2022年高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第六节直线与圆锥曲线的位置关系模拟创新题文新人教A版

2022年高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第六节直线与圆锥曲线的位置关系模拟创新题文新人教A版一、选择题1.(xx山东东营第二次质量检测)已知抛物线y28x的准线与双曲线1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为()A.3 B.2C. D.解析由题意知，抛物线的准线x2，ABF是等腰直角三角形，如图易知A(2，4)，代入1，即得a，双曲线的离心率为e3.答案A2.(xx马鞍山模拟)以双曲线1(a0，b0)的中心O(坐标原点)为圆心，焦距为直径的圆与双曲线交于M点(第一象限)，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点M作x轴垂线，垂足恰为OF2的中点，则双曲线的离心率为()A.1 B.C.1 D.2解析过点M作x轴垂线，交x轴于点A，由|MF2|2|F2A|F1F2|得|MF2|c，由双曲线定义|MF1|MF2|2a，得|MF1|2ac，由|MF1|2|MF2|2|F1F2|24c2，得c22ac2a20，即e22e20，得e1.答案C3.(xx东北四校联考)设P是椭圆1上一点，M，N分别是两圆：(x4)2y21和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最小值、最大值分别为()A.9，12 B.8，11C.8，12 D.10，12解析如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|PB|2a10，连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|PN|最小，最小值为|PA|PB|2R8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|PN|最大，最大值为|PA|PB|2R12，即最小值和最大值分别为8，12.答案C4.(xx四川成都第二次诊断)已知抛物线yx2的焦点F，过点(0，2)做直线l与抛物线交于A，B两点，点F关于直线OA的对称点为C，则四边形OCAB面积的最小值为()A.2 B.C. D.3解析不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10b0)的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_.解析由题意得|PF2|，又|F1F2|PF2|，2c，b2a2c2，c22aca20，e22e10，解得e1，又0e0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，若|AB|AF2|，F1AF290，则双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析设|AF1|x，|AF2|y，则有yx2a，又因为F1AF290，所以x2y24c2，F2ABF1，又因为|AB|AF2|y，所以BF2y，则|BF1|BF2|xyy2a，联立得e2，所以e，故选B.答案B二、填空题10.(xx云南师大附中适应性月考)已知点P(x，y)在椭圆1上，若定点A(5，0)，动点M满足|1，且0，则|的最小值是_.解析由|1可知点M的轨迹 为以点A为圆心，1为半径的圆，过点P作该圆的切线，则|PA|2|PM|2|AM|2，得|PM|2|PA|21，所以要使|的值最小，则要|的值最小，而|的最小值为ac3，此时|2.答案2三、解答题11.(xx巴蜀中学一模)已知椭圆的焦点坐标是F1(1，0)，F2(1，0)，过点F2垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|3.(1)求椭圆的方程；(2)过F2的直线与椭圆交于不同的两点M，N，则F1MN的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.解(1)设椭圆的方程是1(ab0)，由交点的坐标得c1，由|PQ|3，可得3，解得a2，b，故椭圆的方程是1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨设y10，y20，设F1MN的内切圆半径是R，则F1MN的周长是4a8，SF1MN最大，R就最大，SF1MN|F1F2|y1y2|y1y2，由题知，直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为xmy1，由得(3m24)y26my90，解得y1，y2，则SF1MN，令t，则t1，则SF1MN，令f(t)3t，f(t)3，当t1时，f(t)0，f(t)在1，)上单调递增，有f(t)f(1)4，SF1MN3，即当t1，m0时，SF1MN3，SF1MN4R，所以Rmax，此时所求内切圆面积的最大值是，故直线l：x1，F1MN内切圆的面积最大值是.创新导向题椭圆中的求值及最值问题12.已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为(1，0)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点.若以MN为直径的圆过坐标原点O，求k的值；若P(1，2)，求MNP面积的最大值.解(1)由椭圆的右焦点为(1，0)知c1，离心率e，a，b2a2c2211，椭圆C的方程为y21；(2)由(1)知，直线l的方程为yk(x1)，联立并整理得(12k2)x24k2x2k220.设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则有x1x2，x1x2.由以MN为直径的圆过原点知0，x1x2y1y20，x1x2k2(x11)(x21)0，(1k2)x1x2k2(x1x2)k20，(1k2)k2k20，即k220；k.|MN|2.点P(1，2)到直线MN的距离d，SMNP22，令t，则t1.SMNP22.当t1时，2t1，SMNP2.MNP面积的最大值为2.椭圆中的探索性问题13.已知椭圆C：1(ab0)，F1，F2是左右焦点，A，B是长轴两端点，点P(a，b)与F1，F2围成等腰三角形，且SPF1F2.(1)求椭圆C的方程；(2)设点Q是椭圆上异于A，B的动点，直线QA、QB分别交直线l：xm(m2)于M，N两点.当时，求Q点坐标；是否存在实数m，使得以MN为直径的圆经过点F1？若存在，求出实数m的值，若不存在.请说明理由.解(1)F1(c，0)，F2(c，0)，由题意可得F1F2PF2，(ac)2b24c2，由SPF1F2可得，2cbbc.两式联立解得a2，b，所以椭圆的方程为1.(2)，QF1MN，QF1x轴.由(1)知，c21，F1(1，0)，设Q(1，y)，则有1，y，Q.设Q(x0，y0)，则kQA，直线QA方程为y(x2)，令xm得M点坐标为，同理kQB，直线QB方程为y(x2)，得N点坐标为kMF1kNF1又Q(x0，y0)在椭圆上，1，kMF1kNF11.解得m4，所以存在实数m4，使得以MN为直径的圆经过点F.