湖南省衡阳一中高三上元月月考数学试卷文科解析版

2015-2016学年湖南省衡阳一中高三（上）元月月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知集合A=sin90，cos180，B=x|x2+x=0，则AB为（）A0，1B1，1C1D02（5分）“m=2”是“函数f（x）=xm为实数集R上的偶函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件3（5分）若ab0，则不正确的是（）Aabb2B（）a（）bClogalogbDa2b24（5分）若函数f（x）=在区间（，1）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A（2，+）B（0，2）C0，2）D2，+）5（5分）把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴为（）Ax=Bx=Cx=Dx=6（5分）在边长为2的菱形ABCD中，BAD=120，则在方向上的投影为（）ABC1D27（5分）若等比数列an满足anan+1=64n，则an的公比为（）A8B8C16D168（5分）若直线ax+by1=0（其中a0且b0）被圆x2+y24x2y+1=0截得的弦长为16，则+的最小值为（）A16B8C4D29（5分）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的体积是（）ABC4D810（5分）直线ax+y3=0与圆x2+（y1）2=4的位置关系是（）A相交B相切或相交C相离D相切11（5分）已知两点F1（1，0），F（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差数列中项，则动点P所形成的轨迹的离心率是（）AB2CD12（5分）已知函数f（x）为偶函数，且当x0时，f（x）=ex，若f（a）+f（a）2f（1），则实数a取值范围是（）A（，11，+）B1，0C0，1D1，1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若圆锥的母线长为2cm，底面圆的周长为2cm，则圆锥的体积为cm314（5分）已知点A（1，1），B（4，2），若直线l：mxy1=0与线段AB相交，则实数m的取值范围为15（5分）函数f（x）=x3+x2的导函数f（x），那么数列，nN*的前n项和是16（5分）设F1、F2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使=0，且F1PF2的三边长构成等差数列，则此双曲线的渐近线方程为三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）17（10分）在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c已知a=2c，且AC=（1）求sinC的值；（2）当b=1时，求ABC外接圆的半径18（12分）设数列an的前n项和为Sn，且Sn=n2+，nN*（）求数列an的通项公式；（）设数列bn=2nan求数列bn的前n项和Tn19（12分）如图，PCBM是直角梯形，PCB=90，PMBC，PM=1，BC=2，又AC=1，ACB=120，ABPC，直线AM与直线PC所成的角为60（1）求证：平面PCBM平面ABC；（2）求三棱锥BMAC的体积20（12分）某校教务处对本校高三文科学生第一次模拟考试的数学成绩进行分析，用分层抽样方法抽取了20名学生的成绩，分数用茎叶图记录如图所示（部分数据丢失），并绘制如下频率分布表：分数段（分）50，70）70，90）90，110）110，130）130，150合计频数b频率a0.2（1）求表中a，b的值及分数在70，80）与90，100）范围内的学生人数；（2）从成绩优秀（分数在120，150范围为优秀）的学生中随机选2名学生得分，求至少取得一名学生得分在130，150的概率21（12分）已知函数f（x）=lnxa（x1）（aR）（1）若a=4，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若x（1，+），函数f（x）的图象始终在x轴的下方，求实数a的取值范围22（12分）已知椭圆：+=1（ab0）过点（，），且离心率为（）求椭圆方程；（）设直线y=x+m与椭圆交于不同两点A，B，若点P（0，1）满足|=|，求实数m的值2015-2016学年湖南省衡阳一中高三（上）元月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）（2015秋衡阳校级月考）已知集合A=sin90，cos180，B=x|x2+x=0，则AB为（）A0，1B1，1C1D0【分析】根据交集的定义可知，交集即为两集合的公共元素所组成的集合，求出即可【解答】解：A=sin90，cos180=1，1，B=x|x2+x=0=1，0，则AB=1，故选：C【点评】此题考查了两集合交集的求法，是一道基础题2（5分）（2015秋衡阳校级月考）“m=2”是“函数f（x）=xm为实数集R上的偶函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：当m=2时，函数f（x）=x2为偶函数，满足条件当m=4时，函数f（x）=x4为偶函数，但m=2不成立，故“m=2”是“函数f（x）=xm为实数集R上的偶函数”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的定义进行判断是解决本题的关键3（5分）（2015秋衡阳校级月考）若ab0，则不正确的是（）Aabb2B（）a（）bClogalogbDa2b2【分析】根据不等式的基本性质，可判断A，D；根据指数函数的单调性，可判断B；根据对数函数的单调性，可判断C【解答】解：ab0，abb2，故A正确；（）a（）b，故B正确；logalogb，故C不正确；a2b2，故D正确；故选：C【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了对数函数的单调性，指数函数的单调性，不等式的基本性质等知识点，难度中档4（5分）（2015秋衡阳校级月考）若函数f（x）=在区间（，1）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A（2，+）B（0，2）C0，2）D2，+）【分析】利用分离常数法化简函数f（x），根据反比例函数的单调性即可得出实数a的取值范围【解答】解：函数f（x）=2+，且f（x）在区间（，1）上单调递减，所以a20，解得a2，所以实数a的取值范围是（2，+）故选：A【点评】本题主要考查函数的单调性判断问题，是基础题目5（5分）（2015秋衡阳校级月考）把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴为（）Ax=Bx=Cx=Dx=【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得所得图象的一条对称轴方程【解答】解：把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得y=sin（x+）图象；再将图象向右平移个单位，可得y=sin（x）+=sinx的图象令x=k+，求得x=2k+，kZ，故所得图象的对称轴方程为 x=2k+，kZ结合所给的选项，故选：D【点评】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题6（5分）（2015秋衡阳校级月考）在边长为2的菱形ABCD中，BAD=120，则在方向上的投影为（）ABC1D2【分析】利用菱形的性质以及平面向量的投影定义，只要求出的模长与两个向量夹角的余弦值即可【解答】解：因为边长为2的菱形ABCD中，BAD=120，则在方向上的投影为=2cos60=1；故选C【点评】本题考查了平面向量的几何意义即向量的投影；明确投影的意义是解答的关键7（5分）（2015秋衡阳校级月考）若等比数列an满足anan+1=64n，则an的公比为（）A8B8C16D16【分析】设an的公比为q，由题意可得q0可得=64=q2，即可得出【解答】解：设an的公比为q，由题意可得q0等比数列an满足anan+1=64n，=64=q2，解得q=8故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（5分）（2015秋衡阳校级月考）若直线ax+by1=0（其中a0且b0）被圆x2+y24x2y+1=0截得的弦长为16，则+的最小值为（）A16B8C4D2【分析】由题意直线ax+by1=0（其中a0且b0）经过圆心（2，1），从而2a+b=1，进而=（）（2a+b），由此能求出+的最小值【解答】解：圆x2+y24x2y+1=0的圆心为（2，1），半径r=8，直线ax+by1=0（其中a0且b0）经过圆心（2，1），2a+b=1，=（）（2a+b）=+4=8当且仅当时取等号，+的最小值为8故选：B【点评】本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质和基本不等式的合理运用9（5分）（2012德州二模）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的体积是（）ABC4D8【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，分别计算棱锥的底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S=22=2，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V=，故选：B【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积和体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键10（5分）（2015秋衡阳校级月考）直线ax+y3=0与圆x2+（y1）2=4的位置关系是（）A相交B相切或相交C相离D相切【分析】本题考查直线与圆的位置关系利用点到直线的距离公式 d= 与圆半径R 的大小关系来判断直线与圆的位置关系【解答】解：由圆方程x2+（y1）2=4 知，此圆的圆心坐标为O（0，1），半径 R=2；直线L：ax+y3=0由点到直线的距离公式知：圆心到直线L的距离 d=10d2 即：0dR，当 d=R 时，直线与圆相切；当 0dR 时，直线与圆相交；故本题答案为：B【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于常考题型，考生应熟悉应用点到直线的距离公式11（5分）（2016春周口期末）已知两点F1（1，0），F（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差数列中项，则动点P所形成的轨迹的离心率是（）AB2CD【分析】根据|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，得到2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，得到点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，已知a，c的值，即可求出动点P所形成的轨迹的离心率【解答】解：F1（1，0）、F2（1，0），|F1F2|=2，|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4，点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，2a=4，a=2c=1e=故选：C【点评】本题主要考查了应用椭圆的定义以及等差中项的概念求动点P所形成的轨迹的离心率，关键是求a，c的值12（5分）（2015秋衡阳校级月考）已知函数f（x）为偶函数，且当x0时，f（x）=ex，若f（a）+f（a）2f（1），则实数a取值范围是（）A（，11，+）B1，0C0，1D1，1【分析】利用偶函数的性质将不等式等价转化，由基本初等函数和复合函数的单调性，判断出f（x）在（，0上单调性，由偶函数的性质判断出在0，+）上的单调性，由单调性列出不等式，求出a的取值范围【解答】解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，不等式f（a）+f（a）2f（1）等价为2f（a）2f（1），即f（a）f（1），等价为f（|a|）f（1），当x0时，f（x）=ex，f（x）在区间（，0上单调递增，偶函数f（x）在区间0，+）上单调递减，|a|1，即a1或a1，则实数a取值范围是（，11，+），故选：A【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性，基本初等函数的单调性，利用函数奇偶性的性质、单调性将不等式等价转化是解题的关键，考查了函数思想、转化思想二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）（2011常熟市模拟）若圆锥的母线长为2cm，底面圆的周长为2cm，则圆锥的体积为cm3【分析】求出圆锥的底面半径，求出圆锥的高，即可求圆锥的体积【解答】解：底面圆的周长为2cm，所以圆锥的底面半径为：1cm圆锥的母线长为2cm，所以圆锥的高为：cm圆锥的体积为：=cm3故答案为：【点评】本题考查圆锥的体积，考查及计算能力，是基础题14（5分）（2015秋衡阳校级月考）已知点A（1，1），B（4，2），若直线l：mxy1=0与线段AB相交，则实数m的取值范围为，2【分析】直线l：mxy1=0经过定点P（0，1）利用斜率计算公式可得：kPA，kPB由于直线l：mxy1=0与线段AB相交，可得kPAmkPB即可得出【解答】解：直线l：mxy1=0经过定点P（0，1）kPA=2，kPB=直线l：mxy1=0与线段AB相交，kPAmkPB2m实数m的取值范围为，2，故答案为：，2【点评】本题考查了直线过定点问题、斜率计算公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15（5分）（2015秋衡阳校级月考）函数f（x）=x3+x2的导函数f（x），那么数列，nN*的前n项和是【分析】f（x）=x2+x，可得=，利用“裂项求和”方法即可得出【解答】解：f（x）=x2+x，=，数列，nN*的前n项和S=+=1=故答案为：【点评】本题考查了导数的运算法则、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（5分）（2015秋衡阳校级月考）设F1、F2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使=0，且F1PF2的三边长构成等差数列，则此双曲线的渐近线方程为y=2x【分析】由已知可得，PF1PF2，PF1PF2，由F1PF2的三边长构成等差数列，可得2PF1=F1F2+PF2，结合双曲线的定义，PF1=PF2+2a，利用勾股定理可得PF+PF=F1F，代入可求a与c的比值，从而得到的值，得到该双曲线的渐近线方程【解答】解：由P为双曲线的右支上一点可知，PF1PF2，=0，PF1PF2，F1F2PF1PF2，由F1PF2的三边长构成等差数列，可得2PF1=F1F2+PF2=2c+PF2，又由双曲线的定义可知，PF1PF2=2a即PF1=PF2+2a，联立可得，PF2=2c4a，PF1=2c2a，=0，PF+PF=F1F，即（2c4a）2+（2c2a）2=4c2，整理可得，c26ac+5a2=0，ca，c=5a，可得：a=，b=，=2，得该双曲线的渐近线方程为y=2x故答案为：y=2x【点评】本题主要考查了双曲线的定义及性质在求解双曲线方程中的应用，解题的关键是确定等差数列的中间项，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）17（10分）（2015秋衡阳校级月考）在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c已知a=2c，且AC=（1）求sinC的值；（2）当b=1时，求ABC外接圆的半径【分析】（1）由已知利用正弦定理可得sinA=2sinC，利用诱导公式可得sinA=cosC，联立，利用同角三角函数基本关系式即可解得sinC（2）由（1）结合余弦定理并利用大边对大角可得c，解得c的值，利用正弦定理即可得解ABC外接圆的半径【解答】（本题满分为10分）解：（1）a=2c，sinA=2sinC，（1分）又AC=，sinA=sin（C+）=cosC，（3分）联立，即可求得cosC=；sinC=（5分）（2）由（1）结合余弦定理可知，c2=a2+b22abcosC，可得：c2=4c2+122c1，解得：c=或c=，（7分）由已知易得A，ab，可得：2c1，即：c，c=，（8分）2R=，R=（10分）【点评】本题主要考查了正弦定理，诱导公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，大边对大角在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题18（12分）（2015秋衡阳校级月考）设数列an的前n项和为Sn，且Sn=n2+，nN*（）求数列an的通项公式；（）设数列bn=2nan求数列bn的前n项和Tn【分析】（）当n2时，an=SnSn1=n，再验证对n=1也成立，从而可得数列an的通项公式；（）由（）知an=n，而bn=2nan=n（）n，利用错位相减法可求得数列bn的前n项和Tn【解答】解：（）n=1时a1=S1=1，（2分）n2时，an=SnSn1=n，（5分）此式对n=1也成立，an=n，nN*（6分）（）bn=2nan，bn=n（）n，（8分）Tn=1+2（）2+3（）3+n（）n，Tn=1（）2+2（）3+（n1）（）n+n（）n+1，（1）（2）得：Tn=+（）2+（）3+（）nn（）n+1，（11）Tn=2（12分）【点评】本题考查数列的求和，着重考查递推关系式的应用及错位相减法求和，属于中档题19（12分）（2015秋衡阳校级月考）如图，PCBM是直角梯形，PCB=90，PMBC，PM=1，BC=2，又AC=1，ACB=120，ABPC，直线AM与直线PC所成的角为60（1）求证：平面PCBM平面ABC；（2）求三棱锥BMAC的体积【分析】（1）通过证明PC平面ABC得出平面PCBM平面ABC；（1）取BC的中点为O，连接MO，则可证OM平面ABC，AMO=60，从而求得OM的长，代入棱锥的体积公式VBCMA=VMABC=计算即可【解答】证明：（1）PCAB，PCBC，ABBC=B，PC平面ABC，又PC平面PCBM，平面PCBM平面ABC（2）取BC的中点为O，连接MOPMBC，又PM=BC，四边形PMOC为平行四边形，PCMO，PC平面ABC，MO平面ABC，AMO为AM与PC所成的角即AMO=60，AC=CO=1，ACO=120，AO=，OM=1，VBCMA=VMABC=【点评】本题考查了面面垂直的判定定理，棱锥的体积计算，属于中档题20（12分）（2015秋衡阳校级月考）某校教务处对本校高三文科学生第一次模拟考试的数学成绩进行分析，用分层抽样方法抽取了20名学生的成绩，分数用茎叶图记录如图所示（部分数据丢失），并绘制如下频率分布表：分数段（分）50，70）70，90）90，110）110，130）130，150合计频数b频率a0.2（1）求表中a，b的值及分数在70，80）与90，100）范围内的学生人数；（2）从成绩优秀（分数在120，150范围为优秀）的学生中随机选2名学生得分，求至少取得一名学生得分在130，150的概率【分析】（1）由茎叶图可知分数在50，70）范围内的有3人，在130，150范围内的有2人，由此能求出表中a，b的值及分数在70，80）与90，100）范围内的学生人数（2）设事件A表示“从大于等于120分的学生中随机选2名学生得分，至少取得一名学生得分在130，150”，由茎叶图可知大于等于120分有5人，利用列举法能求出至少取得一名学生得分在130，150的概率【解答】解：（1）由茎叶图可知分数在50，70）范围内的有3人，在130，150范围内的有2人，a=0.15，b=2（2分）又分数在70，90）范围内的频率为0.2，分数在70，90）范围内的人数为200.2=4，分数在70，80）范围内的人数为1，（4分）分数在90，100）范围内的学生数为2016=4（人）（6分）（2）设事件A表示“从大于等于120分的学生中随机选2名学生得分，至少取得一名学生得分在130，150”，由茎叶图可知大于等于120分有5人，记这5人分数分别为121；124；128；138；144则选取学生分数的所有可能结果为：（121，124）；（121，128）；（121，138）；（121，144）；（124，128）；（124，138）；（124，144）；（128，138）；（128，144）；（138，144），共有10个基本事件，（9分）事件A的可能结果为：（121，138）；（121，144）；（124，138）；（124，144）；（128，138）；（128，144）；（138，144）共7种情况，所以至少取得一名学生得分在130，150的概率p=（12分）【点评】本题考查茎叶图、频率分布表的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用21（12分）（2015秋衡阳校级月考）已知函数f（x）=lnxa（x1）（aR）（1）若a=4，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若x（1，+），函数f（x）的图象始终在x轴的下方，求实数a的取值范围【分析】（1）首先求出f（x）在x=1处的切线斜率，利用点斜式写出切线方式；（2）x（1，+），函数f（x）的图象始终在x轴的下方，利用导数判断函数的单调性，观察x1上函数值是否小于0即可【解答】解：（1）当a=4时，f（x）=lnx+2x2，f（x）=+2，切点为（1，0），斜率k=f（1）=3所以，当a=4时，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=3x3（2）若x1，函数f（x）的图象始终在x轴的下方，即x0，f（x）0恒成立f（x）=lnxa（x1），f（x）=，当a0时，x1，f（x）0f（x）在x1上单调递增，f（x）f（1）=0a0不合题意当a2时，有01，f（x）=0在x1上恒成立，f（x）在x1上单调递减，有f（x）f（1）=0，a2满足题意当0a2即1时，由f（x）0，可得1x，由f（x）0，可得xf（x）在（1，）上单调递增，在（，+）上单调递减，f（）f（1）=00a2不合题意综上所述，实数a的取值范围是2，+）【点评】本题主要考查了导数与切线方程求法，利用导数求函数的单调性与最值，属中等题22（12分）（2015秋衡阳校级月考）已知椭圆：+=1（ab0）过点（，），且离心率为（）求椭圆方程；（）设直线y=x+m与椭圆交于不同两点A，B，若点P（0，1）满足|=|，求实数m的值【分析】（）把已知点的坐标代入椭圆方程，结合椭圆的离心率和隐含条件求得a，b的值，则椭圆方程可求；（）联立椭圆方程和直线方程，利用根与系数的关系求得AB的中点M的坐标，结合|=|得PMAB，代入斜率公式得答案【解答】解：（）椭圆过点（，），又，a2=b2+c2，解得a=2，b=1，故椭圆方程为；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得5x2+8mx+4（m21）=0，由0，得m（），故AB的中点M（）|=|，PMAB，则，得m=（，）实数m=【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆方程的求法，训练了向量法在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题、