2020版高考数学一轮复习 课后限时集训23 正弦定理、余弦定理及其应用 理（含解析）新人教A版

课后限时集训(二十三)正弦定理、余弦定理及其应用(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1.如图所示，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点的距离为()A50 mB25 mC25 m D50 mD因为ACB45，CAB105，所以B30.由正弦定理可知，即，解得AB50 m2在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A2sin B，cos C，则()A. B.C. D.B在ABC中，由sin A2sin B及正弦定理，得a2b，再由cos C及余弦定理，得，将ba代入，得，化简整理得2，故选B.3(2018永州一模)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若2sin Bsin Asin C，cos B，且SABC6，则b()A2 B3C4 D5C在ABC中，由正弦定理可得，2bac，由余弦定理可得，b2a2c22ac(ac)2ac，由cos B，得sin B，故SABCac6，由得，b4.故选C.4(2018珠海二模)设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且a1，B2A，则b的取值范围为()A(，) B(1，)C(，2) D(0,2)AB2A，sin Bsin 2A2sin Acos A.a1，b2acos A2cos A.又ABC为锐角三角形，A，cos A.即b2cos A，故选A.5(2018秦皇岛一模)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos Bacos Cbc，则ABC的形状为()A等边三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D直角三角形Dacos Bacos Cbc，aabc，bc，bc，bc，a2b2c22bc2bc，a2b2c2，ABC为直角三角形二、填空题6(2019南宁模拟)ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B2sin C，且a，A，则c_.由sin B2sin C及正弦定理可得b2c，在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A，则144c2c24c27c2，解得c.7(2018陕西二模)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知1，且b5，5，则ABC的面积是_由1及正弦定理，得1，即b2c2a2bc，所以cos A，所以A.因为bccos Ac5，所以c2，所以SABCbcsin A52.8在ABC中，点D在边AB上，CDBC，AC5，CD5，BD2AD，则AD的长为_5在ABC中，BD2AD，设ADx(x0)，则BD2x.在BCD中，因为CDBC，CD5，BD2x，所以cosCDB.在ACD中，ADx，CD5，AC5，则cosADC.因为CDBADC，所以cosADCcosCDB，即，解得x5，所以AD的长为5.三、解答题9(2019武昌模拟)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcos C2ac.(1)求B；(2)若b2，ac，求ABC的面积解(1)由正弦定理，知2sin Bcos C2sin Asin C，由ABC，得2sin Bcos C2sin(BC)sin C，化简，得2sin Bcos C2(sin Bcos Ccos Bsin C)sin C，即2cos Bsin Csin C0.因为sin C0，所以cos B.因为0B，所以B.(2)由余弦定理b2a2c22accos B，可知b2(ac)22ac2accos B，因为b2，ac，所以22()22ac2accos ，得ac1.所以SABCacsin B1.10.如图，在平面四边形ABCD中，AB2，AC2，ADCCAB90，设ACD.(1)若60，求BD的长度；(2)若ADB30，求tan .解(1)在RtADC中，AC2，ACD60，ADACsin 60.又在ABD中，AB2，BAD120，BD2AD2AB22ADABcosBAD()2(2)222cos 12021，BD.(2)在RtADC中，ACD，AC2，ADACsin 2sin .又在ABD中，ADB30，CAB90，CADABD180ADBCAB60，ABD60CAD60(90)30.在ABD中，由正弦定理得，即4，2，2sin cos ，tan .B组能力提升1(2019郑州模拟)某人在C点测得某塔在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为(测仰角的仪器距地面的距离忽略不计)()A15米 B5米C10米 D12米C如图，设塔高为h，在RtAOC中，ACO45，则OCOAh.在RtAOD中，ADO30，则ODh.在OCD中，OCD120，CD10，由余弦定理，得OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即(h)2h21022h10cos 120，h25h500，解得h10或h5(舍去)2(2019衡水模拟)在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(BC)sin2Bsin2C，则角A的取值范围为()A. B.C. D.D由题意得sin2Asin2Bsin2C，再由正弦定理得a2b2c2，即b2c2a20，则cos A0.0A，0A.又a为最大边，A.因此得角A的取值范围是.3数学九章三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法以S，a，b，c分别表示三角形的面积、大斜、中斜、小斜，ha，hb，hc分别为对应的大斜、中斜、小斜上的高，则Sahabhbchc.若在ABC中，ha，hb2，hc3，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为_由ahabhbchc，得a2b3c，则abc232，令a2k，b3k，c2k(k0)，代入Saha，得6k，解得k.又由余弦定理，得cos A，则sin A，所以三角形ABC外接圆的直径2R，即R.4(2019太原一模)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求sin(AB)sin Acos Acos(AB)的最大值；(2)若b，当ABC的面积最大时，求ABC的周长解(1)由，得，所以abcos Ccsin B，即sin Asin Bcos Csin Csin B，又sin Asin(BC)sin Bcos Csin Ccos B，所以cos Bsin B，因为B(0，)，所以B，则sin(AB)sin Acos Acos(AB)(sin Acos A)sin Acos A，令tsin Acos A，因为sin Acos Asin，0A，所以0t，sin(AB)sin Acos Acos(AB)t2t(t)2，所以当t，即A时，上式取得最大值，为.(2)结合(1)得Sacsin Bac，b2a2c22accos B，即2a2c2ac(2)ac，ac2，当且仅当ac时等号成立，所以Smax，此时ac，所以周长Labc2.- 6 -