山东省冠县武训高级中学2020高二数学 1-2 第3课时 等比数列的前n项和复习导学案 新人教A版

山东省冠县武训高级中学2020高二数学 1-2 第3课时 等比数列的前n项和复习导学案 新人教A版重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前n项和公式解决有关问题.难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前n项和的公式及公式的灵活运用.学习方法指导1.等比数列的前n项和公式（1）设等比数列an，其首项为a1，公比为q，则其前n项和公式为 na1(q=1)Sn= . 第3课时等比数列的前n项和知能目标解读1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法-错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前n项和.2.掌握等比数列前n项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前n项的问题.在应用时，特别要注意q=1和q1这两种情况.3.能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题.(q1)也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处.因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q1进行讨论.（2）等比数列an中，当已知a1,q(q1)，n时，用公式Sn=，当已知a1,q(q1)，an时，用公式Sn=.2.等比数列前n项和公式的推导除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导.(1)合比定理法由等比数列的定义知：=q.当q1时，=q,即=q.故Sn=.当q=1时，Sn=na1.(2)拆项法Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)当q1时，Sn=.当q=1时，Sn=na1.(3)利用关系式Sn-Sn-1=an(n2)当n2时，Sn=a1+a2+a3+an=a1+q(a1+a2+an-1)=a1+qSn-1Sn=a1+q(Sn-an)即(1-q)Sn=a1(1-qn)当q1时，有Sn=,当q=1时，Sn=na1.注意：(1)错位相减法，合比定理法，拆项法及an与Sn的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧.(2)错位相减法适用于an为等差数列，bn为等比数列，求anbn的前n项和.3.等比数列前n项和公式的应用（1）衡量等比数列的量共有五个：a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量.（2）公比q是否为1是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分q=1和q1的讨论.4.等比数列前n项和公式与函数的关系(1)当公比q1时，令A=，则等比数列的前n项和公式可写成Sn=-Aqn+A的形式.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.当公比q=1时，因为a10，所以Sn=na1是n的正比例函数（常数项为0的一次函数）.(2)当q1时，数列S1,S2,S3,Sn,的图像是函数y=-Aqx+A图像上的一群孤立的点.当q=1时，数列S1,S2,S3,Sn,的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点.知能自主梳理1.等比数列前n项和公式（1）等比数列an的前n项和为Sn,当公比q1时，Sn=;当q=1时，Sn=.(2)推导等比数列前n项和公式的方法是.2.公式特点（1）若数列an的前n项和Sn=p(1-qn)(p为常数)，且q0,q1，则数列an为.（2）在等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知求.答案1.（1）na1(2)错位相减法2.（1）等比数列（2）三二思路方法技巧命题方向等比数列前n项和公式的应用例1设数列an是等比数列，其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.分析应用等比数列前n项和公式时，注意对公比q的讨论.解析当q=1时，S3=3a1=3a3,符合题目条件；当q1时，=3a1q2,因为a10,所以1q3=3q2(1-q),2q3-3q2+1=0,(q-1) 2(2q+1)=0,解得q=-.综上所述，公比q的值是1或.说明（1）在等比数列中，对于a1,an,q,n,Sn五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量.（2）等比数列前n项和问题，必须注意q是否等于1，如果不确定，应分q=1或q1两种情况讨论.（3）等比数列前n项和公式中，当q1时，若已知a1,q,n利用Sn=来求；若已知a1,an,q,利用Sn=来求.变式应用1在等比数列an中,已知S3=,S6=,求an.解析S6=,S3=,S62S3，q1. = 得1+q3=9,q=2.将q=2代入，得a1=,an=a1qn-1=2n-2.命题方向等比数列前n项的性质例2在等比数列an中，已知Sn=48,S2n=60,求S3n.分析利用等比数列前n项的性质求解.解析an为等比数列，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列，(S2n-Sn) 2=Sn(S3n-S2n)S3n=+S2n=+60=63.说明等比数列连续等段的和若不为零时，则连续等段的和仍成等比数列.变式应用2等比数列an中，S2=7，S6=91,求S4.解析解法一：an为等比数列，S2，S4-S2，S6-S4也为等比数列，（S4-7）2=7（91-S4），解得S4=28或-21.S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)0,S4=28.解法二：S2=7,S6=91,q1.=7 =91 得q4+q2-12=0,q2=3,q=.当q=时，a1=,S4=28.当q=-时，a1=-,S4=28.探索延拓创新命题方向等比数列前n项和在实际问题中的应用例3某公司实行股份制，一投资人年初入股a万元，年利率为25%，由于某种需要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x万元.（1）分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和；（2）写出第n年年底，此投资人的本利之和bn与n的关系式（不必证明）；（3）为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标，若a=395,则x的值应为多少?(在计算中可使用lg20.3)解析(1)第一年年底本利和为a+a25%=1.25a,第二年年底本利和为（1.25a-x）+(1.25a-x)25%=1.252a-1.25x,第三年年底本利和为（1.252a-1.25x-x）+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x.(2)第n年年底本利和为bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+1.25)x.(3)依题意，有3951.2520-(1.2519+1.2518+1.25)x=4395,x=.设1.2520=t,lgt=20lg（）=20(1-3lg2)=2.t=100,代入解得x=96.变式应用3某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房，银行货款的年利息为10，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息）.若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？解析第1次还款x元之后到第2次还款之日欠银行20000（110）x=200001.1x,第2次还款x元后到第3次还款之日欠银行20000(1+10%)-x(1+10%)-x=200001.12-1.1x-x,第10次还款x元后，还欠银行200001.1101.19x-1.18x-x,依题意得，第10次还款后，欠款全部还清，故可得200001.110（1.191.181）x=0,解得x=3255(元).名师辨误做答例4求数列1，a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,的前n项和.误解所求数列的前n项和Sn=1+a+a2+a3+a=.辨析所给数列除首项外，每一项都与a有关，而条件中没有a的范围，故应对a进行讨论.正解由于所给数列是在数列1,a,a2,a3,中依次取出1项，2项，3项，4项，的和所组成的数列.因而所求数列的前n项和中共含有原数列的前（1+2+n）项.所以Sn=1+a+a2+a.当a=0时，Sn=1.当a=1时，Sn=.当a0且a1时，Sn=.课堂巩固训练一、选择题1.等比数列an的公比q=2，前n项和为Sn，则=（）A.2 B.4C. D. 答案C解析由题意得=.故选C.2.等比数列an的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（）A.-2B.1C.-2或1D.2或-1答案C解析由题意可得，a1+a1q+a1q2=3a1,q2+q-2=0,q=1或q=-2.3.等比数列2n的前n项和Sn=（）A.2n-1B.2n-2C.2n+1-1D.2n+1-2答案D解析等比数列2n的首项为2，公比为2.Sn=2n+1-2,故选D.二、填空题4.若数列an满足：a1=1,an+1=2an（nN+），则a5=;前8项的和S8=.（用数字作答）答案16255解析考查等比数列的通项公式和前n项和公式.q=2,a5=a1q4=16,S8=28-1=255.5.在等比数列an中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q=.答案3解析a3=2S2+1,a4=2S3+1,两式相减，得a3-a4=-2a3,a4=3a3,q=3.三、解答题6.在等比数列an中，已知a6-a4=24，a3a5=64，求数列an的前8项和.解析解法一：设数列an的公比为q，根据通项公式an=a1qn-1，由已知条件得a6-a4=a1q3(q2-1)=24,a3a5=(a1q3) 2=64,a1q3=8.将a1q3=-8代入式，得q2=-2,没有实数q满足此式，故舍去.将a1q3=8代入式，得q2=4,q=2.当q=2时，得a1=1,所以S8=255;当q=-2时，得a1=-1，所以S8=85.解法二：因为an是等比数列，所以依题意得a24=a3a5=64,a4=8,a6=24+a4=248.因为an是实数列，所以0,故舍去a4=-8,而a4=8，a6=32，从而a5=16.公比q的值为q=2,当q=2时，a1=1,a9=a6q3=256,S8=255;当q=-2时，a1=-1，a9=a6q3=-256,S8=85.课后强化作业一、选择题1.等比数列an中，a2=9,a5=243,则an的前4项和为（）A.81B.120C.168D.192答案B解析公式q3=27,q=3,a1=3,S4=120.2.已知等比数列的前n项和Sn=4n+a，则a=（）A.-4B.-1C.0D.1答案B解析设等比数列为an，由已知得a1=S1=4+a,a2=S2-S1=12,a3=S3-S2=48,a22=a1a3,即144=(4+a)48，a=-1.3.已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于（）A.31B.33C.35D.37答案B解析解法一：S5=1a1=S10=33,故选B.解法二：a1+a2+a3+a4+a5=1a6+a7+a8+a9+a10=(a1+a2+a3+a4+a5)q5=12532S10a1+a2+a9+a10=1+32=33.4.已知等比数列an中，公比q是整数，a1+a4=18,a2+a3=12,则此数列的前8项和为（）A.514B.513C.512D.510答案D a1+a1q3=18解析由已知得 ，a1q+a1q2=12解得q=2或.q为整数，q=2.a1=2.S8=29-2=510.5.设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4=1,S3=7，则S5=（）A. B. C. D. 答案B解析设公比为q,则q0,且a23=1,即a3=1.S3=7,a1+a2+a3=+1=7,即6q2-q-1=0,q=或q=- (舍去)，a1=4.S5=8（1-）=.6.在等比数列an（nN+）中，若a1=1,a4=,则该数列的前10项和为（）A.2 B.2 C.2D.2答案B解析a1=1,a4=,q3=,q=.S10=21-（）10=2-,故选B.7.已知等比数列an的前n项和为Sn,S3=3,S6=27,则此等比数列的公比q等于（）A.2B.-2C. D.- 答案A S3=3,解析S6=27,得=9,解得q3=8.q=2,故选A.8.正项等比数列an满足a2a4=1,S3=13,bn=log3an,则数列bn的前10项和是（）A.65B.-65C.25D.-25答案D解析an为正项等比数列，a2a4=1,a3=1,又S3=13,公比q1.又S3=13,a3=a1q2,解得q=.an=a3qn-3=()n-3=33-n,bn=log3an=3-n.b1=2,b10=-7.S10=25.二、填空题9.等比数列，-1，3，的前10项和为.答案-解析S10=-.10.（2020北京文，12）在等比数列an中，若a1=,a4=4,则公比q=;a1+a2+an=.答案2,2n-1-解析本题主要考查等比数列的基本知识，利用等比数列的前n项和公式可解得.=q3=8，所以q=2，所以 a1+a2+an=2n-1-. 2n-1(n为正奇数)11.已知数列an中，an= ，则a9=.2n-1（n为正偶数）设数列an的前n项和为Sn，则S9=.答案256377解析a9=28=256，S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.12.在等比数列an中，已知对于任意nN+,有a1+a2+an=2n-1,则a21+a22+a2n=.答案4n-解析a1+a2+an=2n-1,a1+a2+an-1=2n-1-1(n2),两式相减，得an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-1,a2n=(2n-1) 2=22n-2=4n-1,a21+a22+a2n=4n-.三、解答题13.在等比数列an中，已知a3=1，S3=4，求a1与q. S3=4解析（1）若q1,则 ，a3=a1q2=1 从而解得q=1或q=-. q=-q1, .a1=6 S3=3a1=4 q=1（2）若q=1,则 ， .a3=a1=1 a1=1 q=- q=1综上所述得 ，或 .a1=6 a1=114.(2020大纲文科，17)设等比数列an的前n项和为Sn，已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.分析设出公比根据条件列出关于a1与q的方程.求得a1与q可求得数列的通项公式和前n项和公式.解析设an的公比为q，由已知有：a1q=6 a1=3 a1=2 .解得 或6a1+a1q2=30 q=2 q=3(1)当a1=3,q=2时，an=a1qn-1=32n-1Sn=3(2n-1)(2)当a1=2,q=3时，an=a1qn-1=23n-1Sn=3n-1.综上，an=32n-1,Sn=3(2n-1)或an=23n-1,Sn=3n-1.15.已知实数列an是等比数列，其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)数列an的前n项和记为Sn,证明：Sn128(n=1,2,3,).解析(1)设等比数列an的公比为q(qR且q1),由a7=a1q6=1,得a1=q-6,从而a4=a1q3=q-3,a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1,因为a4,a5+1,a6成等差数列,所以a4+a6=2(a5+1)即q-3+q-1=2(q-2+1),q-1 (q-2+1)=2(q-2+1).所以q=.故an=a1qn-1=q-6qn-1=qn-7=（）n-7.(2)证明：Sn=1281-（）nT10,故王明选择了A公司