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中考总复习:二次函数知识讲解根底【考纲要求】1二次函数的概念常为中档题主要考察点的坐标、确定解析式、自变量的取值范围等;2二次函数的解析式、开口方向、对称轴、顶点坐标等是中考命题的热点;3抛物线的性质、平移、最值等在选择题、填空题中都出现过,覆盖面较广,而且这些内容的综合题一般较难,在解答题中出现【知识网络】 【考点梳理】考点一、二次函数的定义 一般地,如果a、b、c是常数,a0,那么y叫做x的二次函数要点诠释: 二次函数(a0)的构造特征是:(1)等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2(2)二次项系数a0考点二、二次函数的图象及性质(a0)的图象是一条抛物线,顶点为2.当a0时,抛物线的开口向上;当a0时,抛物线的开口向下3.|a|的大小决定抛物线的开口大小|a|越大,抛物线的开口越小,|a|越小,抛物线的开口越大 c的大小决定抛物线及y轴的交点位置c0时,抛物线过原点;c0时,抛物线及y轴交于正半轴;c0时,抛物线及y轴交于负半轴 ab的符号决定抛物线的对称轴的位置当ab0时,对称轴为y轴;当ab0时,对称轴在y轴左侧;当ab0时,对称轴在y轴的右侧的图象,可以由的图象移动而得到将向上移动k个单位得:将向左移动h个单位得:将先向上移动k(k0)个单位,再向右移动h(h0)个单位,即得函数的图象要点诠释:求抛物线a0的对称轴和顶点坐标通常用三种方法:配方法、公式法、代入法,这三种方法都有各自的优缺点,应根据实际灵活选择和运用考点三、二次函数的解析式:(a0) 假设条件是图象上的三个点,那么设所求二次函数为,将条件代入,求出a、b、c的值2.交点式双根式: 假设二次函数图象及x轴的两个交点的坐标为(x1,0),(x2,0),设所求二次函数为,将第三点(m,n)的坐标(其中m、n为数)或其他条件代入,求出待定系数,最后将解析式化为一般形式: 假设二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程及最大值(或最小值),设所求二次函数为,将条件代入,求出待定系数,最后将解析式化为一般形式:假设二次函数图象上两对称点(x1,m),(x2,m),那么可设所求二次函数为,将条件代入,求得待定系数,最后将解析式化为一般形式要点诠释: 图象上三点或三对、的值,通常选择一般式.图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数).图象及轴的交点坐标、,通常选用交点式:a0.(由此得根及系数的关系:).考点四、二次函数(a0) 的图象的位置及系数a、b、c的关系1.开口方向:a0时,开口向上,否那么开口向下2.对称轴:时,对称轴在y轴的右侧;当时,对称轴在y轴的左侧3.及x轴交点:时,有两个交点;时,有一个交点;时,没有交点要点诠释: 当x1时,函数ya+b+c; 当x-1时,函数ya-b+c; 当a+b+c0时,x1及函数图象的交点在x轴上方,否那么在下方; 当a-b+c0时,x-1及函数图象的交点在x轴的上方,否那么在下方考点五、二次函数的最值1.当a0时,抛物线有最低点,函数有最小值,当时,2.当a0时,抛物线有最高点,函数有最大值,当时,要点诠释: 在求应用问题的最值时,除求二次函数的最值,还应考虑实际问题的自变量的取值范围【典型例题】类型一、应用二次函数的定义求值1二次函数y=x2-2k+1x+k+3有最小值-4,且图象的对称轴在y轴的右侧,那么k的值是 2【思路点拨】因为图象的对称轴在y轴的右侧,所以对称轴x=k+10,即k-1;又因为二次函数y=x2-2k+1x+k+3有最小值-4,所以y最小值= =-4,可以求出k的值【答案及解析】解:图象的对称轴在y轴的右侧,对称轴x=k+10,解得k-1,二次函数y=x2-2k+1x+k+3有最小值-4,y最小值= =k+3-k+12=-k2-k+2=-4,整理得k2+k-6=0,解得k=2或k=-3,k=-3-1,不合题意舍去,k=2【总结升华】求二次函数的最大小值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法举一反三:【变式】是二次函数,求k的值【答案】是二次函数,那么由得,即,得,显然,当k-3时,原函数为y0,不是二次函数 k2即为所求类型二、二次函数的图象及性质的应用2把抛物线向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,那么平移后抛物线的解析式为( ) A B C D【思路点拨】抛物线的平移问题,实质上是顶点的平移,原抛物线y=-x2顶点坐标为0,0,向左平移1个单位,然后向上平移3个单位后,顶点坐标为-1,3,根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式【答案】 D;【解析】根据抛物线的平移规律可知:向左平移1个单位可变成,再向上平移3个单位后可变成【总结升华】(1)图象向左或向右平移|h|个单位,可得的图象(h0时向左,h0时向右) (2)的图象向上或向下平移|k|个单位,可得的图象(k0时向上,k0时向下)举一反三:【变式】将二次函数的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得图象的函数表达式是( )A B C D【答案】按照平移规律“上加下减,左加右减得应选A.类型三、求二次函数的解析式3二次函数的图象经过点(1,0),(-5,0),顶点纵坐标为,求这个二次函数的解析式 【思路点拨】将点1,0,-5,0代入二次函数y=ax2+bx+c,再由 ,从而求得a,b,c的值,即得这个二次函数的解析式【答案及解析】解法一:由题意得 解得所以二次函数的解析式为解法二:由题意得 把代入,得,解得所以二次函数的解析式为,即 解法三:因为二次函数的图象及x轴的两交点为(1,0),(-5,0),由其对称性知,对称轴是直线所以,抛物线的顶点是可设函数解析式为即【总结升华】根据题目的条件,有多种方法求二次函数的解析式举一反三:【变式】:抛物线经过点1求的值;2假设,求这条抛物线的顶点坐标;3假设,过点作直线轴,交轴于点,交抛物线于另一点,且,求这条抛物线所对应的二次函数关系式提示:请画示意图思考【答案】解:1依题意得:, 2当时, 抛物线的顶点坐标是 yxOBPA3解法1:当时,抛物线对称轴,对称轴在点的左侧因为抛物线是轴对称图形,且 又,抛物线所对应的二次函数关系式 解法2:当时,对称轴在点的左侧因为抛物线是轴对称图形,且 又,解得:这条抛物线对应的二次函数关系式是 解法3:, 轴, 即:解得:,即 由,这条抛物线对应的二次函数关系式. 类型四、二次函数图象的位置及a、b、c的关系42021 包头如图,二次函数y=ax2+bx+ca0的图象及x轴交于点A1,0,对称轴为直线x=1,及y轴的交点B在0,2和0,3之间包括这两点,以下结论:当x3时,y0;3a+b0;1a;4acb28a;其中正确的结论是ABCD【思路点拨】先由抛物线的对称性求得抛物线及x轴令一个交点的坐标为3,0,从而可知当x3时,y0;由抛物线开口向下可知a0,然后根据x=1,可知:2a+b=0,从而可知3a+b=0+a=a0;设抛物线的解析式为y=ax+1x3,那么y=ax22ax3a,令x=0得:y=3a由抛物线及y轴的交点B在0,2和0,3之间,可知23a3由4acb28a得c20及题意不符【答案】B;【答案及解析】解:由抛物线的对称性可求得抛物线及x轴令一个交点的坐标为3,0,当x3时,y0,故正确;抛物线开口向下,故a0,x=1,2a+b=03a+b=0+a=a0,故正确;设抛物线的解析式为y=ax+1x3,那么y=ax22ax3a,令x=0得:y=3a抛物线及y轴的交点B在0,2和0,3之间,23a3解得:1a,故正确;抛物线y轴的交点B在0,2和0,3之间,2c3,由4acb28a得:4ac8ab2,a0,c2c20c2,及2c3矛盾,故错误应选:B【总结升华】此题主要考察的是二次函数的图象和性质,掌握抛物线的对称轴、开口方向及系数a、b、c之间的关系是解题的关键举一反三:【变式】如下图是二次函数图象的一局部,图象经过点A(-3,0),对称轴为给出四个结论:;其中正确结论是 A B C D【答案】本例是利用二次函数图象的位置及a、b、c的和、差、积的符号问题,其中利用直线, 交抛物线的位置来判断,的符号问题应注意理解和掌握由图象开口向下,可知a0,图象及x轴有两个交点,所以, 确对称轴为,所以,又由a0,b2a,可得5ab,正确应选B.类型五、求二次函数的最值5某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,那么每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为)y元(1)求y及x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围 (2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润最大的月利润是多少元(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为2200元?根据以上的结论,请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于2200元【思路点拨】1每件商品的售价每上涨1元,那么每个月少卖10件,当每件商品的售价上涨x元时,每个月可卖出210-10x件,每件商品的利润为x+50-40=10+x;2每个月的利润为卖出的商品数和每件商品的乘积,即210-10x10+x,当每个月的利润恰为2200元时得到方程210-10x10+x=2200求此方程中x的值【答案及解析】(1)y(210-l0x)(50+x-40)-10x2+110x+2100(0x15且x为整数) (2)y-10(x-5.5)2+2402.5 a-100, 当x5.5时,y有最大值2402.5 00,同时将直线:沿轴正方向平移,移动后、的对应点分别为、.当为何值时,在直线上存在点,使得为以为直角边的等腰直角三角形【答案】1证明:令,那么.= , . 方程有两个不相等的实数根. 抛物线及轴有两个交点. 2令,那么,解方程,得. 在左侧,且, 抛物线及轴的两个交点为,. 抛物线及轴的交点为, . .在Rt中,可得 , 抛物线的解析式为. 依题意,可得直线的解析式为,,. 为以为直角边的等腰直角三角形, 当时,点的坐标为或. .解得 或. 当时,点的坐标为或.解得或不合题意,舍去.综上所述,或.
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