《椭圆中的弦长问题》进阶练习

椭圆中的弦长问题进阶练习一、选择题1.如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（）A.B.C.D.2A，B两点，过AB的中点M2.设抛物线y=4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于作准线的垂线与抛物线交于点P，若，则弦长|AB|等于()A.2B.4C.6D.8设直线x+y=1与抛物线y2=2px（p0）交于A，B两点，若OAOB，则OAB的面积为（）A.1B.C.D.2二、填空题椭圆x2+4y2=4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_5.已知P为椭圆C：上的任意一点，F为椭圆C的右焦点，M的坐标为（1，3），则|PM|+|PF|的最小值为_参考答案1.D2.C3.B4.1. 5.5本题主要考查的是直线与椭圆的应用，熟悉点差法是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于中档题.解：设弦为AB，得：即所以这条弦所在的直线方程是故选D.试题分析：求出抛物线焦点为F(1，0)，准线为l：x=-1设A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线AB的方程为y=k(x-1)，由AB方程与抛物线方程消去y得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系算出：x1+x2=，x1x2=1，由此算出P的坐标为M(，)，根据利用点到两点间的距离公式解出k2=2，从而算出x1+x2=4，最后根据抛物线的定义可得弦长|AB|的值抛物线方程为y2=4x，2p=4，p=2，可得抛物线的焦点为F(1，0)，准线为l：x=-1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y=k(x-1)，由消去y，得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，x1+x2=，x1x2=1，过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，设P的坐标为(x0，y0)，可得y0=(y1+y2)，y1=k(x1-1)，y2=k(x2-1)，y1+y2=k(x1+x2)-2k=k?-2k=，得到y0=，所以x0=，可得M(，)，=，解之得k2=2，因此x1+x2=4，根据抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=4+2=6故选：C解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由x+y=1与抛物线y2=2px，得y2+2py-2p=0，解得y1=-p+，x1=1+p-，y2=-p-，x2=1+p+，由OAOB得，x1x2+y1y2=0，即（1+p）2-（p2+2p）+p2-（p2+2p）=0，化简得2p=1，即p=，从而A（，），B（，），2222=x222=5+2，|OA|=x1+y1=5-2，|OB|+y2OAB的面积S=|OA|?|OB|=故选B联立直线和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程后运用求根公式，求得A，B的坐标，由OAOB，可得x1x2+y1y2=0，求得p，由两点的距离公式可得OA，OB的长，利用三角形的面积公式计算即可得到本题考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程和抛物线方程联立，求得交点，运用两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题解：A是直角顶点所以直角边斜率是1和-1设A是（-2，0）所以一条是y=x+2代入椭圆5x2+16x+12=0（5x+6）（x+2）=0x=-，x=-2（排除）x=-，y=x+2=所以和椭圆交点是C（-，）222则AC=（-2+）+（0-）=2所以面积=AC=故答案为根据A是直角顶点推断直角边斜率是1和-1设A是（-2，0）则可得一直角边方程与椭圆方程联立消去y求得交点的横坐标，进而根据直线方程求得横坐标，进而可求得一直角边的长，最后根据面积公式可得三角形的面积本题主要考查了椭圆的简单性质本题是研究椭圆和解三角形问题的综合题对学生对问题的综合分析的能力要求很高解：设椭圆的左焦点为：F1根据椭圆的第一定义|PM|+|PF|=|PM|+2a-|PF1|=2a-（|PF1|-|PM|），|PM|+|PF|取得最小值时，即|PF1|-|PM|最大，如图所示：|PF1|-|PM|MF1|=5，当P，M，F1共线且P在MF1的延长线上时，取得这个最大值|PA|+|PF1|的最小值为：10-5=5故答案为：5先作出图形来，再根据椭圆的定义得出|PM|+|PF|=2a-（|PF1|-|PM|），将|PM|+|PF|的最小值转化为求|PF1|-|PM|的最大值，最后找到取得最值的状态求解本题主要考查了椭圆的应用，考查学生的作图能力和应用椭圆的定义来求最值的能力解答本题的关键是将|PM|+|PF|的最小值转化成求|PF1|-|PM|最大，从而结合平面几何的性质解决，属于中档题