东华理工大学概率论与数理统计练习册答案.pdf

第 一 章 概 率 论 的 基 本 概 念一 、 选 择 题 1 答 案 ： （ B）2. 答 案 ： （ B） 3 答 案 ： （ C）4. 答 案 ： （ C） 注 :C成 立 的 条 件 :A与 B互 不 相 容 . 5. 答 案 ： （ C） 注 :C成 立 的 条 件 :A与 B互 不 相 容 ,即 .6. 答 案 ： （ D） 注 :由 C得 出 A+B=. 7. 答 案 ： （ C）8. 答 案 ： （ D） 注 ： 选 项 B由 于 9.答 案 ： （ C） 注 ： 古 典 概 型 中 事 件 A发 生 的 概 率 为 .10.答 案 ： （ A） 解 ： 用 A来 表 示 事 件 “ 此 个 人 中 至 少 有 某 两 个 人 生 日 相 同 ” ， 考 虑 A的 对 立 事 件 “ 此 个 人 的 生 日 各 不 相 同 ” 利 用 上 一 题 的 结 论 可 知 ， 故 . 11.答 案 ： （ C）12.答 案 ： （ B） 解 ： “ 事 件 A与 B同 时 发 生 时 ,事 件 C也 随 之 发 生 ” ， 说 明 ，故 ； 而 故 .13.答 案 ： （ D） 解 ： 由 可 知故 A与 B独 立 . 14.答 案 ： （ A）解 ： 由 于 事 件 A,B是 互 不 相 容 的 ， 故 ， 因 此 P(A|B)=.15.答 案 ： （ D） 解 ： 用 A表 示 事 件 “ 密 码 最 终 能 被 译 出 ” ， 由 于 只 要 至 少 有 一 人 能 译 出密 码 ， 则 密 码 最 终 能 被 译 出 ， 因 此 事 件 A包 含 的 情 况 有 “ 恰 有 一 人 译 出 密 码 ” ， “ 恰 有 两 人 译 出 密 码 ” ， “ 恰 有 三 人 译 出 密 码 ” ， “ 四 人 都 译出 密 码 ” ， 情 况 比 较 复 杂 ， 所 以 我 们 可 以 考 虑 A的 对 立 事 件 “ 密 码 最 终 没 能 被 译 出 ” ， 事 件 只 包 含 一 种 情 况 ， 即 “ 四 人 都 没 有 译 出 密 码 ” ，故 . 16.答 案 ： （ B）解 ： 所 求 的 概 率 为 注 ： .17.答 案 ： （ A） 解 ： 用 A表 示 事 件 “ 取 到 白 球 ” ， 用 表 示 事 件 “ 取 到 第 i箱 ” ， 则 由 全 概 率 公 式 知 . 18.答 案 ： （ C）解 ： 用 A表 示 事 件 “ 取 到 白 球 ” ， 用 表 示 事 件 “ 取 到 第 i类 箱 子 ” ， 则 由 全 概 率 公 式 知 . 19.答 案 ： （ C）解 ： 即 求 条 件 概 率 .由 Bayes公 式 知 . 二 、 填 空 题 1.（ 正 ， 正 ， 正 ） ， （ 正 ， 正 ， 反 ） ， （ 正 ， 反 ， 反 ） ， （ 反 ， 反 ， 反 ） ， （ 反 ， 正 ， 正 ） ， （ 反 ， 反 ， 正 ） ， （ 反 ， 正 ， 反 ） ， （ 正 ， 反 ， 正 ） 2.或 3 0.3， 0.5解 ： 若 A与 B互 斥 ， 则 P（ A+B） =P（ A） +P（ B） ， 于 是 P（ B） =P（ A+B） -P（ A） =0.7-0.4=0.3；若 A与 B独 立 ， 则 P（ AB） =P（ A） P（ B） ， 于 是 由 P（ A+B） =P（ A） +P（ B） -P（ AB） =P（ A） +P（ B） -P（ A） P（ B） ，得 . 4.0.7解 ： 由 题 设 P（ AB） =P（ A） P（ B|A） =0.4， 于 是 P（ AUB） =P（ A） +P（ B） -P（ AB） =0.5+0.6-0.4=0.7.5.0.3 解 ： 因 为 P（ AUB） =P（ A） +P（ B） -P（ AB） ， 又 ， 所 以 .6.0.6 解 ： 由 题 设 P（ A） =0.7， P（ ） =0.3， 利 用 公 式 知=0.7-0.3=0.4， 故 . 7.7/12解 ： 因 为 P（ AB） =0， 所 以 P（ ABC） =0， 于 是 .8.1/4 解 ： 因 为由 题 设 ， ， 因 此 有 ， 解 得P（ A） =3/4或 P（ A） =1/4， 又 题 设 P（ A） 1/2,故 P（ A） =1/4. 9.1/6解 ： 本 题 属 抽 签 情 况 ， 每 次 抽 到 次 品 的 概 率 相 等 ， 均 为 1/6， 另 外 ， 用 全 概 率 公 式 也 可 求 解 .10. 解 ： 这 是 一 个 古 典 概 型 问 题 ， 将 七 个 字 母 任 一 种 可 能 排 列 作 为 基 本 事件 ， 则 全 部 事 件 数 为 7！ ， 而 有 利 的 基 本 事 件 数 为 ， 故 所 求 的 概 率 为 . 11.3/7解 ： 设 事 件 A=抽 取 的 产 品 为 工 厂 A生 产 的 ， B=抽 取 的 产 品 为 工 厂 B生 产 的 ， C=抽 取 的 是 次 品 ， 则 P（ A） =0.6， P（ B） =0.4， P（ C|A）=0.01， P（ C|B） =0.02， 故 有 贝 叶 斯 公 式 知 .12.6/11 解 ： 设 A=甲 射 击 ， B=乙 射 击 ， C=目 标 被 击 中 ，则 P（ A） =P（ B） =1/2， P（ C|A） =0.6， P（ C|B） =0.5， 故 . 四 、 。 解 ： 由 由 乘 法 公 式 ， 得 由 加 法 公 式 ， 得 第 二 章 随 机 变 量 及 其 分 布一 、 选 择 题 1.答 案 ： （ B） 注 ： 对 于 连 续 型 随 机 变 量 X来 说 ， 它 取 任 一 指 定 实 数 值 a的 概 率 均 为 0，但 事 件 X=a未 必 是 不 可 能 事 件 . 2.答 案 ： （ B）解 ： 由 于 X服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 ， 故 .又 故 ， 因 此 .3.答 案 ： （ D） 解 ： 由 于 X服 从 上 的 均 匀 分 布 ,故 随 机 变 量 X的 概 率 密 度 为.因 此 ， 若 点 ， 则 . ， ，. 4 答 案 ： （ C） 解 ： 由 于 故由 于 而 ， 故 只 有 当 时 ， 才 有 ； 正 态 分 布 中 的 参 数 只 要 求 ， 对 没 有 要 求 .5.答 案 ： （ A） 解 ： 由 于 ， 故， 而 ， 故 ；由 于 ， 故 .6.答 案 ： （ B） 解 ： 这 里 ， 处 处 可 导 且 恒 有 ， 其 反 函 数 为 ， 直 接 套 用 教 材 64页 的 公 式（ 5.2） ， 得 出 Y的 密 度 函 数 为 . 7.答 案 ： （ D）注 ： 此 题 考 查 连 续 型 随 机 变 量 的 概 率 密 度 函 数 的 性 质 .见 教 材 51页 . 8.答 案 ： （ C）解 ： 因 为 ， 所 以 ， . 9.答 案 ： （ B）解 ： 由 于 ， 所 以 的 概 率 密 度 函 数 为 偶 函 数 ， 其 函 数 图 形 关 于 y轴 对 称 ， 因 此 随 机 变 量 落 在 x轴 两 侧 关 于 原 点 对 称 的 区 间 内 的 概 率 是 相 等 的 ， 从而 马 上 可 以 得 出 .我 们 可 以 画 出 函 数 的 图 形 ， 借 助 图 形 来 选 出 答 案 B. 也 可 以 直 接 推 导 如 下 ：， 令 ， 则 有 10.答 案 ： （ A）解 ： . 11.答 案 ： （ B）解 ： . 12.答 案 ： （ D） 解 ： 对 任 意 的 ； 选 项 C描 述 的 是 服 从 指 数 分 布 的 随 机 变 量 的 “ 无 记 忆性 ” ； 对 于 指 数 分 布 而 言 ， 要 求 参 数 . 13.答 案 ： （ A）解 ： 选 项 A改 为 ， 才 是 正 确 的 ； ；. 14.答 案 ： （ B）解 ： 由 于 随 机 变 量 X服 从 (1,6)上 的 均 匀 分 布 ,所 以 X的 概 率 密 度 函 数 为 . 而 方 程 有 实 根 ， 当 且 仅 当 ， 因 此 方 程 有 实 根 的 概 率 为. 二 、 填 空 题 1.2.解 ： 由 规 范 性 知 . 3.解 ： 由 规 范 性 知 .4.解 ： 因 为 ， 所 以 只 有 在 F（ X） 的 不 连 续 点 （ x=-1,1,2） 上 PX=x不 为 0,且 P（ X=-1） =F（ -1） -F（ -1-0） =a， PX=1=F（ 1） -F（ 1-0） =2/3-2a， PX=2=F（ 2） -F（ 2-0） =2a+b-2/3,由 规 范 性 知 1=a+2/3-2a+2a+b- 2/3得 a+b=1,又 1/2=PX=2=2a+b-2/3， 故 a=1/6， b=5/6.5.解 ： 由 于 ， 所 以 X的 概 率 密 度 为 ， 故 .6.； 7.解 ： .8.解 :由 . 9 0 解 ： 故 . 第 三 章 多 维 随 机 变 量 及 其 分 布一 、 选 择 题 1.答 案 ： （ A） 解 ： 要 使 是 某 个 随 机 变 量 的 分 布 函 数 ,该 函 数 必 须 满 足 分 布 函 数 的 性质 ， 在 这 里 利 用 这 一 性 质 可 以 得 到 ， 只 有 选 型 A满 足 条 件 . 2.答 案 ： （ A）解 ： 由 可 知 ， 故 又 由 联 合 分 布 律 与 边 缘 分 布 律 之 间 的 关 系 可 知 ：故 . 3.答 案 ： （ D）解 ： 联 合 分 布 可 以 唯 一 确 定 边 缘 分 布 ， 但 边 缘 分 布 不 能 唯 一 确 定 联 合 分 布 ， 但 如 果 已 知 随 机 变 量 X与 Y是 相 互 独 立 的 ， 则 由 X与 Y的 边 缘分 布 可 以 唯 一 确 定 X与 Y的 联 合 分 布 . 4.答 案 ： （ A）解 ： 由 问 题 的 实 际 意 义 可 知 ， 随 机 事 件 与 相 互 独 立 ， 故 ； ； ，而 事 件 又 可 以 分 解 为 15个 两 两 不 相 容 的 事 件 之 和 ， 即 故 .5.答 案 ： （ B） 解 ： 当 时 ， ， ， 且 X和 Y相 互 独 立 的 充 要 条 件 是 ； 单 由 关 于 S和 关 于 T的 边缘 分 布 ， 一 般 来 说 是 不 能 确 定 随 机 变 量 S和 T的 联 合 分 布 的 . 6.答 案 ： （ C）解 ： （ 方 法 1） 首 先 证 明 一 个 结 论 ， 若 ， 则 .证 明 过 程 如 下 （ 这 里 采 用 分 布 函 数 法 来 求 的 概 率 密 度 函 数 ， 也 可 以 直 接 套 用 教 材 64页 的 定 理 结 论（ 5.2） 式 ） ： 由 于 故 这 表 明 也 服 从 正 态 分 布 ， 且 .所 以 这 里 .再 利 用 结 论 ： 若 与 相 互 独 立 ， 且 ， 则 .便 可 得 出 ； ；; .（ 方 法 2） 我 们 还 可 以 证 明 ： 有 限 个 相 互 独 立 的 正 态 随 机 变 量 的 线 性 组 合 仍 然 服 从 正 态 分 布 ， 且 若 ， 则故 ； ； ;.7.答 案 ： （ A） 解 ： 由 于 ， ， 所 以 ， ， 故 ， 而 ， 所 以 .8.答 案 ： （ D） 解 ： 由 联 合 概 率 密 度 函 数 的 规 范 性 知 . 9.答 案 ： （ A）解 ： .10.答 案 ： （ ） 解 ： 由 联 合 概 率 密 度 函 数 的 规 范 性 知12.答 案 ： （ C） 解 ： 用 D表 示 以 (0,0),(0,2),(2,1)为 顶 点 所 形 成 的 三 角 形 区 域 ， 用 G表示 矩 形 域 ， 则 所 求 的 概 率 为 .13.答 案 ： （ B） 解 ： 利 用 结 论 ： 有 限 个 相 互 独 立 的 正 态 随 机 变 量 的 线 性 组 合 仍 然 服 从 正 态 分 布 ， 且 若 ， 则因 此 ； .令 ， 由 教 材 64页 定 理 结 论 中 的 （ 5.2） 式 可 知 ， Z的 概 率 密 度 函 数 为 ， 故 . 二 、 填 空 题 1.F（ b,c） -F(a,c);F(a,b);F(+,a)-F(+,0);F(+,b)-F(a,b). 2. 3.解 ： ， 故 . 4.05.解 ： P（ X=Y） =P（ X=-1, Y=-1） + P（ X=1, Y=1） = P（ X=-1） P（ Y=-1） + P（ X=1） P（ Y=1） =(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;P（ X+Y=0） = P（ X=-1, Y=1） + P（ X=1, Y=-1） = P（ X=-1） （ Y=1） + P（ X=1） P（ Y=-1） =(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;P（ XY=1） =P（ X=-1, Y=-1） + P（ X=1, Y=1） = P（ X=-1） P（ Y=-1） + P（ X=1） P（ Y=1） =(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2.三 、 设 随 机 变 量 （ X， Y） 概 率 密 度 为 （ 1） 确 定 常 数 k。 （ 2） 求 P X1, Y3 （ 3） 求 P (X1.5 （ 4） 求 P (X+Y 4分 析 ： 利 用 P (X, Y) G=再 化 为 累 次 积 分 ， 其 中 解 ： （ 1） ， （ 2） （ 3）（ 4） 四 、 设 二 维 随 机 变 量 （ X， Y） 的 概 率 密 度 为（ 1） 试 确 定 常 数 c。 （ 2） 求 边 缘 概 率 密 度 。 解 : l= 第 四 章 随 机 变 量 的 数 字 特 征 一 、 选 择 题 1 答 案 ： （ D） 解 ： 由 于 ， 所 以 ， 故 . 2.答 案 ： （ D） 解 ： 3.答 案 ： （ D） 解 ： ， 故 ；， 故 ； ， 故 ；， 但 不 能 说 明 X与 Y独 立 . 4.答 案 ： （ C）解 ： 由 于 X,Y独 立 ， 所 以 2X与 3Y也 独 立 ， 故 . 5.答 案 ： （ C）解 ： 当 X,Y独 立 时 ， ； 而 当 X,Y独 立 时 ， ， 故 ； . 6.答 案 ： （ C） 解 ： ， 当 X,Y独 立 时 ， 可 以 得 到而 ， 即 X,Y不 相 关 ， 但 不 能 得 出 X,Y独 立 ； ， 故 ；， 故 . 7.答 案 ： （ D）解 ： ， 即 X,Y不 相 关 . 8.答 案 ： （ A）解 ： ， 即 X,Y不 相 关 . 9.答 案 ： （ C）解 ： 成 立 的 前 提 条 件 是 X,Y相 互 独 立 ； 当 X,Y相 互 独 立 时 ， 有 ， 即 成 立 的 充 分 条 件 是 X,Y相 互 独 立 ；而 即 X,Y不 相 关 ， 所 以 成 立 的 充 要 条 件 是 X,Y不 相 关 ； . 10.答 案 ： （ D） 解 ： 由 ；. 11.答 案 ： （ B）解 ： 由 ； ； 是 一 个 确 定 的 常 数 ， 所 以 .12.答 案 ： （ D） 解 ： 13.答 案 ： （ B）解 ： ， ，故 . 14.答 案 ： （ C）解 ： .15.答 案 ： （ B） 解 ： 由 于 当 时 ， ， 故 这 里 .16.答 案 ： （ A） 解 ： 由 于 ， 所 以 ，又 因 为 ， 所 以 ， 而 与 的 独 立 性 未 知 ， 所 以 的 值 无 法 计 算 ， 故 的 值 未 知 .17.答 案 ： （ C） 解 ： 由 于 (X,Y)服 从 区 域 上 的 均 匀 分 布 ， 所 以 (X,Y)的 概 率 密 度 为 ，则 . 18.答 案 ： （ D）解 ： 令 ， 则 有 ， ， 但 不 一 定 有 . 19.答 案 ： （ A）解 ： 由 题 意 知 ， 故 Y服 从 参 数 为 3和 1/4的 二 项 分 布 ， 即 ， 因 此 . 20.答 案 ： （ D）解 ： ， 只 有 当 X与 Y独 立 时 ， 才 有 . 二 、 填 空 题 1.解 ： 由 题 设 =， 故 . 2.解 ： 假 设 P（ X=-1） =a， P（ X=0） =b， P（ X=1） =c,则 a+b+c=1,- a+0+c=,a+c=,故 a=0.4,b=0.1,c=0.5,即 的 概 率 分 布 是 P（ X=-1） =0.4， P（ X=0） =0.1， P（ X=1） =0.5. 3. ,;,0, 1.4.解 ： 由 题 设 ， 故 的 概 率 密 度 函 数 为 . 5.解 ： 由 题 设. 6.解 ： =0+1/6+1/3+1/4+1=7/4；=0+1/6+4/6+9/12+16/4=67/12； =-=67/12-49/16=121/48；=-2+E（ 1） =-7/2+1=-5/2. 7.解 ：. 8.解 ： 由 于 X服 从 n=10， p=0.4的 二 项 分 布 ， 根 据 二 项 分 布 的 性 质 ，EX=np=4， DX=np（ 1-p） =2.4， 故 E（ ） = DX+（ EX） =18.4. 三 、 设 随 机 变 量 X的 分 布 为 X 2 0 2 Pk 0.4 0.3 0.3 求 E (X)， E (3X2+5) 解 ： E (X)= ( 2) 0.4+0 0.3+2 0.3= 0.2 E (X2)= ( 2)2 0.4+02 0.3+22 0.3=2.8 E (3X2+5) = 3E (X2)+ E (5)= 8.4+5=13.4 四 、 设 随 机 变 量 X的 概 率 密 度 为 求 （ 1） Y=2X （ 2） Y=e 2x的 数 学 期 望 。 解 ： （ 1） （ 2） 五 、 设 随 机 变 量 X 1， X2的 概 率 密 度 分 别 为求 （ 1） E (X 1+X2)， E (2X1 3)； （ 2） 又 设 X1， X2相 互 独 立 ， 求 E(X 1X2)解 ： （ 1） = （ 2） = （ 3） 六 、 设 随 机 变 量 X和 Y的 联 合 分 布 为 ： XY 1 0 1 1 0 0 1 验 证 ： X和 Y不 相 关 ， 但 X和 Y不 是 相 互 独 立 的 。 证 ： P X=1 Y=1= P X=1= P Y=1= P X=1 Y=1 P X=1 P Y=1 X， Y不 是 独 立 的又 E (X )= 1 +0 +1 =0 E (Y )= 1 +0 +1 =0 COV(X, Y )=EX E (X )Y E (Y )= E (XY ) EX EY = ( 1)( 1) +( 1)1 +1 ( 1) +1 1 =0 X， Y是 不 相 关 的七 、 设 随 机 变 量 （ X 1， X2） 具 有 概 率 密 度 。， 0 x 2, 0 y 2 求 E (X1)， E (X2)， COV（ X1， X2） ， 解 ： D (X1+X2)= D (X1)+ D (X2)+2COV(X1, X2) = 第 五 章 大 数 定 理 及 中 心 极 限 定 理一 、 选 择 题 1.（ A） 2.（ C） 3.（ C） 解 :设 X:炮 弹 命 中 的 数 量 ， 则 ， 由 中 心 极 限 定 理 ， 因 此4.（ C） 注 ： 不 意 味 服 从 正 态 分 布 ， 不 要 只 看 符 号 形 式 5.（ B） 解 :因 为 服 从 参 数 为 2的 指 数 分 布 ,故 有 令 ,由 独 立 同 分 布 的 中 心 极 限 定 理 有 二 、 填 空 题 1. ， 2.0 三 、 据 以 往 经 验 某 种 电 器 元 件 的 寿 命 服 从 均 值 为 100小 时 的 指 数 分 布 ， 现 在 随 机 的 抽 取 16只 ， 设 它 们 的 寿 命 是 相 互 独 立 的 ， 求 这 16只 元 件 寿 命 总 和 大 于 1920小 时 的 概 率 。 解 ： 设 第 i只 寿 命 为 Xi， （ 1 i 16） ， 故 E (Xi )=100， D (Xi )=1002(l=1,2, ,16).依 本 章 定 理 1知 从 而 四 、 某 种 电 子 器 件 的 寿 命 （ 小 时 ） 具 有 数 学 期 望 （ 未 知 ） ， 方 差 2=400 为 了 估 计 ， 随 机 地 取 几 只 这 种 器 件 ， 在 时 刻 t=0投 入 测 试 （ 设 测 试 是 相 互 独 立 的 ） 直 到 失 败 ， 测 得 其 寿 命 X1， ， Xn， 以 作 为 的 估 计 ， 为 使 问 n至 少 为 多 少 ？ 解 ： 由 中 心 极 限 定 理 知 ， 当 n很 大 时 = 所 以 查 标 准 正 态 分 布 表 知 即 n至 少 取 1537。 第 六 章 样 本 及 抽 样 分 布 一 、 选 择 题 1. ( C ) 2.（ C） 注 ： 统 计 量 是 指 不 含 有 任 何 未 知 参 数 的 样 本 的 函 数3.（ D） 注 ： 当 总 体 服 从 正 态 分 布 时 D才 成 立 ， 当 然 在 大 样 本 下 ， 由 中 心 极 限 定 理 有 近 似 服 从4.（ B） 5.（ D） 对 于 答 案 D,由 于 ， 且 相 互 独 立 ， 根 据 分 布 的 定 义 有6(C) 注 ： 才 是 正 确 的 . 7.(D)8.(C) 注 ： ， 才 是 正 确 的 9.(B) 根 据 得 到10.(A) 解 ： ， 由 分 布 的 定 义 有 二 、 填 空 题 1 与 总 体 同 分 布 ， 且 相 互 独 立 的 一 组 随 机 变 量2.代 表 性 和 独 立 性 3.，4.， ， ， ， 5. 0.16. 7.8. 三 、 在 总 体 N（ 52， 6.32） 中 随 机 抽 一 容 量 为 36的 样 本 ， 求 样 本 均 值 落 在 50.8到 53.8之 间 的 概 率 。解 ： 四 、 设 X1， X2， ， Xn是 来 自 泊 松 分 布 ( )的 一 个 样 本 ， ， S2 分 别 为 样 本 均 值 和 样 本 方 差 ， 求 E (), D (), E (S 2 ). 解 ： 由 X ( )知 E (X )= ， E ()=E (X )= , D ()= 第 七 章 参 数 估 计 一 、 选 择 题 1.答 案 ： D. 解 因 为 ， 所 以2.答 案 ： D. 解 因 为 ， ， ，所 以 ， . 3. 答 案 A . 解 似 然 函 数 ， 由 ， 得 .4. 答 案 C. 解 在 上 面 第 5题 中 用 取 代 即 可 .5. 答 案 A. 解 求 解 同 填 空 第 7题 .6. 答 案 B. 解 求 解 同 填 空 第 9题 .7. 答 案 C. 解 因 为 ， 且 ， .8.答 案 B. 解 求 解 同 上 面 第 9， 10题 .9答 案 D. 解 求 解 同 第 12题 .10.答 案 B. 解 的 最 大 似 然 估 计 量 是 .11.答 案 A. 解 提 示 ： 根 据 置 信 区 间 的 定 义 直 接 推 出 .12.答 案 D. 解 同 填 空 题 25题 .13.答 案 B. 解 同 填 空 题 第 28题 .14. 答 案 A. 解 因 为 ， 所 以 选 A. 二 、 填 空 题 1. 矩 估 计 和 最 大 似 然 估 计 ； 2.， ；3. ， ； 解 （ 1） 矩 估 计因 为 =， 所 以 ， 即 的 矩 估 计 量 .（ 2） 最 大 似 然 估 计 因 为 ，对 其 求 导 ： . 4. , ；解 （ 1） 的 矩 估 计 为 ： 样 本 的 一 阶 原 点 矩 为 ：所 以 有 ： （ 2） 的 最 大 似 然 估 计 为 ： 得 ： . 5. ； 解 因 为 所 以 极 大 似 然 函 数 ， . 6. ， ； 解 （ 1） 矩 估 计 ： ， 样 本 的 一 阶 原 点 矩 为 ： 所 以 有 ： . （ 2） 极 大 似 然 估 计 ： 似 然 函 数 ，则 .7. ， ； 解 因 为 ， 所 以令 则 ， .8. ， ； 9. 数 学 期 望 E(X)； 解 10. ； 解 . 11. ； 解 ， 所 以 ； 12. 14.754， 15.146；解 这 是 方 差 已 知 ， 均 值 的 区 间 估 计 ， 所 以 有 ： 置 信 区 间 为 ：由 题 得 ： 代 入 即 得 ： 所 以 为 ：13. 0.15， 0.31； 解 由 得 ： ， 所 以 的 置 信 区 间 为 ： ， ，将 ， 代 入 得 ， . 三 、 设 X1， X1， ， Xn是 来 自 参 数 为 的 泊 松 分 布 总 体 的 一 个 样 本 ， 试 求 的 极 大 似 然 估 计 量 及 矩 估 计 量 。解 ： （ 1） 矩 估 计 X ( )， E (X )= ， 故 =为 矩 估 计 量 。 （ 2） 极 大 似 然 估 计 ，为 极 大 似 然 估 计 量 。 （ 其 中四 、 设 总 体 X具 有 分 布 律 X 1 2 3 Pk 2 2 (1 (1 ) ) 2 其 中 (0 D (T2)所 以 T 2较 为 有 效 。六 、 设 某 种 清 漆 的 9个 样 品 ， 其 干 燥 时 间 （ 以 小 时 计 ） 分 别 为 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0。 设 干 燥 时 间 总 体 服 从 正 态 分 布 N （ ， 2） ， 求 的 置 信 度 为 0.95的 置 信 区 间 。 （ 1） 若 由 以 往 经 验 知 =0.6（ 小 时 ） （ 2） 若 为 未 知 。解 ： （ 1） 的 置 信 度 为 0.95的 置 信 区 间 为 （ ） ， 计 算 得（ 2） 的 置 信 度 为 0.95的 置 信 区 间 为 （ ） ， 计 算 得 ， 查 表 t0.025(8)=2.3060. 第 八 章 假 设 检 验 一 、 选 择 题 1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C 7.B 8.D 二 、 填 空 题 1. 2. 1.176三 、 某 批 矿 砂 的 5个 样 品 中 的 镍 含 量 ， 经 测 定 为 （ %） 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。 设 测 定 值 总 体 服 从 正 态 分 布 ， 问 在 = 0.01下 能 否 接 受假 设 ： 这 批 矿 砂 的 含 镍 量 的 均 值 为 3.25. 解 ： 设 测 定 值 总 体 X N（ ， 2） ， ， 2均 未 知步 骤 ： （ 1） 提 出 假 设 检 验 H： =3.25; H 1： 3.25（ 2） 选 取 检 验 统 计 量 为 （ 3） H的 拒 绝 域 为 | t |（ 4） n=5, = 0.01， 由 计 算 知 查 表 t0.005(4)=4.6041, （ 5） 故 在 = 0.01下 ， 接 受 假 设 H0 四 、 要 求 一 种 元 件 使 用 寿 命 不 得 低 于 1000小 时 ， 今 从 一 批 这 种 元 件 中 随 机 抽 取 25件 ， 测 得 其 寿 命 的 平 均 值 为 950小 时 ， 已 知 这 种 元 件 寿 命 服 从 标 准 差 为 =100小 时 的 正 态 分 布 。 试 在 显 著 水 平 = 0.05下 确 定 这 批 元 件 是 否 合 格 ？ 设 总 体 均 值 为 。 即 需 检 验 假 设 H0： 1000， H1： 1000。 解 ： 步 骤 ： （ 1） 1000； H1： 0.005 （ 2） H0的 拒 绝 域 为 （ 3） n=9， = 0.05， S=0.007， 由 计 算 知查 表 （ 4） 故 在 = 0.05下 ， 拒 绝 H0， 认 为 这 批 导 线 的 标 准 差 显 著 地 偏 大 。 -1 1 3 0.5 0.3 0.2 东 华 理 工 大 学 2010 2011学 年 第 二 学 期 概 率 论 与 数 理 统 计 期 末 考 试 试 卷 （ A1） 一 、 填 空 题 ： （ 本 大 题 共 7小 题 ， 每 小 题 3分 ， 共 21分 ） (1) 3 （ 2） （ 3） 5 （ 4） （ 5） (6) （ 9.9902， 10.0098） (7) 二 、 选 择 题 ： (本 大 题 共 7小 题 ， 每 小 题 2分 ， 共 14分 ) 三 、 一 座 20层 的 高 楼 的 底 层 电 梯 上 了 10位 乘 客 ， 乘 客 从 第 3层 起 开 始 离开 电 梯 ， 每 一 名 乘 客 在 各 层 离 开 电 梯 是 等 可 能 的 ， 求 没 有 两 位 乘 客 在 同 一 层 离 开 的 概 率 。 （ 7分 ） 解 ： 设 表 示 事 件 没 有 两 位 乘 客 在 同 一 层 离 开 ， 则 样 本 空 间 包 含 的 样 本 点 数 为 ， 事 件 包 含 的 样 本 点 数 为 ， 因 此 四 、 已 知 随 机 变 量 ， ， 且 X与 Y相 互 独 立 ， 设(1) 求 ； ； (2) 求 (12分 ) 解 ： (1) ； = ； 又 因 为 , 所 以 D(Z)=； (2) = () 则 = 五 、 某 运 输 公 司 有 500辆 汽 车 参 加 保 险 ， 在 一 年 内 每 辆 汽 车 出 事 故 的 概 率 为 0.006， 每 辆 参 加 保 险 的 汽 车 每 年 交 保 险 费 800元 ， 若 一 辆 车 出 事 故 保 险 公 司 最 多 赔 偿 50000元 试 利 用 中 心 极 限 定 理 计 算 ， 保 险 公 司 一 年 赚 钱 少 于 200000元 的 概 率 （ 8分 ） 附 ： 标 准 正 态 分 布 分 布 函 数 表 ： 0.56 0.57 0.58 0.59 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 解 ： 设 某 辆 汽 车 出 事 故 ， 则 ， 设 表 示 运 输 公 司 一 年 内 出 事 故 的 车 数 则 保 险 公 司 一 年 内 共 收 保 费 ， 若 按 每 辆 汽 车 保 险 公 司 赔 偿 50000元 计 算 ， 则 保 险 公 司 一 年 赚 钱 小 于 200000元 ， 则 在 这 一 年 中 出 事 故 的 车 辆 数 超 过 4辆 因 此 所 求 概 率 为 六 、 设 总 体 ， 其 中 已 知 ， 是 未 知 参 数 是 从 该 总 体 中 抽 取 的 一 个 样 本 ，求 未 知 参 数 的 极 大 似 然 估 计 量 。 （ 8分 ） 解 ： 当 为 已 知 时 ， 似 然 函 数 为 因 而 所 以 ， 由 似 然 方 程 ， 解 得 ， 所 以 的 极 大 似 然 估 计 量 为 。 七 、 设 随 机 变 量 与 的 联 合 密 度 函 数 为 (1) 求 常 数 ； (2) 求 的 边 缘 密 度 函 数 ； （ 8分 ） 解 ： （ 1） 由 得 到 ， 解 得 （ 2） 八 、 设 随 机 变 量 密 度 函 数 为 ， 求 的 概 率 密 度 。 （ 8分 ） 解 ： 当 时 ， ， 当 时 ， ， 因 此 九 、 设 某 种 产 品 的 一 项 质 量 指 标 ， 现 从 一 批 产 品 中 随 机 地 抽 取 16件 ，测 得 该 指 标 的 均 值 以 检 验 这 批 产 品 的 质 量 指 标 是 否 合 格 ？ (8分 ). 解 ： 设 当 为 真 时 ， 检 验 统 计 量 为 ， 给 定 显 著 性 水 平 ， 拒 绝 域 为 . 代 入 数 据 得 ， 落 在 拒 绝 域 外 ， 故 接 受 ， 即 质 量 指 标 合 格 . 十 、 设 总 体 ， 其 中 ， 都 是 未 知 参 数 是 从 该 总 体 中 抽 取 的 一 个 样 本 ， （ 6分 ）（ 1） 试 证 明 为 的 无 偏 估 计 量 。 （ 普 通 班 同 学 解 答 ） （ 2） 假 设 是 已 知 的 ， 试 证 明 为 的 无 偏 估 计 量 。（ 实 验 班 同 学 解 答 ） （ 1） 因 为 , 所 以 ， 则， 所 以 为 的 无 偏 估 计 量 。(2)因 为 ， 所 以 ， 所 以 ， 所 以 ， ； 因 此 ， 所 以 ， 是 未 知 参 数 的 无 偏 估 计