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课时31平面向量基本定理知识点一 平面向量基本定理的理解1.如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，是实数，那么下列说法中不正确的是()e1e2可以表示平面内的所有向量；对于平面内任意一个向量a，使得ae1e2的实数对(，)有无穷多个；若向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使得1e11e2(2e12e2)；若实数，使得e1e2，则0. A B C D答案B解析由平面向量基本定理可知，正确对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故不正确对于，当两向量均为零向量，即12120时，有无穷多个，故不正确2若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面的一组基底的是()Ae1e2，e2e1 B2e1e2，e1e2C2e23e1,6e14e2 De1e2，e1e2答案D解析对于选项A，e1e2(e2e1)，所以(e1e2)(e2e1)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项B,2e1e22，所以(2e1e2)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项C,2e23e1(6e14e2)，所以(2e23e1)(6e14e2)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项D，显然e1e2与e1e2不共线，故该组向量能作为该平面的基底知识点二 用基底表示向量3如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分，(不包括边界)若ab，且点P落在第部分，则实数a，b满足()Aa0，b0 Ba0，b0Ca0 Da0，b0答案B解析取第部分内一点画图易得a0，b0.4如图，在ABC中，P为BC边上一点，且.(1)用基底，表示A_；(2)用基底，表示A_.答案(1) (2) 解析(1)， ， ，() .(2) .5. 在ABC中，过点D作DEBC，与边AC相交于点E，ABC的中线AM与DE相交于点N，如图所示设a，b，试用基底a，b表示.解M为BC的中点，()(ba)，a(ba)(ab)DNBM，AN与AM共线，存在实数，使得(ba)(ab)ab.a(ba)ab，根据平面向量基本定理，得，(ba)ab.知识点三 平面向量基本定理的应用6.已知O，A，M，B为平面上四点，且(1)，实数(1,2)，则()A点M在线段AB上B点B在线段AM上C点A在线段BM上DO，A，M，B四点一定共线答案B解析由题意得()，即.又(1,2)，所以点B在线段AM上故选B.7在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点若A，其中，R，则_.答案解析设a， b，则ab， ab.又ab， (AA)，即.8已知a，b是两个不共线的向量，若它们起点相同，a，b，t(ab)三个向量的终点在一条直线上，则实数t_.答案解析如图，a，b，t(ab)三个向量的终点在一条直线上，存在实数使t(ab)b，即(t)ab.又a，b不共线，t0且t0，解得t.9如图，已知三点O，A，B不共线，且2，3，设a，b.(1)设AD与BC交于点E，试用a，b表示向量；(2)设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线解(1)B，E，C三点共线，存在实数x，使x(1x)2xa(1x)b.同理，A，E，D三点共线，存在实数y，使ya3(1y)b.由，得解得x，y.ab.(2)证明：，()，6，L，M，N三点共线.易错点 忽略两个向量作为基底的条件10.已知e10，R，ae1e2，b2e1，则a与b共线的条件为()A0 Be20Ce1e2 De1e2或0易错分析若认为e1，e2是一组基底，则会得到如下解析：设akb(kR)，则e1e22ke1，所以(12k)e1e20，所以12k0，且0，选A.事实上，e1，e2并不一定是平面内的一组基底，不要漏掉e1，e2共线的情况答案D正解当e1e2时，ae1，又b2e1，所以be1，又e10，故a与b共线；当0时，ae1，又b2e1，e10，故a与b共线一、选择题1设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是()Ae1e2，e1e2 B3e12e2,4e26e1Ce12e2，e22e1 De2，e1e2答案B解析因为B中3e12e2和4e26e1为平行向量，所以不能作为一组基底故选B.2e1，e2为基底向量，已知向量e1ke2，2e1e2，3e13e2，若A，B，D三点共线，则k的值是()A2 B3C2 D3答案A解析根据题意得e1ke2，3e13e22e1e2e12e2，A，B，D三点共线，即e1ke2(e12e2)，所以k2.3若点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，4e1，6e2，则3e22e1()A B C D 答案C解析3e22e1 .4在ABC中，设M是边BC上任意一点，N为AM的中点，若，则的值为()A. B.C. D1答案A解析解法一：设t(0t1)，则()t()，所以，故.解法二：(特殖值法)设M为BC的中点，所以()，所以，故.5在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若a，b，则A()A.ab B.abC.ab D.ab答案C解析ABCD中，DEFBEA，故，再由ABCD可得.故，a，b，ab，ab，ba，ab.二、填空题6ABCD的两条对角线相交于点M，且a，b，用a，b表示，则_.答案ab解析ab.7设e1，e2是平面内的一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可表示为另一组向量a，b的线性组合，则e1e2_a_b.答案解析设e1e2ab，则e1e2e12e2(e1)e2，整理得e1e2()e1(2)e2，又e1与e2不共线，则解得8设e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则向量ae1e2与向量be12e2共线的条件是_答案2解析向量a，b共线，即存在xR使bxa，即e12e2x(e1e2)，整理得(x1)e1(x2)e20.e1，e2不共线，三、解答题9如图，已知ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若a，b，用a，b表示，.解()a(ba)ab；()a(ba)ab；()a(ba)ab.10设e1，e2是不共线的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c3e1e2的分解式解(1)证明：设ab(R)，则e12e2(e13e2)由e1，e2不共线，得不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底(2)设cmanb(m，nR)，得3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.c2ab.11如图所示，平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2，若(，R)，求的值解如图所示以OC为对角线，作平行四边形OECF，且OA，OB在这个四边形的两邻边上COFEOFEOC1203090.在RtCOF中，|2，OCF30，CF4.OF2.又|1.4，2.42.由平面向量基本定理可得4，2.6.- 11 -
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