2020版高考数学一轮复习 课后限时集训23 正弦定理、余弦定理应用举例（含解析）理

课后限时集训(二十三)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的( )A北偏东10B北偏西10C南偏东80D南偏西80D由条件及题图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.2如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为( )Aa km B.a kmC.a km D2a kmB在ABC中，ACBCa，ACB120，AB2a2a22a2cos 1203a2，ABa.3如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30 m，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于( )A5 m B15 mC5 m D15 mD在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得，解得BC15(m)在RtABC中，ABBCtanACB1515(m)4(2019重庆模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是( )A10海里 B10海里C20海里 D20海里A如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)5如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15，北偏东45方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60方向，则A，B两处岛屿间的距离为( A20海里 B40海里C20(1)海里 D40海里A连接AB，由题意可知CD40，ADC105，BDC45，BCD90，ACD30，CAD45，ADB60，在ACD中，由正弦定理得，AD20，在RtBCD中，BDC45，BCD90，BDCD40.在ABD中，由余弦定理得AB20.故选A.二、填空题6如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60的方向上，则灯塔A在灯塔B的_的方向上北偏西10由题意知ABC(18080)50，则灯塔A在灯塔B的北偏西10的方向上7(2019衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30，塔底C与A的连线同河岸成15角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60角，则电视塔CD的高度为_m.600在ACM中，MCA601545，AMC18060120，由正弦定理得，即，解得AC600.在ACD中，tanDAC，DC600600.8如图所示，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度为_ m/s(精确到0.1)参考数据：1.414，2.236.22.6由题意可得AB200，AC100，在ABC中，由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcosBAC105，则BC100141.42.236，又历时14 s，所以速度为22.6 m/s.三、解答题9某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得ABC105和BAC30，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得BAD90和ABD45.请你根据以上条件求出航模的速度(答案可保留根号)解在ABD中，BAD90，ABD45，ADB45，ADAB80，BD80.在ABC中，BC40.在DBC中，DC2DB2BC22DBBCcos 60(80)2(40)2280409 600.DC40，航模的速度v2米/秒10如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值解(1)依题意知，BAC120，AB12，AC10220，BCA.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784，解得BC28.所以渔船甲的速度为14海里/小时(2)在ABC中，因为AB12，BAC120，BC28，BCA，由正弦定理，得，即sin .B组能力提升1(2019六安模拟)一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是 ( )A50 m B100 m C120 m D150 mA设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m2如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为330 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得PAB90，PAQPBAPBQ60，则P，Q两点间的距离为_m.990由已知，得QABPABPAQ30.又PBAPBQ60，AQB30，ABBQ.又PB为公共边，PABPQB，PQPA.在RtPAB中，APABtan 60990，故PQ990，P，Q两点间的距离为990 m3如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC15，从A处沿山坡前进50 m到达B处，又测得DBC45，根据以上数据可得cos _.1由DAC15，DBC45可得BDA30，DBA135，BDC90(15)3045，由内角和定理可得DCB180(45)4590，根据正弦定理可得，即DB100sin 15100sin(4530)25(1)，又，即，得到cos 1.4如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15(BAC15)方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60方向上，此时测得山顶P的仰角60，若山高为2千米(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？解(1)在BCP中，tanPBCBC2.在ABC中，由正弦定理得：，所以AB2(1)，船的航行速度是每小时6(1)千米(2)在BCD中，由余弦定理得：CD，在BCD中，由正弦定理得：sinCDB，所以，山顶位于D处南偏东45.- 8 -