第十三章 期权的定价

第十三章 期权的定价第一节 期权价格的特性 一、内在价值和时间价值 期权价格等于期权的内在价值加上时间价值。（一）期权的内在价值 期权的内在价值（Intrinsic Value）是指多方行使期权时可以获得的收益的现值。欧式看涨期权的内在价值为(ST-X)的现值。无收益资产欧式看涨期权的内在价值等于S-Xe-r(T-t),而有收益资产欧式看涨期权的内在价值等于S-D-Xe-r(T-t)。无收益资产美式看涨期权价格等于欧式看涨期权价格,其内在价值也就等于S-Xe-r(T-t)。有收益资产美式看涨期权的内在价值也等于S-D-Xe-r(T-t)。CopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University 无收益资产欧式看跌期权的内在价值为X e-r(T-t)-S，有收益资产欧式看跌期权的内在价值为X e-r(T-t)+D-S。无收益资产美式期权的内在价值等于X-S，有收益资产美式期权的内在价值等于X+D-S。当然，当标的资产市价低于协议价格时，期权多方是不会行使期权的，因此期权的内在价值应大于等于0。CopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University（二）期权的时间价值 期权的时间价值（Time Value）是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。显然，标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就越大。此外，期权的时间价值还受期权内在价值的影响。以无收益资产看涨期权为例，当S=X e-r(T-t)时，期权的时间价值最大。当S-X e-r(T-t)的绝对值增大时，期权的时间价值是递减的，如图13.1所示。CopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen UniversityCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University二、期权价格的影响因素（一）标的资产的市场价格与期权的协议价格（二）期权的有效期（三）标的资产价格的波动率（四）无风险利率（五）标的资产的收益CopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University三、期权价格的上、下限（一）期权价格 的上限1看涨期权价格的上限 在任何情况下，期权的价值都不会超过标的资产的价格。因此，对于对于美式和欧式看跌期权来说，标的资产价格都是看涨期权价格的上限：（13.1）其中，c代表欧式看涨期权价格，C代表美式看涨期权价格，S代表标的资产价格。cSCS和CopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University2看跌期权价格的上限 由于美式看跌期权多头执行期权的最高价值为协议价格（X），因此，美式看跌期权价格（P）的上限为X：（13.2）由于欧式看跌期权只能在到期日（T时刻）执行，在T时刻，其最高价值为X，因此，欧式看跌期权价格（p）不能超过X的现值：（13.3）其中，r代表T时刻到期的无风险利率，t代表现在时刻。PX()r T tpXeCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University（二）期权价格的下限1欧式看涨期权价格的下限（1）无收益资产欧式看涨期权价格的下限 为了推导出期权价格下限，我们考虑如下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为 的现金；组合B：一单位标的资产 T时刻，组合A 的价值为：而组合B的价值为ST。max(,)TSX()r T tXeCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University 由于 ，因此，在t时刻组合A的价值也应大于等于组合B，即:c+Xe-r(T-t)S 所以 cS-Xe-r(T-t)由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为 （13.4）（2）有收益资产欧式看涨期权价格的下限 我们只要将上述组合A的现金改为 +D，并经过类似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：（13.5）()max,0r T tcSXemax(,)TTSXS()max,0r T tcSDXe()r T tXeCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University2欧式看跌期权价格的下限（1）无收益资产欧式看跌期权价格的下限 考虑以下两种组合：组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产 组合D：金额为 的现金 在T时刻，组合C的价值为：max（ST，X）假定组合D的现金以无风险利率投资，则在T时刻组合D的价值为X。由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D，因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D，即：()()r T tr T tpSXepXeS()r T tXeCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University 由于期权价值一定为正，因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为：（13.6）（2）有收益资产欧式看跌期权价格的下限 我们只要将上述组合D的现金改为 +D 就可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下限为：（13.7）从以上分析可以看出，欧式期权的下限实际上就是其内在价值。()max,0r T tpXeS()max,0r T tpDXeS()r TtXeCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University四、提前执行美式期权的合理性（一）提前执行无收益资产美式期权的合理性1看涨期权 由于现金会产生收益，而提前执行看涨期权得到的标的资产无收益，再加上美式期权的时间价值总是为正的，因此我们可以直观地判断提前执行是不明智的。为了精确地推导这个结论，我们考虑如下两个组合：组合A：一份美式看涨期权加上金额为 的现金 组合B：一单位标的资产 T时刻组合A的价值为max（ST，X），而组合B的价值为ST，可见组合A在T时刻的价值一定大于等于组合B。即如果不提前执行，组合A的价值一定大于等于组合B。()r T tXeCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University 若在 时刻提前执行，则此时组合A的价值为：，而组合B的价值为 。由于 因此 即：若提前执行美式期权，组合A的价值将小于组合B。比较两种情况可得：提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的。因此，同一种无收益标的资产的美式看涨期权和欧式看涨期权的价值是相同的，即：C=c （13.8）根据（13.4），我们可以得到无收益资产美式看涨期权价格的下限：（13.9）()r TSXXeS,0Tr()r T tXeX()max,0r T tCSXeCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University 2看跌期权 为考察提前执行无收益资产美式看跌期权是否合理，我们考察如下两种组合：组合A：一份美式看跌期权加上一单位标的资产 组合B：金额为 的现金 若不提前执行，则到T时刻，组合A的价值为max（X，ST），组合B的价值为X，组合A的价值大于等于组合B。若在t时刻提前执行，则组合A的价值为X，组合B的价值为Xe-(T-)，因此组合A的价值也高于组合B。()r T tXeCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University 故：是否提前执行无收益资产的美式看跌期权，主要取决于期权的实值额（X-S）、无风险利率水平等因素。一般来说，只有当S相对于X来说较低，或者r较高时，提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的。由于美式期权可提前执行，因此其下限比（13.6）更严格：（13.10）PXSCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University（二）提前执行有收益资产美式期权的合理性1看涨期权 由于在无收益的情况下，不应提前执行美式看涨期权，据此可知：在有收益情况下，只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权方有可能是最优的。我们先来考察在最后一个除权日（tn）提前执行的条件。如果在tn时刻提前执行，则期权多方获得Sn-X的收益。若不提前执行，则标的资产价格将由于除权降到Sn-Dn。根据式（13.5），在tn时刻期权的价值（Cn）()max,0nr T tnnnnCcSDXeCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University 因此，如果：即：（13.11）则在tn提前执行是不明智的。相反，如果 （13.12）则在tn提前执行有可能是合理的。实际上，只有当tn时刻标的资产价格足够大时，提前执行美式看涨期权才是合理的。同样，在ti时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权条件是：（13.13）由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权，其下限为：（13.14）()nr T tnnnSDXeSX()1nr T tnDXe()1nr T tnDXe1()1iir ttiDXe()max,0r T tCcSDXeCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University2看跌期权 由于提前执行有收益资产的美式期权意味着自己放弃收益权，因此收益使美式看跌期权提前执行的可能性变小，但还不能排除提前执行的可能性。通过同样的分析，我们可以得出美式看跌期权不能提前执行的条件是：由于美式看跌期权有提前执行的可能性，因此其下限为：（13.15）1()()11iinr ttir T tnDXeDXemax(,0)PDXSCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University五、期权价格曲线的形状（一）看涨期权价格曲线 无收益资产看涨期权价格曲线如图13-2所示。有收益资产看涨期权价格曲线与图13.2类似，只是把X e-r(T-t)换成X e-r(T-t)+D。CopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University（二）看跌期权价格曲线1欧式看跌期权价格曲线 无收益资产欧式看跌期权价格曲线如图13-3所示。图13.3 无收益资产欧式看跌期权价格曲线 有收益资产期权价格曲线与图13.3相似，只是把 换为()r T tXe()r T tDXeCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University2美式看跌期权价格曲线 无收益资产美式看跌期权价格曲线如图13-4所示。有收益美式看跌期权价格曲线与图13.4相似，只是把X换成D+X。CopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University六、看涨期权与看跌期权之间的平价关系（一）欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系1无收益资产的欧式期权 考虑如下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为 的现金 组合B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产 在期权到期时，两个组合的价值均为max(ST,X)。由于欧式期权不能提前执行，因此两组合在时刻t必须具有相等的价值，即：（13.16）这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系。它表明欧式看涨期权的价值可根据相同协议价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来，反之亦然。如果式（13.16）不成立，则存在无风险套利机会。套利活动将最终促使式（13.16）成立。()r T tXe()r T tcXepSCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University2有收益资产欧式期权 在标的资产有收益的情况下，我们只要把前面的组合A中的现金改为 +D ，我们就可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系：（13.17）()r T tcDXepS()r T tXeCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University（二）美式看涨期权和看跌期权之间的关系1无收益资产美式期权。由于Pp,从式（13.16）中我们可得：对于无收益资产看涨期权来说，由于c=C，因此：（13.18）为了推出C和P更严密的关系，我们考虑以下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为X的现金 组合B：一份美式看跌期权加上一单位标的资产 如果美式期权没有提前执行，则在T时刻组合B的价值为max(ST,X)，而此时组合A的价值为。因此组合A的价值大于组合B。如果美式期权在时刻提前执行，则在时刻，组合B的价值为X，而此时组合A的价值大于等于X。因此组合A的价值也大于组合B。()r T tPcXeS()r T tPCXeS()r T tCPSXeCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University 这就是说，无论美式组合是否提前执行，组合A的价值都高于组合B，因此在t时刻，组合A的价值也应高于组合B，即：C+XP+S 由于c=C，因此，C+XP+S C-PS-X 结合式（13.18），我们可得：（13.19）由于美式期权可能提前执行，因此我们得不到美式看涨期权和看跌期权的精确平价关系，但我们可以得出结论：无收益美式期权必须符合式（13.19）的不等式。()r T tSXCPSXeCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University2有收益资产美式期权 同样，我们只要把组合A的现金改为D+X，就可得到有收益资产美式期权必须遵守的不等式：S-D-XC-PS-D-Xe-r（T-t）（13.20）CopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University第二节第二节 期权组合的盈亏分布期权组合的盈亏分布 期权交易的精妙之处在于可以通过不同的期权品种构成众多具有不同盈亏分布特征的组合。投资者可以根据各自对未来标的资产现货价格概率分布的预期，以及各自的风险-收益偏好，选择最适合自己的期权组合。在以下的分析中同组合中的期权标的资产均相同。CopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University 一、标的资产与期权组合一、标的资产与期权组合 通过组建标的资产与各种期权头寸的组合，我们可以得到与各种期权头寸本身的盈亏图形状相似但位置不同的盈亏图，如图13.5表示。图13.5（a）反映了标的资产多头与看涨期权空头组合的盈亏图，该组合称为有担保的看涨期权（Covered Call）空头。标的资产空头与看涨期权多头组合的盈亏图，与有担保的看涨期权空头刚好相反。图13.5（b）反映了标的资产多头与看跌期权多头组合的盈亏图，标的资产空头与看跌期权空头组合的盈亏图刚好相反。从图13.5可以看出,组合的盈亏曲线可以直接由构成这个组合的各种资产的盈亏曲线叠加而来。CopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen UniversityCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University二、二、差价组合差价组合 差价（Spreads）组合是指持有相同期限、不同协议价格的两个或多个同种期权头寸组合（即同是看涨期权，或者同是看跌期权），其主要类型有牛市差价组合、熊市差价组合、蝶式差价组合等。1 牛市差价（Bull Spreads）组合。牛市差价组合是由一份看涨期权多头与一份同一期限较高协议价格的看涨期权空头组成。由于协议价格越高，期权价格越低，因此构建这个组合需要初始投资。CopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University牛市差价组合 牛市差价组合在不同情况下的盈亏可用表13.2表示。表表13.2 13.2 牛市差价期权的盈亏状况牛市差价期权的盈亏状况 表13.2结果可用图13.6表示，从图可看出，到期日现货价格升高对组合持有者较有利，故称牛市差价组合。标的资产价格范围 看涨期权多头的盈亏 看涨期权空头的盈亏 总盈亏 STX2 STX1c1 X2ST+c2 X2X1+c2c1X1STX2 STX1c1 c2 STX1+c2c1 STX1 -c1 c2 c2c1 CopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen UniversityCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University 通过比较标的资产现价与协议价格的关系，我们可以把牛市差价期权分为三类：两虚值期权组合，指两个协议价格均比现货价格高；多头实值期权加空头虚值期权组合，指多头期权的协议价格比现货价格低，而空头期权的协议价格比现货价格高；两实值期权组合，指两个协议价格均比现货价格低。此外，一份看跌期权多头与一份同一期限、较高协议价格的看跌期权空头组合也是牛市差价组合，如图13.7所示。比较看涨期权的牛市差价与看跌期权的牛市差价组合可以看，前者期初现金流为负，后者为正，但前者的最终收益可能大于后者。CopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen UniversityCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University2 熊市差价组合 熊市差价（Bear Spreads）组合刚好跟牛市差价组合相反，它可以由一份看涨期权多头和一份相同期限、协议价格较低的看涨期权空头组成（如图13.8所示）也可以由一份看跌期权多头和一份相同期限、协议价格较低的看跌期权空头组成（如图13.9所示）。看涨期权的熊市差价组合和看跌期权的熊市差价组合的差别在于，前者在期初有正的现金流，后者在期初则有负的现金流，但后者的最终收益可能大于前者。通过比较牛市和熊市差价组合可以看出，对于同类期权而言，凡“买低卖高”的即为牛市差价策略，而“买高卖低”的即为熊市差价策略，这里的“低”和“高”是指协议价格。两者的图形刚好与X轴对称。CopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen UniversityCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen UniversityCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University 3 蝶式差价组合蝶式差价组合 蝶式差价（Butterfly Spreads）组合是由四份具有相同期限、不同协议价格的同种期权头寸组成。若X1 X2 X3，且X2=（X1+X3）/2，则蝶式差价组合有如下四种：看涨期权的正向蝶式差价组合，它由协议价格分别为X1和X3的看涨期权多头和两份协议价格为X2的看涨期权空头组成，其盈亏分布图如图13.10所示；看涨期权的反向蝶式差价组合，它由协议价格分别为X1和X3的看涨期权空头和两份协议价格为X2的看涨期权多头组成，其盈亏图刚好与图13.10相反；看跌期权的正向蝶式差价组合，它由协议价格分别为X1和X3的看跌期权多头和两份协议价格为X2的看跌期权空头组成，其盈亏图如图13.11所示。看跌期权的反向蝶式差价组合，它由协议价格分别为X1和X3的看跌期权空头和两份协议价格为X2的看跌期权多头组成，其盈亏图与图13.11刚好相反。CopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University图13.10 看涨期权的正向蝶式差价组合 图13.11 看跌期权的正向蝶式差价组合CopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University 三、三、差期组合差期组合 差期（Calendar Spreads）组合是由两份相同协议价格、不同期限的同种期权的不同头寸组成的组合。它有四种类型：一份看涨期权多头与一份期限较短的看涨期权空头的组合，称看涨期权的正向差期组合。一份看涨期权多头与一份期限较长的看涨期权空头的组合，称看涨期权的反向差期组合。一份看跌期权多头与一份期限较短的看跌期权空头的组合，称看跌期权的正向差期组合。一份看跌期权多头与一份期限较长的看跌期权空头的组合，称看跌期权的反向差期组合。看涨期权的正向差期组合的盈亏分布情况见表13.3。CopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University 表表13.3看涨期权的正向差期组合的盈亏状况看涨期权的正向差期组合的盈亏状况 根据表13.3，我们可以画出看涨期权正向差期组合的盈亏分布图如图13.12所示。ST的范围 看涨期权多头的盈亏 看涨期权空头的盈亏 总盈亏 ST 趋近STXc1 XST+c2 趋近 c2c1ST=X c1Tc1 c2 c2c1+c1TST0 趋近-c1 c2 趋近 c2c1 CopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University 用同样的分析法我们可以画出看跌期权正向差期组合的盈亏分布图如图13.13所示。看跌期权反向差期组合的盈亏分布图正好与图13.13相反，也从略。CopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University四、对角组合四、对角组合 对角组合（Diagonal Spreads）是指由两份协议价格不同（X1和X2，且X1X2）、期限也不同（T和T*，且T1，d 时 当x=时(1)ktkt*()()SxS x*()()()rxSxS xDeCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University 其中D表示收益金额。设 为S*的标准差，假设 是常数，这样就可用通常的方法构造出模拟S*的二叉树了。通过把未来收益现值加在每个结点的证券价格上，就会使原来的二叉树转化为另一个模拟S的二叉树。在it时刻，当 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：j=0，1，2，i 当 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：j=0，1，2，i i t*()()ji jri tS t udDei t*()jijS t u dCopyrightZhenlong Zheng2003,Department of Finance,Xiamen University9、静夜四无邻，荒居旧业贫。22.8.2922.8.29Monday,August 29,202210、雨中黄叶树，灯下白头人。15:30:1215:30:1215:308/29/2022 3:30:12 PM11、以我独沈久，愧君相见频。22.8.2915:30:1215:30Aug-2229-Aug-2212、故人江海别，几度隔山川。15:30:1215:30:1215:30Monday,August 29,202213、乍见翻疑梦，相悲各问年。22.8.2922.8.2915:30:1215:30:12August 29,202214、他乡生白发，旧国见青山。2022年8月29日星期一下午3时30分12秒15:30:1222.8.2915、比不了得就不比，得不到的就不要。2022年8月下午3时30分22.8.2915:30August 29,202216、行动出成果，工作出财富。2022年8月29日星期一15时30分12秒15:30:1229 August 202217、做前，能够环视四周；做时，你只能或者最好沿着以脚为起点的射线向前。下午3时30分12秒下午3时30分15:30:1222.8.299、没有失败，只有暂时停止成功！。22.8.2922.8.29Monday,August 29,202210、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。15:30:1215:30:1215:308/29/2022 3:30:12 PM11、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累。22.8.2915:30:1215:30Aug-2229-Aug-2212、世间成事，不求其绝对圆满，留一份不足，可得无限完美。15:30:1215:30:1215:30Monday,August 29,202213、不知香积寺，数里入云峰。22.8.2922.8.2915:30:1215:30:12August 29,202214、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。2022年8月29日星期一下午3时30分12秒15:30:1222.8.2915、楚塞三湘接，荆门九派通。2022年8月下午3时30分22.8.2915:30August 29,202216、少年十五二十时，步行夺得胡马骑。2022年8月29日星期一15时30分12秒15:30:1229 August 202217、空山新雨后，天气晚来秋。下午3时30分12秒下午3时30分15:30:1222.8.299、杨柳散和风，青山澹吾虑。22.8.2922.8.29Monday,August 29,202210、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。15:30:1215:30:1215:308/29/2022 3:30:12 PM11、越是没有本领的就越加自命不凡。22.8.2915:30:1215:30Aug-2229-Aug-2212、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。15:30:1215:30:1215:30Monday,August 29,202213、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。22.8.2922.8.2915:30:1215:30:12August 29,202214、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。2022年8月29日星期一下午3时30分12秒15:30:1222.8.2915、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。2022年8月下午3时30分22.8.2915:30August 29,202216、业余生活要有意义，不要越轨。2022年8月29日星期一15时30分12秒15:30:1229 August 202217、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。下午3时30分12秒下午3时30分15:30:1222.8.29MOMODA POWERPOINTLorem ipsum dolor sit 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