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第2讲数列的求和问题,专题二数列,板块三专题突破核心考点,考情考向分析,高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现了转化与化归的思想.,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,热点分类突破,有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并.,热点一分组转化法求和,解答,例1(2018西南名校联盟月考)在各项均为正数的等比数列an中，a1a34，a3是a22与a4的等差中项，若an1 (nN*). (1)求数列bn的通项公式；,解设等比数列an的公比为q，且q0， 由an0，a1a34，得a22， 又a3是a22与a4的等差中项， 故2a3a22a4，22q222q2， q2或q0(舍). ana2qn22n1， an12n ，bnn(nN*).,解答,在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式.,解答,跟踪演练1(2018焦作模拟)已知an为等差数列，且a23，an前4项的和为16，数列bn满足b14，b488，且数列bnan为等比数列(nN*). (1)求数列an和bnan的通项公式；,解设an的公差为d， 因为a23，an前4项的和为16，,解得a11，d2， 所以an1(n1)22n1(nN*). 设bnan的公比为q，则b4a4(b1a1)q3，,所以bnan(41)3n13n(nN*).,解答,(2)求数列bn的前n项和Sn.,解由(1)得bn3n2n1， 所以Sn(332333n)(1352n1),热点二错位相减法求和,错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列.,解答,例2(2018百校联盟联考)已知数列an满足a1a3，an1 ，设bn2nan(nN*). (1)求数列bn的通项公式；,所以bnb13(n1)3n1(nN*).,所以数列bn是公差为3的等差数列， 又a1a3，,(2)求数列an的前n项和Sn.,解答,(1)错位相减法适用于求数列anbn的前n项和，其中an为等差数列，bn为等比数列. (2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分求等比数列的和，此时一定要查清其项数. (3)为保证结果正确，可对得到的和取n1,2进行验证.,跟踪演练2(2018滨海新区七所重点学校联考)已知数列an的前n项和是Sn，且Sn an1(nN*).数列bn是公差d不等于0的等差数列，且 满足：b1 a1，b2，b5，b14成等比数列. (1)求数列an，bn的通项公式；,解答,b11，,d22d0，因为d0，解得d2， bn2n1(nN*).,(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和Tn.,解答,裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于 或 (其中an为等差数列)等形式的数列求和.,热点三裂项相消法求和,解答,例3(2018天津市十二校模拟)已知数列an的前n项和Sn满足：Sna(Snan1) (nN*)(a为常数，a0，a1). (1)求an的通项公式；,解Sna(Snan1)， n1时，a1a. n2时，Sn1a(Sn1an11)， SnSn1ana(SnSn1)aanaan1，,数列an是以a为首项，a为公比的等比数列， anan(nN*).,解答,(2)设bnanSn，若数列bn为等比数列，求a的值；,解由bnanSn得，b12a， b22a2a， b32a3a2a. 数列bn为等比数列，,解答,(1)裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，从而在求和时达到某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列an的通项公式，使之符合裂项相消的条件. (2)常用的裂项公式,解答,跟踪演练3(2018华大新高考联盟质检)已知数列an为递增数列，a11，其前n项和为Sn，且满足2Sna 2Sn11(n2，nN*). (1)求数列an的通项公式；,又数列an为递增数列，a11，anan10， anan12(n3)，,a2a12， 符合anan12， an是以1为首项，以2为公差的等差数列， an1(n1)22n1(nN*).,解答,又nN*， n的最小值为10.,真题押题精练,真题体验,答案,解析,解析 设等差数列an的公差为d，,2.(2017天津)已知an为等差数列，前n项和为Sn(nN*)，bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4. (1)求an和bn的通项公式；,解答,解设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q. 由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12， 所以q2q60. 又因为q0，解得q2，所以bn2n. 由b3a42a1，可得3da18， 由S1111b4，可得a15d16， 联立，解得a11，d3， 由此可得an3n2(nN*). 所以数列an的通项公式为an3n2(nN*)，数列bn的通项公式为bn2n(nN*).,(2)求数列a2nb2n1的前n项和(nN*).,解答,解设数列a2nb2n1的前n项和为Tn，由a2n6n2，b2n124n1，得a2nb2n1(3n1)4n， 故Tn24542843(3n1)4n， 4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1， ，得3Tn2434234334n(3n1)4n1,押题预测,答案,解析,押题依据,押题依据数列的通项以及求和是高考重点考查的内容，也是考试大纲中明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即解答问题的常用方法有规律可循.,1,押题依据错位相减法求和是高考的重点和热点，本题先利用an，Sn的关系求an，也是高考出题的常见形式.,解答,押题依据,解当n1时，a1S11， 当n2时，anSnSn12n1(nN*)， 又a11满足an2n1， an2n1(nN*).,且bn0，2bn1bn，,解答,(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和Tn.,
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