD,所以所以BHBH平面平面ACD.ACD.由已知可得由已知可得所以三棱锥所以三棱锥B-DEGB-DEG的体积的体积V=SV=SDEGDEGBH=BH=BD BC333BH.DC22 3DEGACD111SSAC CD sin 303,332 131333.322【规律方法【规律方法】折叠问题的求解策略折叠问题的求解策略(1)(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量.一般情况下一般情况下,长度是不变量长度是不变量,而位置关系往往会发生变化而位置关系往往会发生变化.(2)(2)在解决问题时在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图既要分析折叠后的图形形,也要分析折叠前的图形也要分析折叠前的图形.进而将其转化为立体几何的常规问题求解进而将其转化为立体几何的常规问题求解.解决折叠问题的关注点解决折叠问题的关注点平面图形折叠成空间图形平面图形折叠成空间图形,主要抓住变与不变的量主要抓住变与不变的量,所谓不变的量所谓不变的量,即是指即是指“未折坏未折坏”的元素的元素,包括包括“未折坏未折坏”的边和角的边和角,一般优先标出未一般优先标出未折坏的直角折坏的直角(从而观察是否存在线面垂直从而观察是否存在线面垂直),),然后标出其他特殊角然后标出其他特殊角,以及以及所有不变的线段所有不变的线段.【变式训练【变式训练】(2015(2015天津模拟天津模拟)如图如图,在边长为在边长为3 3的正三角形的正三角形ABCABC中中,G,F,G,F为边为边ACAC的三等分点的三等分点,E,P,E,P分别是分别是AB,BCAB,BC边上的点边上的点,满足满足AE=CP=1,AE=CP=1,今今将将BEP,BEP,CFPCFP分别沿分别沿EP,FPEP,FP向上折起向上折起,使边使边BPBP与边与边CPCP所在的直线重所在的直线重合合,B,C,B,C折后的对应点分别记为折后的对应点分别记为B B1 1,C,C1 1.(1)(1)求证求证:C:C1 1FF平面平面B B1 1GE.GE.(2)(2)求证求证:PF:PF平面平面B B1 1EF.EF.【证明【证明】(1)(1)取取EPEP的中点的中点D,D,连接连接FD,CFD,C1 1D.D.因为因为BC=3,CP=1,BC=3,CP=1,所以折起后所以折起后C C1 1为为B B1 1P P的中点的中点.所以在所以在B B1 1EPEP中中,DC,DC1 1EBEB1 1.又因为又因为AB=BC=AC=3,AE=CP=1,AB=BC=AC=3,AE=CP=1,所以所以 ,所以所以EP=2EP=2且且EPGF.EPGF.因为因为G,FG,F为为ACAC的三等分点的三等分点,所以所以GF=1.GF=1.EPEBACAB又因为又因为ED=EP=1,ED=EP=1,所以所以GF=ED,GF=ED,所以四边形所以四边形GEDFGEDF为平行四边形为平行四边形.所以所以FDGE.FDGE.又因为又因为DCDC1 1FD=D,GEBFD=D,GEB1 1E=E,E=E,所以平面所以平面DFCDFC1 1平面平面B B1 1GE.GE.又因为又因为C C1 1F F 平面平面DFCDFC1 1,所以所以C C1 1FF平面平面B B1 1GE.GE.12(2)(2)连接连接EF,BEF,B1 1F,F,由已知得由已知得EPF=60EPF=60,且且FP=1,EP=2,FP=1,EP=2,由余弦定理由余弦定理,得得EFEF2 2=1=12 2+2+22 2-2-21 12 2cos60cos60=3,=3,所以所以FPFP2 2+EF+EF2 2=EP=EP2 2,可得可得PFEF.PFEF.因为因为B B1 1C C1 1=PC=PC1 1=1,C=1,C1 1F=1,F=1,得得FCFC1 1=B=B1 1C C1 1=PC=PC1 1,所以所以PBPB1 1F F的中线的中线C C1 1F=PBF=PB1 1,可得可得PBPB1 1F F是直角三角形是直角三角形,即即B B1 1FPF.FPF.因为因为EFBEFB1 1F=F,EF,BF=F,EF,B1 1F F 平面平面B B1 1EF,EF,所以所以PFPF平面平面B B1 1EF.EF.12【加固训练【加固训练】(2013(2013湖北高考湖北高考)如图甲如图甲,在平面四边形在平面四边形ABCDABCD中中,已知已知A=45A=45,C,C=90=90,ADC=105,ADC=105,AB=BD,AB=BD,现将四边形现将四边形ABCDABCD沿沿BDBD折起折起,使平面使平面ABDABD平面平面BDCBDC(如图乙如图乙),),设点设点E,FE,F分别为棱分别为棱AC,ADAC,AD的中点的中点.(1)(1)求证求证:DC:DC平面平面ABC.ABC.(2)(2)设设CD=a,CD=a,求三棱锥求三棱锥A-BFEA-BFE的体积的体积.【解析【解析】(1)(1)在图甲中因为在图甲中因为AB=BDAB=BD且且A=45A=45,所以所以ADB=45ADB=45,ABD=90,ABD=90,即即ABBD.ABBD.在图乙中在图乙中,因为平面因为平面ABDABD平面平面BDC,BDC,且平面且平面ABDABD平面平面BDC=BD,BDC=BD,所以所以ABAB底面底面BDC,BDC,所以所以ABCD.ABCD.又又DCB=90DCB=90,所以所以DCBC,DCBC,且且ABBC=B,ABBC=B,所以所以DCDC平面平面ABC.ABC.(2)(2)因为因为E,FE,F分别为分别为AC,ADAC,AD的中点的中点,所以所以EFCD,EFCD,又由又由(1)(1)知知,DC,DC平面平面ABC,ABC,所以所以EFEF平面平面ABC,ABC,所以所以V VA-BFEA-BFE=V=VF-AEBF-AEB=S=SAEBAEBFEFE在图甲中在图甲中,因为因为ADC=105ADC=105,所以所以BDC=60BDC=60,DBC=30,DBC=30,13由由CD=aCD=a得得BD=2a,BC=a,EFBD=2a,BC=a,EF=CD=a,=CD=a,所以所以S SABCABC=AB=ABBC=BC=2a2a a=a a=a2 2,所以所以S SAEBAEB=所以所以3121212123323a,223A BFE1313Vaaa.32212考点三考点三 空间向量在立体几何中的应用空间向量在立体几何中的应用【考情分析【考情分析】在高考中主要考查通过建立恰当的空间直角坐标系在高考中主要考查通过建立恰当的空间直角坐标系,利用空间向利用空间向量的坐标运算证明空间中的线、面的平行与垂直关系量的坐标运算证明空间中的线、面的平行与垂直关系,计算空间角及计算空间角及空间距离空间距离,常与空间几何体的结构特征常与空间几何体的结构特征,空间线、面位置关系的判定定空间线、面位置关系的判定定理与性质定理等知识综合理与性质定理等知识综合,以解答题形式出现以解答题形式出现,难度中等难度中等.【典例【典例3 3】(2015(2015南昌模拟南昌模拟)如图如图,三棱柱三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,BC=2,BC,BC=2,BC1 1=,CC=,CC1 1=,=,ABCABC是以是以BCBC为底边的等腰三角形为底边的等腰三角形,平面平面ABCABC平面平面BCCBCC1 1B B1 1,E,F,E,F分别为棱分别为棱AB,CCAB,CC1 1的中点的中点.(1)(1)求证求证:EF:EF平面平面A A1 1BCBC1 1.(2)(2)若若ACAC2 2为整数为整数,且且EFEF与平面与平面ACCACC1 1A A1 1夹角的正弦值为夹角的正弦值为 ,求平面求平面CAACAA1 1与平面与平面AAAA1 1B B夹角的余弦值夹角的余弦值.2223【解题提示【解题提示】根据平面根据平面ABCABC平面平面BCCBCC1 1B B1 1,选坐标原点建立空间直角选坐标原点建立空间直角坐标系坐标系,(1),(1)求平面求平面A A1 1BCBC1 1的法向量的法向量n,证明证明n 即可即可.(2).(2)分别求平面分别求平面ACCACC1 1A A1 1与平面与平面AAAA1 1B B的法向量的法向量,利用向量的夹角公式求解利用向量的夹角公式求解.EF【规范解答【规范解答】(1)(1)因为因为CCCC1 1=BC=BC1 1=,BC=2,=,BC=2,所以所以CCCC1 1B B是以是以BCBC为斜边的等腰直角三角形为斜边的等腰直角三角形,取取BCBC的中点的中点O,O,连接连接AO,CAO,C1 1O,O,设设OA=b,OA=b,则则AOBC,CAOBC,C1 1OBC,OBC,因为面因为面ABCABC面面BCCBCC1 1B B1 1,且面且面ABCABC面面BCCBCC1 1B B1 1=BC,=BC,所以所以AOAO面面BCCBCC1 1B B1 1,C,C1 1OO面面ABC.ABC.2以以O O为坐标原点为坐标原点,以以OC,OCOC,OC1 1,OA,OA所在直线为所在直线为x,y,zx,y,z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系,所以所以C(1,0,0),CC(1,0,0),C1 1(0,1,0),A(0,0,b),(0,1,0),A(0,0,b),A A1 1(-1,1,b),B(-1,0,0).(-1,1,b),B(-1,0,0).所以所以所以所以 =(1,1,0)=(1,1,0)，=(1,0,-b)=(1,0,-b)，可得平面可得平面A A1 1BCBC1 1的一个法向量为的一个法向量为n=(b,-b,1),=(b,-b,1),所以所以 ,所以所以又又EFEF 平面平面A A1 1BCBC1 1，所以，所以EFEF平面平面A A1 1BCBC1 1.1b1 1E(0,),F(,0)222 2，1BC 11A C1bEF(1,)22，bbEFb022nEF，n(2)(2)设平面设平面ACCACC1 1A A1 1的一个法向量为的一个法向量为n1 1=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1)，又又 =(-1,1,0),=(1,0,-b),=(-1,1,0),=(1,0,-b),则则 令令z z1 1=1,=1,则则n1 1=(b,b,1).=(b,b,1).又又1CC AC 1111111CC0,xy0,xbz0AC0,，nn1bEF(1,)22，所以所以解得解得b=1b=1或或b=b=，因为因为ACAC2 2为整数，所以为整数，所以b=1,b=1,所以所以n1 1=(1,1,1)=(1,1,1)，同理可求得平面同理可求得平面AAAA1 1B B的一个法向量的一个法向量n2 2=(1,1,-1),=(1,1,-1),所以所以 所以余弦值为所以余弦值为 11212EF|b2|cos,EF,3|EF|5b2b144nnn1021212121cos.|3，n nnnnn1.3【规律方法【规律方法】利用空间向量证明线面位置关系与计算空间角的步骤利用空间向量证明线面位置关系与计算空间角的步骤(1)(1)根据题目中的条件根据题目中的条件,充分利用垂直关系充分利用垂直关系,尽量使相关点在坐标轴上尽量使相关点在坐标轴上,建立适当的空间直角坐标系建立适当的空间直角坐标系,求出相关点的坐标求出相关点的坐标.(2)(2)求出相关直线的方向向量求出相关直线的方向向量,相关平面的法向量相关平面的法向量,根据题目的要求根据题目的要求,选选择适当的公式择适当的公式,将相关坐标代入进行求解和证明将相关坐标代入进行求解和证明.(3)(3)回归待求证、求解问题回归待求证、求解问题.【变式训练【变式训练】如图如图,在三棱锥在三棱锥P P-ABCABC中中,底面底面ABCABC为边长为为边长为2 2 的正三角形的正三角形,平面平面PBCPBC平面平面ABC,PB=PC=2,DABC,PB=PC=2,D为为APAP上一点上一点,AD=2DP,AD=2DP,O O为底面三角形的中心为底面三角形的中心.(1)(1)求证求证:DO:DO平面平面PBC.PBC.(2)(2)求证求证:BDAC.:BDAC.(3)(3)设设M M为为PCPC的中点的中点,求平面求平面MBDMBD与平面与平面BDOBDO夹角的余弦值夹角的余弦值.3【解析【解析】(1)(1)连接连接AO,AO,交交BCBC于点于点E,E,连接连接PE.PE.因为因为O O为正三角形为正三角形ABCABC的中心的中心,所以所以AO=2OE,AO=2OE,且且E E为为BCBC中点中点.又又AD=2DP,AD=2DP,所以所以DOPE,DOPE,因为因为DODO 平面平面PBC,PE PBC,PE 平面平面PBC,PBC,所以所以DODO平面平面PBC.PBC.(2)(2)因为因为PB=PC,PB=PC,且且E E为为BCBC中点中点,所以所以PEBC,PEBC,又因为平面又因为平面PBCPBC平面平面ABC,ABC,所以所以PEPE平面平面ABC,ABC,由由(1)(1)知知,DOPE,DOPE,所以所以DODO平面平面ABC,ABC,所以所以DOAC.DOAC.又又O O为正三角形为正三角形ABCABC的中心的中心,故故ACBO,ACBO,又又DOBO=O,DOBO=O,所以所以ACAC平面平面DOB,DOB,所以所以ACBD.ACBD.(3)(3)由由(1)(2)(1)(2)知知,EA,EB,EP,EA,EB,EP两两互相垂直两两互相垂直,且且E E为为BCBC中点中点,所以分别以所以分别以EA,EB,EPEA,EB,EP所在直线为所在直线为x,y,zx,y,z轴轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,如图如图,则则A(3A(3，0 0，0)0)，B(0B(0，0)0)，P(0P(0，0 0，1)1)，C(0C(0，-，0)0)，所以所以设平面设平面BDMBDM的法向量为的法向量为n=(x,y,z=(x,y,z)，32D(10)3，33 1M(0).22，3 3 12BM(0)DB(13).223 ，则则令令y=1y=1，则，则n=由由(2)(2)知知ACAC平面平面DBO,DBO,所以所以 为平面为平面DBODBO的一个法向量，的一个法向量，所以所以所以平面所以平面MBDMBD与平面与平面BDOBDO夹角的余弦值为夹角的余弦值为2DBx3yz0,33 31BMyz0,22 nn(3,1,3 3).AC(3,3,0)AC3 3331cos,AC,31|AC|3 12793 nnn31.31【加固训练【加固训练】1.(20131.(2013山东高考改编山东高考改编)如图所示如图所示,在三棱锥在三棱锥P-ABQP-ABQ中中,PB,PB平面平面ABQ,ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,FBA=BP=BQ,D,C,E,F分别是分别是AQ,BQ,AP,BPAQ,BQ,AP,BP的的中点中点,AQ=2BD,PD,AQ=2BD,PD与与EQEQ交于点交于点G,PCG,PC与与FQFQ交于交于点点H,H,连接连接GH.GH.(1)(1)求证求证:ABGH.:ABGH.(2)(2)求平面求平面DGHDGH与平面与平面GHEGHE夹角的余弦值夹角的余弦值.【解析【解析】(1)(1)因为因为D,C,E,FD,C,E,F分别是分别是AQ,BQ,AP,BPAQ,BQ,AP,BP的中点的中点,所以所以EFAB,DCAB.EFAB,DCAB.所以所以EFDC.EFDC.又又EFEF 平面平面PCD,DC PCD,DC 平面平面PCD,PCD,所以所以EFEF平面平面PCD.PCD.又又EF EF 平面平面EFQ,EFQ,平面平面EFQEFQ平面平面PCD=GH,PCD=GH,所以所以EFGH,EFGH,又又EFAB,EFAB,所以所以ABGH.ABGH.(2)(2)由由AQ=2BD,DAQ=2BD,D为为AQAQ的中点可得的中点可得,ABQABQ为直角三角形为直角三角形,ABQ=90,ABQ=90.以以B B为坐标原点为坐标原点,分别以分别以BA,BC,BPBA,BC,BP所在直线为所在直线为x,y,zx,y,z轴建立空间直角轴建立空间直角坐标系坐标系,则则B(0,0,0),B(0,0,0),设设A(2,0,0),P(0,0,2),Q(0,2,0),A(2,0,0),P(0,0,2),Q(0,2,0),则则E(1,0,1),E(1,0,1),F(0,0,1),D(1,1,0),C(0,1,0),F(0,0,1),D(1,1,0),C(0,1,0),所以所以 =(0,1,-2),=(-1,0,0),=(1,0,0),=(1,-2,1).=(0,1,-2),=(-1,0,0),=(1,0,0),=(1,-2,1).PC DC FEQE 设平面设平面GCDGCD的一个法向量为的一个法向量为n1 1=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),则则 得得 取取n1 1=(0,2,1)=(0,2,1)，设平面设平面EFGEFG的一个法向量为的一个法向量为n2 2=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),则则 得得 取取n2 2=(0,1,2)=(0,1,2)，可得可得所以平面所以平面DGHDGH与平面与平面GHEGHE夹角的余弦值为夹角的余弦值为 .11PC0,DC0,nn111y2z0,x0,22FE0,QE0,nn2222x0,x2yz0,1244cos,555n n452.(20152.(2015郑州模拟郑州模拟)如图如图,四边形四边形ABCDABCD是边长为是边长为2 2的正方形的正方形,MD,MD平面平面ABCD,NBMD,ABCD,NBMD,且且NB=1,MD=2;NB=1,MD=2;(1)(1)求证求证:AM:AM平面平面BCN.BCN.(2)(2)求求ANAN与平面与平面MNCMNC夹角的正弦值夹角的正弦值.(3)E(3)E为直线为直线MNMN上一点上一点,且平面且平面ADEADE平面平面MNC,MNC,求求 的值的值.MEMN【解析【解析】(1)(1)因为因为ABCDABCD是正方形是正方形,所以所以BCAD,BCAD,因为因为BCBC 平面平面AMD,AD AMD,AD 平面平面AMD,AMD,所以所以BCBC平面平面AMD.AMD.因为因为NBMD,NBMD,又又NBNB 平面平面AMD,MD AMD,MD 平面平面AMD,AMD,所以所以NBNB平面平面AMD.AMD.因为因为NBBC=B,NB NBBC=B,NB 平面平面BCN,BC BCN,BC 平面平面BCN,BCN,所以平面所以平面AMDAMD平面平面BCN.BCN.因为因为AM AM 平面平面AMD,AMD,所以所以AMAM平面平面BCN.BCN.(2)(2)因为因为MDMD平面平面ABCD,ABCDABCD,ABCD是正方形是正方形,所以所以,可选点可选点D D为原点为原点,DA,DA,DC,DMDC,DM所在直线分别为所在直线分别为x,y,zx,y,z轴轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系(如图如图),),则则A(2,0,0),M(0,0,2),C(0,2,0),N(2,2,1),A(2,0,0),M(0,0,2),C(0,2,0),N(2,2,1),所以所以 =(0,2,1),=(0,2,1),=(2,2,-1),=(0,2,-2),=(2,2,-1),=(0,2,-2),设平面设平面MNCMNC的一个法向量的一个法向量n=(x,y,z=(x,y,z),),则则 令令z=2,z=2,则则n=(-1,2,2),=(-1,2,2),设设ANAN与平面与平面MNCMNC的夹角为的夹角为,所以所以sinsinANMN MC2x2yz0,2y2z0,2 2 1 22 5|cosAN,|.553 n(3)(3)设设E(x,y,zE(x,y,z),),又因为又因为 =(x,y,z-2),=(2,2,-1),=(x,y,z-2),=(2,2,-1),所以所以E E点的坐标为点的坐标为(2,2,2-).(2,2,2-).因为因为ADAD平面平面MDC,MDC,所以所以ADMC,ADMC,欲使平面欲使平面ADEADE平面平面MNC,MNC,只要只要AEMC,AEMC,因为因为 =(2-2,2,2-),=(0,2,-2),=(2-2,2,2-),=(0,2,-2),且且 =0,=0,所以所以4-2(2-)=0,4-2(2-)=0,所以所以=,=,所以所以ME,MEMN,MN 所以MEMN AE MCAE MC 23ME2.MN3考点四考点四 利用空间向量解决探索性问题利用空间向量解决探索性问题【考情分析【考情分析】此类试题一般以解答题形式呈现此类试题一般以解答题形式呈现,常涉及线、面平行、垂直、空常涉及线、面平行、垂直、空间角的计算问题间角的计算问题,是高考命题的热点是高考命题的热点,一般有两种考查形式一般有两种考查形式:(1)(1)根据条件作出判断根据条件作出判断,再进一步论证再进一步论证.(2)(2)利用空间向量利用空间向量,先假设存在点的坐标先假设存在点的坐标,再根据条件判断该点的坐标再根据条件判断该点的坐标是否存在是否存在.【典例【典例4 4】(2015(2015深圳模拟深圳模拟)在直角梯形在直角梯形ABCDABCD中中,ADBC,BC=2AD=2AB,ADBC,BC=2AD=2AB=2 ,ABBC,=2 ,ABBC,如图所示如图所示,把把ABDABD沿沿BDBD翻折翻折,使得平面使得平面ABDABD平面平面BCD.BCD.(1)(1)求证求证:CDAB.:CDAB.(2)(2)若点若点M M为线段为线段BCBC的中点的中点,求点求点M M到平面到平面ACDACD的距离的距离.(3)(3)在线段在线段BCBC上是否存在点上是否存在点N,N,使得使得ANAN与平面与平面ACDACD的夹角为的夹角为6060?若存在若存在,求出求出 的值的值;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由.2BNBC【解题提示【解题提示】(1)(1)根据平面根据平面ABDABD平面平面BCD,BCD,只需证明只需证明CDCDBD,BD,进而得到进而得到CDCD平面平面ABD,ABD,从而证明从而证明CDCDAB.AB.(2)(2)以以D D为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系,求出向量求出向量 及平面及平面ACDACD的一个法的一个法向量向量n,代入点到平面的距离公式求解代入点到平面的距离公式求解.(3)(3)假设在线段假设在线段BCBC上存在一点上存在一点N N使使ANAN与平面与平面ACDACD所成的角为所成的角为6060,再利用再利用向量的夹角公式进行运算判断向量的夹角公式进行运算判断.MC【规范解答【规范解答】(1)(1)在直角梯形在直角梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，BC=2AD=2AB=BC=2AD=2AB=ABBC,ABBC,所以所以AD=AB=,BD=2AD=AB=,BD=2，DBC=ADB=45DBC=ADB=45，CD=CD=所以所以BDBD2 2+CD+CD2 2=BC=BC2 2,所以所以CDBD.CDBD.因为平面因为平面ABDABD平面平面BCD,BCD,平面平面ABDABD平面平面BCD=BDBCD=BD，所以，所以CDCD平面平面ABDABD，又又ABAB 平面平面ABDABD，所以，所以CDAB.CDAB.2 2，222ABAD222(2 2)2 2 2 2cos 452 ，(2)(2)由由(1)(1)知知CDBD.CDBD.以点以点D D为原点，为原点，DBDB所在的直所在的直线为线为x x轴，轴，DCDC所在的直线为所在的直线为y y轴，过点轴，过点D D作垂直作垂直于平面于平面BCDBCD的直线为的直线为z z轴，建立空间直角坐标系轴，建立空间直角坐标系D-xyzD-xyz，如图所示，由已知得，如图所示，由已知得A(1,0,1)A(1,0,1)，B(2,0,0)B(2,0,0)，C(0,2,0)C(0,2,0)，D(0,0,0)D(0,0,0)，M(1,1,0)M(1,1,0)，所以，所以 =(0,-2,0)=(0,-2,0)，=(-1,0,-1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0).=(-1,1,0).设平面设平面ACDACD的一个法向量为的一个法向量为n=(x,y,z=(x,y,z)，则，则 即即 令令x=1x=1，得，得z=-1z=-1，y=0,y=0,则平面则平面ACDACD的一个法的一个法向量为向量为n=(1,0,-1),=(1,0,-1),所以点所以点M M到平面到平面ACDACD的距离为的距离为CD AD MCCD0，nAD0，n2y0,xz0.|MC|12d.|22nn(3)(3)假设在线段假设在线段BCBC上存在点上存在点N N，使得，使得ANAN与平面与平面ACDACD所成的角为所成的角为6060.设设 (0(01)1)，N(a,b,0),N(a,b,0),则则(a-2,b,0)=(-2,2,0),(a-2,b,0)=(-2,2,0),所以所以N(2-2,2,0),=(1-2,2N(2-2,2,0),=(1-2,2，-1).-1).又平面又平面ACDACD的一个法向量为的一个法向量为n=(1,0,-1)=(1,0,-1)，且直线，且直线ANAN与平面与平面ACDACD所成的所成的角为角为6060，所以，所以sin 60sin 60=即即 可得可得882 2+2-1=0+2-1=0，解得，解得=或或=-(=-(舍去舍去).).综上所述，在线段综上所述，在线段BCBC上存在点上存在点N N，使得，使得ANAN与平面与平面ACDACD所成的角为所成的角为6060,此时此时BNBC AN|AN|,|AN|nn22212112212 32，1412BN1.BC4【规律方法【规律方法】探索性问题的求解策略探索性问题的求解策略(1)(1)对于存在判断型问题的求解对于存在判断型问题的求解,应先假设存在应先假设存在,把要成立的结论当作把要成立的结论当作条件条件,据此列方程或方程组据此列方程或方程组,把把“是否存在是否存在”问题转化为问题转化为“点的坐标是点的坐标是否有解否有解,是否有规定范围内的解是否有规定范围内的解”等等.(2)(2)对于位置探究型问题对于位置探究型问题,通常借助向量通常借助向量,引进参数引进参数,综合已知和结论列综合已知和结论列出等式出等式,解出参数解出参数.【变式训练【变式训练】(2015(2015西安模拟西安模拟)如图所示如图所示,棱棱柱柱ABCDABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的所有棱长都等于的所有棱长都等于2,ABC2,ABC和和A A1 1ACAC均为均为6060,平面平面AAAA1 1C C1 1CC平面平面ABCD.ABCD.(1)(1)求证求证:BDAA:BDAA1 1.(2)(2)求平面求平面DADA1 1A A与平面与平面A A1 1ACAC夹角的余弦值夹角的余弦值.(3)(3)在直线在直线CCCC1 1上是否存在点上是否存在点P,P,使使BPBP平面平面DADA1 1C C1 1,若存在若存在,求出点求出点P P的位的位置置,若不存在若不存在,请说明理由请说明理由.【解析【解析】设设BDBD与与ACAC交于交于O O，则，则BDACBDAC，连接，连接A A1 1O O，在在AAAA1 1O O中，中，AAAA1 1=2=2，AO=1,AAO=1,A1 1AO=60AO=60,所以所以A A1 1O O2 2=AA=AA1 12 2+AO+AO2 2-2AA-2AA1 1AOAOcos 60cos 60=3,=3,所以所以AOAO2 2+A+A1 1O O2 2=AA=AA1 12 2,所以所以A A1 1OAO.OAO.由于平面由于平面AAAA1 1C C1 1CC平面平面ABCD,ABCD,所以所以A A1 1OO平面平面ABCD.ABCD.以以OBOB，OCOC，OAOA1 1所在直线分别为所在直线分别为x x轴，轴，y y轴，轴，z z轴，建立如图所示的轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则空间直角坐标系，则A(0,-1,0),B(,0,0)A(0,-1,0),B(,0,0)，C(0,1,0)C(0,1,0)，D(-,0D(-,0，0),A0),A1 1(0,0,),C(0,0,),C1 1(0,2,).(0,2,).(1)(1)由于由于所以所以BDAABDAA1 1.33331BD(2 3,0 0),AA(0,1,3),，1AA BD0(2 3)1 0300,(2)(2)由于由于OBOB平面平面AAAA1 1C C1 1C,C,所以平面所以平面AAAA1 1C C1 1C C的一个法向量为的一个法向量为n1 1=(1,0,0).=(1,0,0).设设n2 2平面平面AAAA1 1D D，则，则设设n2 2=(x,y,z=(x,y,z)，则，则取取n2 2=(1=(1，,-1),-1)，则则n1 1，n2 2即为平面即为平面DADA1 1A A与平面与平面A A1 1ACAC夹角夹角的平面角的平面角,所以所以所以平面所以平面DADA1 1A A与平面与平面A A1 1ACAC夹角的余弦值为夹角的余弦值为 212AA,AD ，nny3z0,3xy0,31212125cos,5n nn nn n5.5(3)(3)假设在直线假设在直线CCCC1 1上存在点上存在点P P，使，使BPBP平面平面DADA1 1C C1 1,设设 ，P(x,y,zP(x,y,z),),则则(x,y-1,z)=(0(x,y-1,z)=(0，1 1，),),从而有从而有P(0P(0，1+1+，)，设设n3 3平面平面DADA1 1C C1 1，则，则又又 =(0,2,0)=(0,2,0)，设设n3 3=(x=(x3 3,y,y3 3,z,z3 3)，则，则 取取n3 3=(1,0,-1),=(1,0,-1),1CPCC 33BP(3,13),，31131A C,DA,nn11A C1DA(3,0,3)3332y0,3x3z0,因为因为BPBP平面平面DADA1 1C C1 1，则，则n3 3 ,即即 得得=-1,=-1,即点即点P P在在C C1 1C C的延长线上，且的延长线上，且C C1 1C=CP.C=CP.BP 3BP330 ，n【加固训练【加固训练】1.(20141.(2014海淀模拟海淀模拟)在如图所示在如图所示的几何体中的几何体中,底面底面ABCDABCD为菱形为菱形,BAD=60,BAD=60,AAAA1 1 DD DD1 1 CC CC1 1BE,BE,且且AAAA1 1=AB,D=AB,D1 1EE平面平面D D1 1AC,AC,AAAA1 1底面底面ABCD.ABCD.(1)(1)求平面求平面D D1 1ACAC与平面与平面ACEACE夹角的大小夹角的大小.(2)(2)在在D D1 1E E上是否存在一点上是否存在一点P,P,使得使得A A1 1PP平面平面EAC,EAC,若存在若存在,求求 的值的值,若不存在若不存在,说明理由说明理由.1D PPE【解析【解析】(1)(1)设设ACAC与与BDBD交于点交于点O,O,如图所示建立如图所示建立空间直角坐标系空间直角坐标系OxyzOxyz,设设AB=2,AB=2,则则A(,0,0),A(,0,0),B(0,-1,0),C(-,0,0),D(0,1,0),DB(0,-1,0),C(-,0,0),D(0,1,0),D1 1(0,1,2),(0,1,2),设设E(0,-1,t),E(0,-1,t),则则因为因为D D1 1EE平面平面D D1 1AC,AC,所以所以D D1 1ECA,DECA,D1 1EDED1 1A,A,所以所以 解得解得t=3,t=3,所以所以E(0,-1,3),E(0,-1,3),所以所以3311ED0,2,2t,CA(2 3,0,0),D A(3,1,2).111ED CA0,ED D A0,AE(3,1,3).设平面设平面EACEAC的一个法向量为的一个法向量为m=(x,y,z),=(x,y,z),则则 所以所以令令z=1,y=3z=1,y=3，则，则m=(0,3,1).=(0,3,1).又平面又平面D D1 1ACAC的一个法向量为的一个法向量为 =(0,2,-1),=(0,2,-1),所以所以所以所求角的大小为所以所求角的大小为4545.CA0,AE0,mmx0,3xy3z0,1ED 111ED2cos,ED,2|ED|mmm(2)(2)假设在假设在D D1 1E E上存在一点上存在一点P P，使得，使得A A1 1PP平面平面EAC,EAC,设设得得因为因为A A1 1PP平面平面EAC,EAC,所以所以 m,所以所以 解得解得=,=,存在点存在点P P使使A A1 1PP平面平面EAC,EAC,此时此时D D1 1PPE=32.PPE=32.111D PPE(D ED P),112D PD E(0,),111 111122A PA DD P(3,1,0)(0,)(3,1,).1111 1A P130310,11 322.(20152.(2015西安模拟西安模拟)如图如图,四棱锥四棱锥A-BCDEA-BCDE中中,ABCABC是正三角形是正三角形,四边形四边形BCDEBCDE是矩形是矩形,且且平面平面ABCABC平面平面BCDE,AB=2,AD=4.BCDE,AB=2,AD=4.(1)(1)若点若点G G是是AEAE的中点的中点,求证求证:AC:AC平面平面BDG.BDG.(2)(2)试问点试问点F F在线段在线段ABAB上什么位置时上什么位置时,平面平面BCEBCE与平面与平面CEFCEF夹角的余弦值夹角的余弦值为为 313.13【解析【解析】(1)(1)设设BDBD，CECE交于点交于点O O，连接，连接OGOG，易知，易知OGOG为为ACEACE的中位线，的中位线，故故OGACOGAC，又，又ACAC 平面平面BDGBDG，OGOG 平面平面BDGBDG，得，得ACAC平面平面BDG.BDG.(2)(2)如图，取如图，取BCBC的中点的中点H H，建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系H-xyz,H-xyz,在在RtRtACDACD中，斜边中，斜边AD=4AD=4，AC=2AC=2，得，得CD=CD=，所以所以A(0,0,),B(1
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