球的对心碰撞及其实例分析

球的对心碰撞及其实例分析 碰撞问题既是高中教学的重点和难点，也是高考命题的热点。分析研究碰撞问题，对于解决力学中打夯、锻压、击球等问题，解决热学中气体分子间及气体分子与器壁间的相互作用问题，解释生活自然中的一些常见现象，以及较好地解答高考中的力学综合题等，都有十分重要的作用。下面以球的对心碰撞为例，对碰撞现象作一些分析。（一） 完全弹性碰撞在碰撞中，一种简单的情形是，两个等大而不同质量的小球，碰撞前后处在同一水平直线上运动，这就是球的对心碰撞。若碰撞前后系统的动能不发生变化，就叫完全弹性碰撞。用m1和m2分别表示两球的质量， 用v10和v20分别表示两球碰撞前的速度，用v1和v2分别表示两球碰撞后的速度，据动量守恒定律有m1 v10+ m2 v20= m1v1+m2v2由于是完全弹性碰撞，故碰撞前后动能守恒： m1v102+ m2v202= m1v12+ m2v22联立两式可求得两小球碰撞后的速度分别为v1= ()v10 + ()v20 v2= ()v10 +() v20根据式我们可做以下讨论：讨论1：当m1=m2，即对心碰撞的两球质量相等时可得v1=v20, v2=v10，即二球经过碰撞相互交换速度。若v20=0，则v1=0 ，v2=v10，即m1以一定的速度去碰撞静止的m2，结果m1会突然停止，而m2“接过”m1的速度前进。这就是在儿童打弹子或成人打台球中经常看到的现象。讨论2：当m1m2 且v20=0，即用小质量的球去碰很大质量且静止的球时先将v20=0代入式得到 v1= ()v10 ， v2= ()v10 再将条件m1m2 且 v20=0，即用质量很大的球去碰静止的轻球时考虑m1m2 和v20=0两个因素，由式可以得到v1 v10 ， v22v10 说明重球几乎以原速率继续前进，而静止的轻球被碰后则以二倍于重球的速率“逃离”重球。正如用一个铅球去碰一个乒乓球一样，碰后铅球好像没有受到任何障碍一样继续保持原速率前进，而乒乓球却以2倍于铅球的速度很快地跑开。可见，用碰撞规律可以很好地解释许多生活中常见的现象，物理就在我们身边。例题1 如图所示，有一内表面光滑的金属盒，底面长L=1.2m，质量为m1=1Kg，放在水平地面上，与地面间的动摩擦因数为=0.2，在盒内最右端放一半径为r=0.1m的光滑金属球，金属球的质量为m2=1Kg，现在盒的左端给盒施加一个水平冲量I=3NS（盒壁厚度、球与盒发生碰撞的时间和能量损失均忽略不计），取g=10m/s2，求 （1）金属盒能在地面上运动多远？ （2）金属盒从开始运动到最后静止所经历的时间多长？ 1.2mI解析：这是一个典型的弹性碰撞问题，也是一道较难的力学综合题。（1）由于冲量作用，金属盒获得速度v=3m/s，此时金属球由于惯性保持静止，金属盒所受摩擦力为F=（m1+m2）g=4N， 以金属盒为研究对象，据动能定理有： Fs=0m1v2 , 解得 s=1.125m考虑到金属球的大小，当金属盒前进s1=1m时即与球发生碰撞，设碰前盒的速度为v10，则在这1m的位移内对盒应用动能定理有：Fs1=m1v102m1v2 ， 解得 v10=1m/s设碰后盒的速度为v1，球的速度为v2，由于碰撞中球与盒的作用力远大于盒受到的摩擦力，且碰撞的时间极短，故可认为系统的动量和动能均守恒：m1v10=m1v1+m2v2 m1v102=m1v12+m2v22联立两式并代入数值解得 v1=0， v2=1m/s， 说明碰后盒静止、球以盒碰前的速度向前运动。当球前进1m时与盒发生第二次碰撞， 碰后球的速度变为0，盒的速度变为v2=1m/s，以金属盒为研究对象，据动能定理有：Fs2=0m1v22 ，解得 s2=0.125m，说明第二次碰撞后金属盒最多只能在地面上运动0.125m就会停下来，以后金属盒不会与球再发生碰撞，故金属盒能在地面上运动的最大距离为s1+s2=1.125m（2）设盒前进s1=1m所用的时间为t1，前进s2=0.125m所用的时间为t2，据动量定理有：Ft1=m1v10m1v， Ft2=0m1v2， 且v1=v2=1m/s代入数据可求得：t1=0.5s， t2=0.25s， 小球运动时间为t3， 则t3=1s故金属盒从开始运动到最后静止，所经历的时间共为t=t1+t2+t3=1.75s在解决上述问题中，我们实际应用了讨论1中的思维方法，即完全弹性碰撞中两球相等的情形，我们也完全可以用讨论1中的结论来解决上述问题，只是在高考答题时，仍然要求写出原始方程和，否则，会因解题无依据而丢掉不该丢的分。（二）完全非弹性碰撞若两小球碰撞后不分开，而是以同一速度运动，这种碰撞就叫完全非弹性碰撞。这时小球系统的动量守恒：m1 v10+ m2 v20=（ m1+m2）v但系统的机械能并不守恒。例题2 如图所示，一颗质量为m0的子弹，以v0的速度水平射入置于光滑水平面上的木块A并留在其中，A和木块B质量均为m，且用一根弹性良好的弹簧连在一起，则在子弹打击木块及弹簧压缩的整个过程中，弹簧的弹性势能最大值为多少？ 解析 ：子弹射入木块A的过程中动量守恒：m0v0=(m0+m)v1 解得v1=A（包括子弹）以一定的速度向前运动，压缩弹簧推动木块B的过程中，系统的动能转化为（弹簧的）势能，当A、B速度相等时，系统的势能最大、动能最小，这一整个过程类似完全非弹性碰撞，系统的总动量守恒：(m +m0)v1=(2m+m0)v2 解得 v2=此时弹簧的弹性势能就等于系统动能的减少量：EPm=EK=(m+m0)v12(2m+m0)v22=无论是完全弹性碰撞还是完全非弹性碰撞，系统的动量之所以守恒，是因为“极短”时间的碰撞所产生的“内力”远大于系统受到的“外力”，这时外力的作用可忽略不计，而近似认为系统不受外力，因而动量守恒。解决这类问题，关键是要弄清研究对象和研究过程，正确选择列动量守恒方程的系统及其应用过程。如例题2中，第一次选择的对象是子弹和木块A组成的系统，动量守恒的过程是子弹跟木块A碰撞的过程；第二次选择的对象是木块A（包括子弹）、弹簧和木块B四者组成的系统，动量守恒的过程是从A开始压缩弹簧推动B，到弹簧压缩量最大，A、B速度相等时止。这一过程不是A、B两木块直接发生碰撞，而是通过弹簧的作用来实现“碰撞”的。这正是两球发生对心碰撞的力学模型，其实任何对心碰撞都可建立这样的模型。（三） 非完全弹性碰撞介于完全弹性碰撞与完全非弹性碰撞之间的是非完全弹性碰撞。譬如，一个小皮球从高处自由下落到地面后被反弹跳起，反跳的高度总要比原来下落时的高度小一些，这时，皮球跟地面间的碰撞就是非完全弹性碰撞。如果两小球碰撞后彼此分开，而系统的机械能又有一定损失，这样的碰撞就叫非完全弹性碰撞。这种碰撞过程系统的动量仍然守恒：m1 v10+ m2 v20= m1v1+m2v2但机械能（或动能）不守恒。单就这一个方程，我们不能由已知的碰前速度求出未知的碰后速度，但可以由实验得到，两球碰后分开的相对速度与两球碰前的相对速度的比值是一个常数，即 这个比例常数e叫恢复系数，是由做成两球的材料决定的，弹性越好的材料做成的球，这个比例常数就越大。这类情况高中阶段讨论较少，我们无须去深究。