排列组合公式全

排列组合公式排列定义？ ？从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从 n个中 取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当 r=n 时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。组合定义 从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称 为从n个中取r个的无重组合。组合的全体组成的集合用 C(n,r) 表示，组合的个数用 C(n,r) 表示，对应于可重组合 有记号 C(n,r),C(n,r)。一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1) 从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能 力；(2) 限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词 (特别是逻辑关联词和量 词)准 确理解；(3) 计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较 大；(4) 计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并 具有 较强的分析能力。二、两个基本计数原理及应用(1) 加法原理和分类计数法1加法原理2加法原理的集合形式3分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互 不相同（即分类不重 ） ；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类 （即分类不漏 ）2） 乘法原理和分步计数法1乘法原理2合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这 n 步才能完成此任 务； 各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也 不同例 1：用 1、2 、3、4、5、 6 、7、8、9 组成数字不重复的六位数集合 A 为数字不重复的九位数的集合， S（ A）=9！集合 B 为数字不重复的六位数的集合。把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有 共同 元素。每个子集元素的个数，等于剩余的 3 个数的全排列，即 3！这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则S（A）=S（B）*3！S（B）=9！/3！这就是我们用以前的方法求出的 P（9，6）例 2：从编号为 1-9的队员中选 6人组成一个队，问有多少种选法？ 设不同选法构成的集合 为C,集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的集合，规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集，则每个子集都是某 6个数的全排 列，即每个子集有6!个元素。这时集合C的元素与B的子集存在一一对应关系，则S（B）=S（C）*6！S（ C）=9 ! /3! /6!这就是我们用以前的方法求出的 C（9， 6以上都是简单的例子，似乎不用弄得这么复杂。但是集合的观念才是排列组合公式的来 源，也 是对公式更深刻的认识。大家可能没有意识到，在我们平时数物品的数 量时，说 1， 2， 3， 4， 5，一共有 5 个，这时我们就是在把物品的集合与集合（ 1， 2， 3， 4， 5） 建 立一一对应的关系，正是因为物品数量与集合（ 1， 2 ， 3， 4， 5）的元素个数相等， 所 以我们才说物品共有 5 个。我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰，从而 能用它 解决更复杂的问题。例 3 ： 9 个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？9 个人排成一排，不同排法有 9 !种，对应集合为前面的集合 A9 个人坐成一圈的不同之处在于，没有起点和终点之分。设集合 D 为坐成一圈的坐法的集 合。 以任何人为起点，把圈展开成直线，在集合 A 中都对应不同元素，但在集合 D 中相 当于同一 种坐法，所以集合D中每个元素对应集合A中9个元素，所以S （ D） =9! /9我在另一篇帖子中说的方法是先固定一个人， 再排其他人，结果为 8!。这个方法实际上 是找 到了一种集合A与集合D之间的对应关系。用集合的思路解决问题的关键就是寻找 集合之间 的对应关系，使一个集合的子集与另一个集合的元素形成一一对应的关系。例 4：用 1、2 、3、4、5、 6 、7、8、9 组成数字不重复的九位数，但要求 1 排在 2 前面， 求 符合要求的九位数的个数。集合A为9个数的全排列，把集合A分为两个集合B、C,集合B中1排在2前面，集合C中1 排在 2 后面。贝 U S（ B）+S（ C）=S（ A）在集合BC之间建立以下对应关系：集合B中任一元素1和2位置对调形成的数字，对应集 合 C 中相同数字。则这个对应关系为一一对应。因此S （B） =S （C） =9! /2以同样的思路可解出下题：从1、2、3，9这九个数中选出3个不同的数作为函数 y=ax*x+bx+c的系数，且要求abc,问这样的函数共有多少个？例 5 ： M 个球装入 N 个盒子的不同装法，盒子按顺序排列。这题我们已经讨论过了，我再用更形象的方法说说。假设我们把M个球用细线连成一排，再用N-1把刀去砍断细线，就可以把M个球按顺序 分 为N组。则M个球装入N个盒子的每一种装法都对应一种砍线的方法。而 砍线的方法 等于 M个球与N-1把刀的排列方式（如两把刀排在一起，就表示相应的盒子里球数为0）所以方法 总数为 C（M+N-1，N-1）例 6： 7人坐成一排照像 ,其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻 ,则共有 排法.解：甲、乙、丙三人把其他四人分为四部分，设四部分人数分别为 XI, X2, X3, X4,其 中 X1 ， X4=0， X2， X30先把其余 4人看作一样，则不同排法为方程X1+X2+X3+X4=4 勺解的个数，令 X2=Y2+1 X3=Y3+1化为求X1+Y2+Y3+X4=k非负整数解的个数，这与把2个球装入4个盒子的方法对应， 个数为 C（ 5，3） =10由于其余四人是不同的人， 所以以上每种排法都对应 4个人的全排列 4！，所以不同排法 共 有 C（ 5，3） *4！=240 种。