计量经济学复习资料(按课本排版)

经一计量经济学（修改版）1.1 计量经济学l 定义：“计量经济学是经济学的一个分支学科,以揭示经济活动中客观存在的数量关系为主要内容,是由经济学、统计学、数学三者结合而成的交叉性学科” 1.2 建立计量经济学模型的步骤和要点 设定理论模型，包括选择模型所包含的变量，确定变量之间的数学关系和拟定模型中待估参数的数值范围； 收集样本数据，要考虑样本数据的完整性、准确性、可比性和一致性； 估计模型参数； 检验模型，包括经济意义检验、统计检验、计量经济学检验和模型预测检验。1.3 计量经济学模型的应用 。结构分析，其原理是弹性分析、乘数分析与比较分析；。经济预测，其原理是模拟历史，从已经发生的经济活动中找出变化规律；。政策评价，是对不同政策执行情况的“模拟仿真”；。检验与发展经济理论，其原理是如果按照某种经济理论建立的计量经济学模型可以很好地拟合实际观察数据。2.1 回归分析概述1. 回归分析：研究一个变量关于另一个（些）变量的依赖关系的计算方法和理论。2. 总体回归函数：指在给定Xi下Y分布的总体均值与Xi所形成的函数关系（或者说总体被解释变量的条件期望表示为解释变量的某种函数）。总体回归模型：3. 样本回归函数：指从总体中抽出的关于Y，X的若干组值形成的样本所建立的回归函数 样本回归模型：2.2 一元线性回归模型的参数估计 一、一元线性回归模型的基本假设 假设1、解释变量X是确定性变量，不是随机变量； 假设2、随机误差项m具有零均值、同方差和不序列相关性： E(mi)=0 i=1,2, ,n Var (mi)=sm2 i=1,2, ,n Cov(mi, mj)=0 ij i,j= 1,2, ,n假设3、随机误差项m与解释变量X之间不相关： Cov(Xi, mi)=0 i=1,2, ,n假设4、m服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 miN(0, sm2 ) i=1,2, ,n假设5：随着样本容量的无限增加，解释变量X的样本方差趋于一有限常数。即假设6：回归模型是正确设定的 二、参数的普通最小二乘估计（OLS） 1.最小二乘法：又称最小平方法，指根据使估计的剩余平方和最小的原则确定样本回归函数的方法。2.最小二乘法的推导过程：可推得用于估计的下列方程组：OLS估计量的离差形式：l 样本回归函数的离差形式（以小写字母表示对均值的离差） 三、参数估计的最大或然法(ML) 1.最大似然法：又称最大或然法，指用生产该样本概率最大的原则去确定样本回归函数的方法.四、最小二乘估计量的性质 （具体推导过程请看书本36页）线性性，即它是否是另一随机变量的线性函数；无偏性，即它的均值或期望值是否等于总体的真实值；有效性，即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。五、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计 1.参数估计量、的概率分布，以及标准差： 2.随机干扰项随机误差项m的方差s2的估计，s2又称为总体方差。s2的最小二乘估计量，它是关于s2的无偏估计量。 s2的最大或然估计量，它不具无偏性，但却具有一致性。2.3 一元线性回归模型的统计检验 一、拟合优度检验 1.拟合优度检验：检验模型对样本观测值的拟合程度，用 表示，该值越接1，模型对样本观测值拟合得越好。另外：TSS=ESS+RSS总体平方和：回归平方和：残差平方和： 二、变量的显著性检验简述变量显著性检验的步骤。（1）对总体参数提出假设： H0：b1=0， H1：b10。 （2）以原假设H0构造t统计量，并由样本计算其值： （3）给定显著性水平a，查t分布表得临界值t a/2(n-2) （4）比较，判断 若 |t| t a/2(n-2)，则拒绝H0 ，接受H1 ； 若 |t| t a/2(n-2)，则接受H0 ，拒绝H1 ； 对于一元线性回归方程中的b0，也可构造如下t统计量进行显著性检验 三、参数的置信区间 1.一元线性模型中，bi (i=1，2），在（1-a）的置信度下的置信区间:2.要缩小置信区间，需要u 增大样本容量n。因为在同样的置信水平下，n越大，t分布表中的临界值越小；同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；u 提高模型的拟合优度。因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型拟合优度越高，残差平方和应越小。 2.4 一元线性回归分析的应用：预测问题0是条件均值E(Y|X=X0)或个值Y0的一个无偏估计1.在1-a的置信度下，总体均值E(Y|X0)的预测值的置信区间 2、在1-a的置信度下，总体个值Y0预测值的预测区间 对于Y的总体均值E(Y|X)与个体值的预测区间（置信区间）:u 样本容量n越大，预测精度越高，反之预测精度越低；u 样本容量一定时，置信带的宽度当在X均值处最小，其附近进行预测（插值预测）精度越大；X越远离其均值，置信带越宽，预测可信度下降。3.1 多元线性回归模型一、多元线性回归模型1. 多元线性回归模型：在现实经济活动中往往存在一个变量受到其他多个变量的影响的现象，表现为在线性回归模型中有多个解释变量，这样的模型成为多元线性回归模型，多元指多个变量。2.总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为 2.样本回归函数的矩阵表达: 二、多元线性回归模型的基本假定假设1，n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的秩r=k+1，即X满秩。假设2， 假设3，E(Xm)=0，即 假设4，向量m 有一多维正态分布，即 假设5，样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有界常数，即n时其中：Q为一非奇异固定矩阵，矩阵x是由各解释变量的离差为元素组成的nk阶矩阵假设6，回归模型的设定是正确的3.2 多元线性回归模型的估计一、普通最小二乘估计正规方程组的矩阵形式即： 由于XX满秩，故有：正规方程组 的另一种写法样本回归函数的离差形式在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为 随机误差项m的方差s的无偏估计 四、参数估计量的性质1、线性性 其中,C=(XX)-1 X 为一仅与固定的X有关的行向量 2、无偏性 这里利用了假设: E(Xm)=0，即随机误差项m与解释变量X之间不相关3、有效性（最小方差性） 其中利用了 和，即随机误差项同方差，无序列相关五、样本容量问题最小样本容量：样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）,即n k+1因为，无多重共线性要求：秩(X)=k+1满足基本要求的样本容量：一般经验认为，当n30或者至少n3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求。 3.3 多元线性回归模型的统计检验一、拟合优度检验1.可决系数（见前面）2.调整的可决系数：调整的多元可决系数 ：又称多元判定系数，是一个用于描述伴随模型中解释变量的增加和多个解释变量对被解释变量的联合影响程度的量。其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。二、方程的显著性检验(F检验)1.方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。三、变量的显著性检验（t检验，同一元）四、参数的置信区间如何才能缩小置信区间？ 第一， 增大样本容量n，因为在同样的样本容量下，n越大，t分布表中的临界值越小，同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；第二， 提高模型的拟合优度，因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差平方和应越小。第三， 提高样本观测值的分散度,一般情况下，样本观测值越分散，(XX)-1的分母的|XX|的值越大，致使区间缩小。 3.4 多元线性回归模型的预测a) (1-a)的置信水平下E(Y0)的置信区间： b) (1-a)的置信水平下Y0的置信区间：3.5 回归模型的其他函数形式一、模型的类型与变换 c) 1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法 如：s = a + b r + c r2，设X1 = r，X2 = r2， 则原方程变换为s = a + b X1 + c X2d) 2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法 Q = AKaLb方程两边取对数： ln Q = ln A + a ln K + b ln L e) 3、复杂函数模型与级数展开法 方程两边取对数后，得到： 将式中ln(d1K-r + d2L-r)在r=0处展开台劳级数,取关于r的线性项，即得到一个线性近似式。如取0阶、1阶、2阶项，可得 3.6 受约束回归1. 受约束回归：在实际经济活动中，常常需要根据经济理论对模型中变量的参数施加一定的约束条件，对模型参数施加约束条件后进行回归。2.无约束回归：无需对模型中变量的参数施加约束条件进行的回归4.1 异方差性一、 异方差的概念 1. 异方差性：对于不同的解释向量，被解释变量的随机误差项的方差不再是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性。 对于模型Y=Xb+m存在 二、异方差的类型 三、实际经济问题中的异方差性a.样本观测值的观测误差随着解释变量观测值的不同而不同，往往引起异方差性。b.每个经济个体所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。c.异方差多存在于截面数据中四、异方差性的后果第一，参数估计量非有效:第二， 变量的显著性检验失去意义：第三， 模型的预测失效 五、异方差性的检验a) 概念：检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。b) 方法：想必这个是不考的，因为它们已经没有实际应用意义了u 图示法 u 帕克(Park)检验与戈里瑟(Gleiser)检验 u 戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)检验 u 怀特（White）检验六、异方差的修正c) 模型检验出存在异方差性，可用加权最小二乘法（Weighted Least Squares, WLS）进行估计。 d) 加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用OLS估计其参数。e) 对于模型Y=Xb+m存在异方差性。W是一对称正定矩阵，存在一可逆矩阵D使得：W=DD 用D-1左乘Y=Xb+m 两边，得到一个新的模型： 该模型具有同方差性。因为 这就是原模型Y=Xb+m的加权最小二乘估计量，是无偏、有效的估计量。 这里权矩阵为D-1，它来自于原模型残差项m的方差-协方差矩阵s2W 。4.2 序列相关性 一、序列相关性概念1.定义：序列相关性：如果对于不同的解释向量，随机误差项之间不再是不相关的，而是存在某种相关性，则认为出现了序列相关性。 另外，如果仅存在：E(mi mi+1)0，i=1,2, ,n则称为一阶列相关，或自相关（autocorrelation） ，自相关往往可写成如下形式：mi=rmi-1+ei ，-1r1二、实际经济问题中的序列相关性1.经济变量固有的惯性2.模型设定的偏误3.数据的“编造”二、序列相关性的后果第一， 参数估计量非有效因为，在有效性证明中利用了E(mm)=s2I即同方差性和互相独立性条件。而且，在大样本情况下，参数估计量虽然具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。第二， 变量的显著性检验失去意义第三， 模型的预测失效：区间预测与参数估计量的方差有关，在方差有偏误的情况下，使得预测估计不准确，预测精度降低。三、序列相关性的检验1、图示法2、回归检验法3、杜宾-瓦森（Durbin-Watson）检验法该方法的假定条件是： u 解释变量X非随机； u 随机误差项mi为一阶自回归形式： mi=rmi-1+ei u 回归模型中不应含有滞后应变量作为解释变量，即不应出现：Yi=b0+b1X1i+bkXki+gYi-1+miu 回归含有截距项 4、拉格朗日乘数（Lagrange multiplier）检验，GB检验：拉格朗日乘数检验克服了DW检验的缺陷，适合于高阶序列相关以及模型中存在滞后被解释变量的情形。四、序列相关的补救 1、广义最小二乘法a) 对于模型Y=Xb+ m如果存在序列相关，同时存在异方差，即有W是一对称正定矩阵，存在一可逆矩阵D，使得W=DD ，变换原模型： D-1Y=D-1X b +D-1m 即 Y*=X*b + m* (*)该模型具有同方差性和随机误差项互相独立性： b) (*)式的OLS估计：2、广义差分法c) 广义差分法是将原模型变换为满足OLS法的差分模型，再进行OLS估计。 如果原模型 存在t阶序列相关：可以将原模型变换为: 此时Et不存在序列相关性d) 广义差分法就是上述广义最小二乘法，但是却损失了部分样本观测值。3、随机误差项相关系数的估计e) 科克伦-奥科特迭代法（见例题） f) 杜宾（durbin）两步法（见例题）4.3 多重共线性一、多重共线性的概念g) 如果某两个或多个解释变量之间出现了相关性，则称为多重共线性h) 在矩阵表示的线性回归模型Y=Xb+m中，完全共线性指：秩(X)k+1，即中，至少有一列向量可由其他列向量（不包括第一列）线性表出。 二、实际经济问题中的多重共线性i) 经济变量相关的共同趋势 j) 滞后变量的引入k) 样本资料的限制三、多重共线性的后果 l) 完全共线性下参数估计量不存在的OLS估计量为：如果存在完全共线性，则(XX)-1不存在，无法得到参数的估计量。m) 近似共线性下OLS估计量非有效近似共线性下，可以得到OLS参数估计量，但参数估计量方差的表达式为 由于|XX|0，引起(XX) -1主对角线元素较大，使参数估计值的方差增大，OLS参数估计量非有效。 n) 参数估计量经济含义不合理如果模型中两个解释变量具有线性相关性，例如X2= lX1 ，这时，X1和X2前的参数b1、b2并不反映各自与被解释变量之间的结构关系，而是反映它们对被解释变量的共同影响。b1、b2已经失去了应有的经济含义，于是经常表现出似乎反常的现象：例如b1本来应该是正的，结果恰是负的。o) 变量的显著性检验失去意义参数估计值的方差与标准差变大，容易使通过样本计算的t值小于临界值，误导作出参数为0的推断 ，可能将重要的解释变量排除在模型之外 p) 模型的预测功能失效变大的方差容易使区间预测的“区间”变大，使预测失去意义。 四、多重共线性的检验q) 检验多重共线性是否存在u 对两个解释变量的模型，采用简单相关系数法 Ru 对多个解释变量的模型，采用综合统计检验法u 在OLS法下：R2与F值较大，但t检验值较小，r) 判明存在多重共线性的范围u 判定系数检验法 u 逐步回归法五、克服多重共线性的方法u 第一类方法：排除引起共线性的变量u 第二类方法：差分法u 第三类方法：减小参数估计量的方差5.1 虚拟变量模型一、虚拟变量的基本含义：同时含有一般解释变量与虚拟变量的模型称为虚拟变量模型或者方差分析模型。二、虚拟变量的引入（Di）1、加法方式s) 模型：t)u) 男：v) 女： w) 几何意义：相同的斜率，不同的截距2、乘法方式x) 模型：y) 正常：z) 反常：aa) 几何意义：截距相同，斜率不同bb) 当截距与斜率发生变化时，则需要同时引入加法与乘法形式的虚拟变量。三、虚拟变量的设置原则cc) 每一定性变量所需的虚拟变量个数要比该定性变量的类别数少1，即如果有m个定性变量，只在模型中引入m-1个虚拟变量。5.2 滞后变量模型一、滞后变量模型滞后变量模型：把过去时期的，具有滞后作用的变量叫做滞后变量，含有滞后变量的模型称为滞后变量模型。二、分布滞后模型的参数估计1、分布滞后模型估计的困难 dd) 无限期的分布滞后模型，由于样本观测值的有限性，使得无法直接对其进行估计。ee) 有限期的分布滞后模型，OLS会遇到如下问题： u 没有先验准则确定滞后期长度；u 如果滞后期较长，将缺乏足够的自由度进行估计和检验；u 同名变量滞后值之间可能存在高度线性相关，即模型存在高度的多重共线性。2、分布滞后模型的修正估计方法ff) 各种方法的基本思想大致相同：都是通过对各滞后变量加权，组成线性合成变量而有目的地减少滞后变量的数目，以缓解多重共线性，保证自由度。（1）经验加权法a.递减型：b.矩型c.倒V型d.经验权数法的优点是：简单易行；缺点是：设置权数的随意性较大 e.通常的做法是：多选几组权数，分别估计出几个模型，然后根据常用的统计检验（方检验，检验，t检验，-检验），从中选择最佳估计式。（2）阿尔蒙（lmon）多项式法 主要思想：针对有限滞后期模型，通过阿尔蒙变换，定义新变量，以减少解释变量个数，然后用OLS法估计参数。（3）科伊克（Koyck）方法 1.科伊克方法是将无限分布滞后模型转换为自回归模型，然后进行估计。2.特点:第一：以一个滞后因变量Yt-1代替了大量的滞后解释变量Xt-i，最大限度地节省了自由度，解决了滞后期长度s难以确定的问题；第二：由于滞后一期的因变量Yt-1与Xt的线性相关程度可以肯定小于X的各期滞后值之间的相关程度，从而缓解了多重共线性。但也带来了新问题：模型存在随机项和vt的一阶自相关性；滞后被解释变量Yt-1与随机项vt不独立。三、格兰杰因果关系检验gg) 对两变量Y与X，格兰杰因果关系检验要求估计: (*) (*)hh) 可能存在有四种检验结果：u X对Y有单向影响，表现为（*）式X各滞后项前的参数整体为零，而Y各滞后项前的参数整体不为零；u Y对X有单向影响，表现为（*）式Y各滞后项前的参数整体为零，而X各滞后项前的参数整体不为零； u Y与X间存在双向影响，表现为Y与X各滞后项前的参数整体不为零； u Y与X间不存在影响，表现为Y与X各滞后项前的参数整体为零。 ii) 格兰杰检验是通过受约束的F检验完成的。