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Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date导数综合题训练题2009届高考导数综合题训练题(一)导数综合题训练题1函数 (1)若函数在时取到极值,求实数得值; (2)求函数在闭区间上的最大值.解:(1) 由求得 -3分 (2)在时知在上恒减,则最大值为 9分2设函数,.(1)当时,取得极值,求的值;(2)若在内为增函数,求的取值范围 解: , (1)由题意: 解得. 3分(2)方程的判别式,(1) 当, 即时,,在内恒成立, 此时为增函数; (2) 当, 即或时,要使在内为增函数, 只需在内有即可,设,由 得 , 所以. 由(1) (2)可知,若在内为增函数,的取值范围是. 133已知函数 (1)若在上是减函数,求的最大值;(2)若的单调递减区间是,求函数y=图像过点的切线与两坐标轴围成图形的面积。解:(1)=,由题意可知,在(0,1)上恒有则且,得,所以a的最大值为 -1 .5分(2)的单调递减区间是,=0的两个根为 和1,可求得a= -1, 若(1,1)不是切点,则设切线的切点为,则有, 解得(舍),k= -1 若(1,1)是切点,则k=综上,切线方程为y=1,x+y-2=0这两条切线方程与两坐标轴围成的图形为直角梯形它的面积S=.13分4已知函数 (1)若a=4,c=3,求证:对任意,恒有; (2)若对任意,恒有,求证:|a|4.(1)证明:由a=4,c=3,得于是令,所以当,当所以函数的增区间为(1,),(,1),减区间(,),又故对任意,恒有,即对任意,恒有.7分 (2)证明:由可得,因此由又对任意,恒有,所以14分5已知函数的图象是曲线,直线与曲线相切于点(1,3).(1)求函数的解析式;(2)求函数的递增区间;(3)求函数在区间上的最大值和最小值.解:(1)切点为(1,3),得. 1分,得. 2分则.由得. 3分. 4分(2) 由得,令,解得或. 6分函数的增区间为,. 8分(3),令得,. 10分列出关系如下:00递减极小值递增2 12分当时,的最大值为,最小值为. 14分6用总长的钢条制作一个长方体容器的框架,如果容器底面的长比宽多,那么长和宽分别为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积 .解:设容器底面长方形宽为,则长为, . 1分依题意,容器的高为 . 3分显然,即的取值范围是. 5分记容器的容积为,则 . . 7分求导数得, . 9分令,解得; 令,解得.所以,当时,取得最大值1.8,这时容器的长为. . 12分答:容器底面的长为m、宽为m时,容器的容积最大,最大容积为. 13分7函数的定义域为,设(1)求证: ;(2)确定t的范围使函数在上是单调函数;(3)求证:对于任意的,总存在,满足;并确定这样的的个数解:(1)设,则,所以(2),令,得当时,时,是递增函数;当时,显然在也是递增函数是的一个极值点,当时,函数在上不是单调函数当时,函数在上是单调函数(3)由(1),知,又,我们只要证明方程在内有解即可记,则,当时,方程在内有且只有一解;当时,又,方程在内分别各有一解,方程在内两解;当时,方程在内有且只有一解;当时,方程在内有且只有一解综上,对于任意的,总存在,满足当时,满足,的有且只有一个;当时,满足,的恰有两个8定义在定义域D内的函数y=f(x),若对任意的x1 、x2 D,都有0,S是的增函数;当)时,S0,S是的减函数.时,S取到极大值,此时|PM|=2+=而当 所以当即|PM|=,矩形的面积最大为 答:把工业园区规划成长为宽为时,工业园区的面积最大,最大面积为9.5(km)211已知函数其中,(1)若在时存在极值,求的取值范围;(2)若在上是增函数,求的取值范围由 (1)当不存在极值当恒成立 不存在极值不存在极值a的范围为存在极值a的范围为 (2)由恒成立当恒成立 a=0,当当1若 2若为单减函数综上:得:上为增函数, 12已知函数.(1)若函数的图象上有与轴平行的切线,求参数的取值范围;(2)若函数在处取得极值,且时,恒成立,求参数的取值范围.解: (1)依题意,知方程有实根,4分所以 得 6分(2)由函数在处取得极值,知是方程的一个根,所以, 6分方程的另一个根为7分因此,当,当所以,和上为增函数,在上为减函数,9分有极大值, 11分又 12分恒成立,-
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