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第25讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例课时达标一、选择题1已知向量a(x1,2),b(2,1),则ab的充要条件是()Ax Bx1Cx5 Dx0D解析 由向量垂直的充要条件得2(x1)20,解得x0.2已知非零向量a,b,|a|b|ab|,则cosa,ab()A. BC. DC解析 设|a|b|ab|1,则(ab)2a22abb21,所以ab,所以a(ab)a2ab1.因为|ab|,所以cosa,ab.3已知向量|2,|4,4,则以,为邻边的平行四边形的面积为()A4 B2C4 D2A解析 因为cosAOB,所以sinAOB,所以所求的平行四边形的面积为|sinAOB4.故选A.4若ABC的三个内角A,B,C度数成等差数列,且()0,则ABC一定是()A等腰直角三角形B非等腰直角三角形C等边三角形D钝角三角形C解析 因为()0,所以()()0,所以220,即|,又A,B,C度数成等差数列,故2BAC,ABC3B,所以B,故ABC是等边三角形5(2019鄂州二中期中)已知菱形ABCD的边长为6,ABD30,点E,F分别在边BC,DC上,BC2BE,CDCF.若9,则的值为()A2 B3C4 D5B解析 依题意得,因此22,于是有6262cos 609,由此解得3.6(2017浙江卷)如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,ABBCAD2,CD3,AC与BD交于点O,记I1,I2,I3,则()AI1I2I3BI1I3I2CI3I1I2DI2I1I3C解析 如图所示,四边形ABCE是正方形,F为正方形的对角线的交点,易知AOAF,而AFB90,所以AOB与COD为钝角,AOD与BOC为锐角根据题意,I1I2()|cosAOB0,所以I1I3,作AGBD于G,又ABAD,所以OBBGGDOD,而OAAFFCOC,所以|,而cosAOBcosCODOO,即I1I3,所以I3I1I2.故选C.二、填空题7(2017全国卷)已知向量a(2,3),b(3,m),且ab,则m_.解析 因为ab,所以ab233m0,解得m2.答案 28已知A,B,C为圆O上的三点,若(),则 与 A的夹角为_解析 由()得O为BC的中点,故BC为圆O的直径,所以 与 的夹角为90.答案 909(2018天津卷改编)在如图的平面图形中,已知OM1,ON2,MON120,2,2,则的值为_解析 连MN,由平面几何知识易知MNBC,且MNBC,所以.又|1,|2,120,所以33()3(2)36.答案 6三、解答题10已知|a|4,|b|8,a与b的夹角是120.(1)求|ab|和|4a2b|;(2)当k为何值时,a2b与kab垂直解析 易得ab4816.(1)因为|ab|2a22abb2162(16)6448,所以|ab|4.因为|4a2b|216a216ab4b2161616(16)464768,所以|4a2b|16.(2)因为(a2b)(kab),所以(a2b)(kab)0,所以ka2(2k1)ab2b20,即16k16(2k1)2640,所以k7.故k7时,a2b与kab垂直11(2019惠州调考)在平面直角坐标系xOy中,点A(1,2),B(2,3),C(2,1)(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;(2)设实数t满足(t)0,求t的值解析 (1)由题设知(3,5),(1,1),则(2,6),(4,4)所以|2,|4.故两条对角线的长分别为4,2.(2)由题设知(2,1),t2,所以t.12已知向量m,n.(1)若mn1,求cos的值;(2)记f(x)mn,在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2ac)cos Bbcos C,求函数f(A)的取值范围解析 mnsincoscos2sincossin.(1)因为mn1,所以sin,cos12sin2,coscos.(2)因为(2ac)cos Bbcos C,由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C,所以2sin Acos Bsin CcosBsin Bcos C,所以2sin Acos Bsin(BC)因为ABC,所以sin(BC)sin A,且sin A0,所以cos B,B.所以0A.所以,sin1.又因为f(x)mnsin,所以f(A)sin,故1f(A).故函数f(A)的取值范围是.13选做题已知向量a,b,c共面,且均为单位向量,ab0,则|abc|的取值范围是()A1,1 B1,C, D1,1A解析 设a,c,b,c,因为ab0,所以ab,且或,于是|abc|2a2b2c22ab2ac2bc32cos 2cos 32(cos sin )32cos.因为cos1,1,所以|abc|232,32,所以|abc|的取值范围为1,15
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