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第25讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例课时达标一、选择题1已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是()Ax Bx1Cx5 Dx0D解析 由向量垂直的充要条件得2(x1)20，解得x0.2已知非零向量a，b，|a|b|ab|，则cosa，ab()A. BC. DC解析 设|a|b|ab|1，则(ab)2a22abb21，所以ab，所以a(ab)a2ab1.因为|ab|，所以cosa，ab.3已知向量|2，|4，4，则以，为邻边的平行四边形的面积为()A4 B2C4 D2A解析 因为cosAOB，所以sinAOB，所以所求的平行四边形的面积为|sinAOB4.故选A.4若ABC的三个内角A，B，C度数成等差数列，且()0，则ABC一定是()A等腰直角三角形B非等腰直角三角形C等边三角形D钝角三角形C解析 因为()0，所以()()0，所以220，即|，又A，B，C度数成等差数列，故2BAC，ABC3B，所以B，故ABC是等边三角形5(2019鄂州二中期中)已知菱形ABCD的边长为6，ABD30，点E，F分别在边BC，DC上，BC2BE，CDCF.若9，则的值为()A2 B3C4 D5B解析 依题意得，因此22，于是有6262cos 609，由此解得3.6(2017浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC与BD交于点O，记I1，I2，I3，则()AI1I2I3BI1I3I2CI3I1I2DI2I1I3C解析 如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易知AOAF，而AFB90，所以AOB与COD为钝角，AOD与BOC为锐角根据题意，I1I2()|cosAOB0，所以I1I3，作AGBD于G，又ABAD，所以OBBGGDOD，而OAAFFCOC，所以|，而cosAOBcosCODOO，即I1I3，所以I3I1I2.故选C.二、填空题7(2017全国卷)已知向量a(2,3)，b(3，m)，且ab，则m_.解析 因为ab，所以ab233m0，解得m2.答案 28已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则 与 A的夹角为_解析 由()得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以 与 的夹角为90.答案 909(2018天津卷改编)在如图的平面图形中，已知OM1，ON2，MON120，2，2，则的值为_解析 连MN，由平面几何知识易知MNBC，且MNBC，所以.又|1，|2，120，所以33()3(2)36.答案 6三、解答题10已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是120.(1)求|ab|和|4a2b|；(2)当k为何值时，a2b与kab垂直解析 易得ab4816.(1)因为|ab|2a22abb2162(16)6448，所以|ab|4.因为|4a2b|216a216ab4b2161616(16)464768，所以|4a2b|16.(2)因为(a2b)(kab)，所以(a2b)(kab)0，所以ka2(2k1)ab2b20，即16k16(2k1)2640，所以k7.故k7时，a2b与kab垂直11(2019惠州调考)在平面直角坐标系xOy中，点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值解析 (1)由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故两条对角线的长分别为4，2.(2)由题设知(2，1)，t2，所以t.12已知向量m，n.(1)若mn1，求cos的值；(2)记f(x)mn，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cos Bbcos C，求函数f(A)的取值范围解析 mnsincoscos2sincossin.(1)因为mn1，所以sin，cos12sin2，coscos.(2)因为(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，所以2sin Acos Bsin CcosBsin Bcos C，所以2sin Acos Bsin(BC)因为ABC，所以sin(BC)sin A，且sin A0，所以cos B，B.所以0A.所以，sin1.又因为f(x)mnsin，所以f(A)sin，故1f(A).故函数f(A)的取值范围是.13选做题已知向量a，b，c共面，且均为单位向量，ab0，则|abc|的取值范围是()A1，1 B1，C， D1,1A解析 设a，c，b，c，因为ab0，所以ab，且或，于是|abc|2a2b2c22ab2ac2bc32cos 2cos 32(cos sin )32cos.因为cos1,1，所以|abc|232，32，所以|abc|的取值范围为1，15
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