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课后限时集训(二十五)平面向量的基本定理及坐标表示(建议用时：40分钟)A组基础达标一、选择题1已知向量a(1,2)，b(3，m)，mR，则“m6”是“a(ab)”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件A由题意得ab(2,2m)，由a(ab)，得1(2m)22，所以m6.当m6时，a(ab)，则“m6”是“a(ab)”的充要条件2已知向量a(5,2)，b(4，3)，c(x，y)，若3a2bc0，则c()A(23，12) B(23,12)C(7,0) D(7,0)A3a2bc0，c3a2b3(5,2)2(4，3)(23，12)故选A.3已知平面直角坐标系内的两个向量a(1,2)，b(m,3m2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成cab(，为实数)，则实数m的取值范围是()A(，2) B(2，)C(，) D(，2)(2，)D由题意可知a与b不共线，即3m22m，m2.故选D.4(2018东北三校二模)已知向量a(1,1)，b(1,2)，若(ab)(2atb)，则t()A0 B.C2 D3C由题意得ab(2，1)，2atb(2t,22t)因为(ab)(2atb)，所以2(22t)(1)(2t)，解得t2，故选C.5.(2019成都诊断)如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，xy，且2，则()Ax，y Bx，yCx，y Dx，yA由题意知，且2，所以()，所以x，y.6如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，a，b，则()AabB.abCabD.abD连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CDAB且a，所以ba.7在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内的点，且AOC，|OC|2，若，则()A2 B.C2 D4A因为|OC|2，AOC，所以C(，)，又因为，所以(，)(1,0)(0,1)(，)，所以，2.二、填空题8在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则_.(6,21)(3,2)，因为Q是AC的中点，所以2(6,4)，(2,7)，因为2，所以3(6,21)9已知ABC和点M满足0，若存在实数m使得m成立，则m_.3由已知条件得，M为ABC的重心，()，即3，则m3.10如图，已知ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且e1，e2，则_；_.(用e1，e2表示)e1e2e1e2设x，y，则x，y.由，得(2)，得x2xe12e2，即x(e12e2)e1e2，所以e1e2.同理可得y(2e1e2)，即e1e2.B组能力提升1如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为()Ae1e2B2e1e2C2e1e2D2e1e2B以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，由题意可得e1(1,0)，e2(1,1)，a(3,1)，因为axe1ye2x(1,0)y(1,1)(xy，y)，则解得故a2e1e2.2在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是()A.B.C. D.D法一：依题意，设，其中1，则有()(1).又x(1x)，且，不共线，于是有x1，即x的取值范围是，选D.法二：xx，x()，即x3x，O在线段CD(不含C，D两点)上，03x1，x0.3已知A(3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且AOC30，则实数的值为_1由题意知(3,0)，(0，)，则(3，)，由AOC30知，以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150，所以tan 150，即，所以1.4给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动若xy，其中x，yR，则xy的最大值为_2以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B.设AOC，则C(cos ，sin )由xy，得所以xcos sin ，ysin ，所以xycos sin 2sin，又，所以当时，xy取得最大值2.- 5 -
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