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第4章 三角函数、解三角形全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式从高考题型、题量来看，一般有两种方式：三个小题或一个小题另加一个解答题，分值上占17分左右2.考查内容(1)客观题主要考查三角函数的定义，图像与性质，同角三角函数关系，诱导公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知识(2)解答题涉及知识点较为综合涉及三角函数图像与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见3.备考策略(1)熟练应用同角三角函数基本关系式与诱导公式求值、化简(2)重视对三角函数图像和性质的研究，复习时通过选择题、填空题和解答题加以训练和巩固，注意将问题和方法进行归纳、整理(3)对正弦定理、余弦定理的应用要加强训练.第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ(4)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r23任意角的三角函数(1)定义设角终边与单位圆交于P(x，y)，则sin y，cos x，tan (x0)拓展：任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin ，cos ，tan (x0)(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦(3)几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线(1)单位圆上任意一点可设为(cos ，sin )(R)(2)若，则sin tan .一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角()(2)角的三角函数值与其终边上点P的位置无关()(3)不相等的角终边一定不相同()(4)若为第一象限角，则sin cos 1.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1若满足sin 0，cos 0，则的终边在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限Dsin 0，cos 0，的终边落在第四象限2下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ)Dk(kZ)C2，与终边相同又角度制与弧度制不可同时混用，故选C.3角225_弧度，这个角的终边落在第_象限答案二4设角的终边经过点P(4，3)，那么2cos sin _.由已知并结合三角函数的定义，得sin ，cos ，所以2cos sin 2.5一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度答案考点1象限角及终边相同的角象限角的两种判断方法(1)图像法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角(2)转化法：先将已知角化为k360(0360，kZ)的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角1.设集合M，N AMNBMNCNM DMNB由于M中，x18045k9045(2k1)45，2k1是奇数；而N中，x18045k4545(k1)45，k1是整数，因此必有MN，故选B.2设是第三象限角，且cos ，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角B是第三象限角，2k2k，kZ，kk，kZ，的终边落在第二、四象限，又cos ，cos 0，是第二象限角3与2 010终边相同的最小正角是_150与2 010终边相同的角可表示为2 010k360，kZ，又当k6时，150，故与2 010终边相同的最小正角为150.4终边在直线yx上的角的集合是_|k18060，kZ终边在yx上的角可表示为k18060，kZ.(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角(2)确定k，(kZ*)的终边位置的方法先写出k或的范围，然后根据k的可能取值确定k或的终边所在位置考点2扇形的弧长、面积公式弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度(2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解(1)60rad，所以lR10(cm)(2)由题意得(舍去)或故扇形圆心角为rad.(3)由已知得l2R20，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以当R5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l10 cm，2 rad.求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题1.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A. B.C.3 D.D如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角AOB，作OMAB，垂足为M，在RtAOM中，AOr，AOM，AMr，ABr，lr，由弧长公式得.2已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A2 Bsin 2C D2sin 1C如图，AOB2弧度，过O点作OCAB于C，并延长OC交于D.则AODBOD1弧度，且ACAB1，在RtAOC中，AO，即r，从而的长为lr.故选C.3已知扇形弧长为20 cm，圆心角为100，则该扇形的面积为_cm2.由弧长公式l|r，得r，所以S扇形lr20.考点3三角函数的概念及应用三角函数定义问题的常见类型及解题策略(1)已知角终边上一点P的坐标，可求角的三角函数值：先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解(2)已知角的某三角函数值，求角终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值(3)三角函数值的符号及角的终边位置的判断已知一角的三角函数值(sin ，cos ，tan )中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况三角函数定义的应用(1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，角，的终边分别与单位圆交于点和，则sin()()A B.C D.(2)角终边上一点P(4m，3m)(m0)，则2sin cos _.(3)角的终边在直线yx，求sin ，cos ，tan .(1)D(2)(1)由题意可知cos ，sin .cos ，sin ，sin()sin cos cos sin .(2)r5|m|，当m0时，r5m，sin ，cos ，2sin cos 2.当m0时，r5m，sin ，cos ，2sin cos 2，2sin cos .(3)解由题意tan ，当角终边落在第二象限，设角终边上一点P(3,4)，r5，sin ，cos ，当角终边落在第四象限，设角终边上一点P(3，4)，r5，sin ，cos .充分利用三角函数的定义解题是解答此类问题的关键，对于含字母的方程求解要注意字母的范围三角函数值的符号判断(1)若tan 0，则()Asin 0 Bcos 0Csin 20 Dcos 20(2)若sin tan 0，且0，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角(1)C(2)C(1)由tan 0，可得的终边在第一象限或第三象限，此时sin 与cos 同号，故sin 22sin cos 0，故选C.(2)由sin tan 0可知sin ，tan 异号，则为第二象限角或第三象限角由0可知cos ，tan 异号，则为第三象限角或第四象限角综上可知，为第三象限角判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况和三角函数的定义域三角函数线的应用一题多解函数y的定义域为_(kZ)法一：要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图像，在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图像，如图所示在0,2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为.法二：利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)所以定义域为.利用三角函数线比较大小或解三角不等式，通常采用数形结合的方法，一般来说sin xb，cos xa，只需作直线yb，xa与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围1.已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限Btan 0，cos 0，在第二象限2(2019枣庄模拟)已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为()A B C DBr，cos ，m0，即m.3若，从单位圆中的三角函数线观察sin ，cos ，tan 的大小是()Asin tan cos Bcos sin tan Csin cos tan Dtan sin cos C如图，作出角的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可知sin cos tan .10
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