中考总复习：二次函数--知识讲解(基础)

中考总复习：二次函数知识讲解根底【考纲要求】1二次函数的概念常为中档题主要考察点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等；2二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点；3抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过，覆盖面较广，而且这些内容的综合题一般较难，在解答题中出现【知识网络】 【考点梳理】考点一、二次函数的定义 一般地，如果a、b、c是常数，a0，那么y叫做x的二次函数要点诠释： 二次函数(a0)的构造特征是：(1)等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2(2)二次项系数a0考点二、二次函数的图象及性质(a0)的图象是一条抛物线，顶点为2.当a0时，抛物线的开口向上；当a0时，抛物线的开口向下3.|a|的大小决定抛物线的开口大小|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大 c的大小决定抛物线及y轴的交点位置c0时，抛物线过原点；c0时，抛物线及y轴交于正半轴；c0时，抛物线及y轴交于负半轴 ab的符号决定抛物线的对称轴的位置当ab0时，对称轴为y轴；当ab0时，对称轴在y轴左侧；当ab0时，对称轴在y轴的右侧的图象，可以由的图象移动而得到将向上移动k个单位得：将向左移动h个单位得：将先向上移动k(k0)个单位，再向右移动h(h0)个单位，即得函数的图象要点诠释：求抛物线a0的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用考点三、二次函数的解析式：(a0) 假设条件是图象上的三个点，那么设所求二次函数为，将条件代入，求出a、b、c的值2.交点式双根式： 假设二次函数图象及x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，设所求二次函数为，将第三点(m，n)的坐标(其中m、n为数)或其他条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式： 假设二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程及最大值(或最小值)，设所求二次函数为，将条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式：假设二次函数图象上两对称点(x1，m)，(x2，m)，那么可设所求二次函数为，将条件代入，求得待定系数，最后将解析式化为一般形式要点诠释： 图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数).图象及轴的交点坐标、，通常选用交点式：a0.(由此得根及系数的关系：).考点四、二次函数(a0) 的图象的位置及系数a、b、c的关系1.开口方向：a0时，开口向上，否那么开口向下2.对称轴：时，对称轴在y轴的右侧；当时，对称轴在y轴的左侧3.及x轴交点：时，有两个交点；时，有一个交点；时，没有交点要点诠释： 当x1时，函数ya+b+c； 当x-1时，函数ya-b+c； 当a+b+c0时，x1及函数图象的交点在x轴上方，否那么在下方； 当a-b+c0时，x-1及函数图象的交点在x轴的上方，否那么在下方考点五、二次函数的最值1.当a0时，抛物线有最低点，函数有最小值，当时，2.当a0时，抛物线有最高点，函数有最大值，当时，要点诠释： 在求应用问题的最值时，除求二次函数的最值，还应考虑实际问题的自变量的取值范围【典型例题】类型一、应用二次函数的定义求值1二次函数y=x2-2k+1x+k+3有最小值-4，且图象的对称轴在y轴的右侧，那么k的值是 2【思路点拨】因为图象的对称轴在y轴的右侧，所以对称轴x=k+10，即k-1；又因为二次函数y=x2-2k+1x+k+3有最小值-4，所以y最小值= =-4，可以求出k的值【答案及解析】解：图象的对称轴在y轴的右侧，对称轴x=k+10，解得k-1，二次函数y=x2-2k+1x+k+3有最小值-4，y最小值= =k+3-k+12=-k2-k+2=-4，整理得k2+k-6=0，解得k=2或k=-3，k=-3-1，不合题意舍去，k=2【总结升华】求二次函数的最大小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法举一反三：【变式】是二次函数，求k的值【答案】是二次函数，那么由得，即，得，显然，当k-3时，原函数为y0，不是二次函数 k2即为所求类型二、二次函数的图象及性质的应用2把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，那么平移后抛物线的解析式为( ) A B C D【思路点拨】抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线y=-x2顶点坐标为0，0，向左平移1个单位，然后向上平移3个单位后，顶点坐标为-1，3，根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式【答案】 D；【解析】根据抛物线的平移规律可知：向左平移1个单位可变成，再向上平移3个单位后可变成【总结升华】(1)图象向左或向右平移|h|个单位，可得的图象(h0时向左，h0时向右) (2)的图象向上或向下平移|k|个单位，可得的图象(k0时向上，k0时向下)举一反三：【变式】将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是( )A B C D【答案】按照平移规律“上加下减，左加右减得应选A.类型三、求二次函数的解析式3二次函数的图象经过点(1，0)，(-5，0)，顶点纵坐标为，求这个二次函数的解析式 【思路点拨】将点1，0，-5，0代入二次函数y=ax2+bx+c，再由 ，从而求得a，b，c的值，即得这个二次函数的解析式【答案及解析】解法一：由题意得 解得所以二次函数的解析式为解法二：由题意得 把代入，得，解得所以二次函数的解析式为，即 解法三：因为二次函数的图象及x轴的两交点为(1，0)，(-5，0)，由其对称性知，对称轴是直线所以，抛物线的顶点是可设函数解析式为即【总结升华】根据题目的条件，有多种方法求二次函数的解析式举一反三：【变式】：抛物线经过点1求的值；2假设，求这条抛物线的顶点坐标；3假设，过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于另一点，且，求这条抛物线所对应的二次函数关系式提示：请画示意图思考【答案】解：1依题意得：， 2当时， 抛物线的顶点坐标是 yxOBPA3解法1：当时，抛物线对称轴，对称轴在点的左侧因为抛物线是轴对称图形，且 又，抛物线所对应的二次函数关系式 解法2：当时，对称轴在点的左侧因为抛物线是轴对称图形，且 又，解得：这条抛物线对应的二次函数关系式是 解法3：， 轴， 即：解得：，即 由，这条抛物线对应的二次函数关系式. 类型四、二次函数图象的位置及a、b、c的关系42021 包头如图，二次函数y=ax2+bx+ca0的图象及x轴交于点A1，0，对称轴为直线x=1，及y轴的交点B在0，2和0，3之间包括这两点，以下结论：当x3时，y0；3a+b0；1a；4acb28a；其中正确的结论是ABCD【思路点拨】先由抛物线的对称性求得抛物线及x轴令一个交点的坐标为3，0，从而可知当x3时，y0；由抛物线开口向下可知a0，然后根据x=1，可知：2a+b=0，从而可知3a+b=0+a=a0；设抛物线的解析式为y=ax+1x3，那么y=ax22ax3a，令x=0得：y=3a由抛物线及y轴的交点B在0，2和0，3之间，可知23a3由4acb28a得c20及题意不符【答案】B；【答案及解析】解：由抛物线的对称性可求得抛物线及x轴令一个交点的坐标为3，0，当x3时，y0，故正确；抛物线开口向下，故a0，x=1，2a+b=03a+b=0+a=a0，故正确；设抛物线的解析式为y=ax+1x3，那么y=ax22ax3a，令x=0得：y=3a抛物线及y轴的交点B在0，2和0，3之间，23a3解得：1a，故正确；抛物线y轴的交点B在0，2和0，3之间，2c3，由4acb28a得：4ac8ab2，a0，c2c20c2，及2c3矛盾，故错误应选：B【总结升华】此题主要考察的是二次函数的图象和性质，掌握抛物线的对称轴、开口方向及系数a、b、c之间的关系是解题的关键举一反三：【变式】如下图是二次函数图象的一局部，图象经过点A(-3，0)，对称轴为给出四个结论：；其中正确结论是 A B C D【答案】本例是利用二次函数图象的位置及a、b、c的和、差、积的符号问题，其中利用直线， 交抛物线的位置来判断，的符号问题应注意理解和掌握由图象开口向下，可知a0，图象及x轴有两个交点，所以， 确对称轴为，所以，又由a0，b2a，可得5ab，正确应选B.类型五、求二次函数的最值5某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为)y元(1)求y及x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围 (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润最大的月利润是多少元(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元【思路点拨】1每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖10件，当每件商品的售价上涨x元时，每个月可卖出210-10x件，每件商品的利润为x+50-40=10+x；2每个月的利润为卖出的商品数和每件商品的乘积，即210-10x10+x，当每个月的利润恰为2200元时得到方程210-10x10+x=2200求此方程中x的值【答案及解析】(1)y(210-l0x)(50+x-40)-10x2+110x+2100(0x15且x为整数) (2)y-10(x-5.5)2+2402.5 a-100， 当x5.5时，y有最大值2402.5 00，同时将直线：沿轴正方向平移，移动后、的对应点分别为、.当为何值时，在直线上存在点，使得为以为直角边的等腰直角三角形【答案】1证明：令,那么.= , . 方程有两个不相等的实数根. 抛物线及轴有两个交点. 2令,那么，解方程，得. 在左侧,且, 抛物线及轴的两个交点为，. 抛物线及轴的交点为， . .在Rt中，可得 ， 抛物线的解析式为. 依题意，可得直线的解析式为，,. 为以为直角边的等腰直角三角形， 当时，点的坐标为或. .解得 或. 当时，点的坐标为或.解得或不合题意，舍去.综上所述，或.