双曲线及其标准方程、双曲线的几何性质

学 科数学版 本人教版期 数2328年 级高二编稿老师胡顺才审稿教师李欣生【同步教育信息】一. 本周教学内容： 2.9 双曲线及其标准方程 2.10 双曲线的几何性质二. 重点、难点： 1. 双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a（a0且2a|F1F2|）的动点的轨迹，叫做双曲线，其中F1，F2叫做双曲线的焦点，|F1F2|的长称为双曲线的焦距。 注：（1）该定义的叙述方式与椭圆的定义有许多相似之处，但不同的是椭圆定义中“到两个定点F1，F2的距离之和”而此处为“到两个定点F1，F2的距离之差”，而且是“距离之差的绝对值”，为什么要这样来定义呢？因为若去掉“绝对值”，则按定义只能画出（得到）双曲线的一支，就不能称为双曲线。 （2）条件“2a|F1F2|，则平面内这样的点不存在，此时无轨迹。 2. 双曲线的标准方程： 注：（1）双曲线方程与椭圆方程有相似之处（两个平方项，常数1），又有不同之处（椭圆方程中为两个平方项之和，双曲线方程中为两个平方项之差）。 （2）焦点位置与方程形式之间的关系：焦点总是在平方项中正项相关的轴上，如方程则表示焦点在y轴上的双曲线；另外，a2总是与x2，y2的正项相随，即总是与焦点所在的轴相随。 3. （1）图形的范围：该双曲线在直线xa的左侧，以及直线xa的右侧（这是因为 （2）图形的对称性：双曲线关于x轴、y轴、原点对称（原点称为该双曲线的中心） 的线段称为双曲线的虚轴，显然实轴长为2a，虚轴长为2b。 注：由以上性质易导出双曲线的焦半径公式。 4. 等轴双曲线、共轭双曲线： （1）若双曲线的实轴长等于虚轴长，即ab，则称这双曲线为等轴双曲线。 （2）若一双曲线的实轴、虚轴恰是另一双曲线的虚轴、实轴，则称这两条双曲线互为共轭双曲线。 显然，依共轭双曲线的定义，共轭双曲线有共同的渐近线，且它们的焦点共圆。 5. 共渐近线的双曲线系方程： 值，就表示不同双曲线，但它们都有相同的渐近线（0表示焦点在x轴上的双曲线；0表示焦点在y轴上的双曲线）。【典型例题】 例1. 分析：如下图，根据椭圆的几何性质： 根据双曲线的几何性质，得： 注：利用椭圆，双曲线的定义解题，是最基本的方法之一，要对此类题多练、多总结。 例2.的实轴、虚轴长；焦点、顶点坐标；离心率、渐近线、准线方程。 解： 注：由双曲线方程获取双曲线的几何特征，几何性质，是一类基本而重要的问题，应熟练掌握。 例3. 解： （2）方法一：（因不明双曲线类型，故对焦点在x轴、y轴上两情形分类讨论） 方法二：（先由已知判断点M在平面被渐近线所分割的四个部分中的哪个区域推断双曲线类型，而后再待定方程中的a2，b2） （以下略解，是方法一中的第一类情形） 方法三：（为了避免判断的困难，还可利用共渐近线的双曲线系方程来先设出双曲线方程的形式，再由某已知条件，待定相关系数） 注：以上三种解法各有所长，可因人而宜，当然，利用共渐近线的双曲线系的方程求解，避开了对双曲线方程类型的讨论与判断，简化解题过程，但方法二也是较为通行的，比较简便的方法之一。 注：本例的三个题目皆为基本的求双曲线的方程的问题，由双曲线满足的几何条件，来求其方程，是另一类基本而重要的问题，应切实掌握。 例4. 分析：这是一道由直线与双曲线的位置关系来研究方程的问题，条件简明，已知弦长求直线方程，而直线的斜率已知，故可设直线的斜截式方程，按照直线与双曲线相交求弦长的基本方法，列出关于截距的方程，待定截距即可。 解：设所求直线l方程为y2xb 例5. 双曲线的中心在原点，过其右焦点F（2，0），作斜率为于P、Q两点，且OPOQ（O为原点），求双曲线方程。 分析：由已知，易得所求的是双曲线的标准方程，且其焦点在x轴上，因此可设出双曲线方程为 解：