三角回扣教学案

. . . . . 三角回扣学案【学习目标】1.掌握三角函数的诱导公式与正余弦定理，会利用诱导公式与定理解决三角中求值问题。2.熟练掌握三角函数的图像与性质，并且会利用数形结合的思想研究三角函数的奇偶性、单调性、对称性、值域等性质。【学习重点】三角函数的图形与性质。【学习难点】利用图象解决三角函数中的有关性质。根底自测1.在中，角的对边分别为，假设，那么角的值为 A. B. C. D.D【解析】试题分析：变形为2.R,sin+2cos=,那么tan2等于()A. B. C.-D.-【解析】选C.因为sin+2cos=,所以sin2+4sincos+4cos2=.用降幂公式化简得:4sin2=-3cos2,所以tan2=-.3.函数f=sin(0,0,|)的局部图象如下图,那么f的递增区间为()A.,kB.,kC.,kD.,k【解析】选B.由图象可知A=2,T=-=,所以T=,故=2.由f=-2,得=2k-(kZ).因为|=,所以=-,所以f(x)=2sin.由2x-(kZ),得x(kZ).或:T=-=,所以T=,-=-=-,+=+=,所以f(x)的递增区间是(kZ).4.函数y=sin(2x+)(-)的图象向左平移个单位后,与函数y=cos的图象重合,那么=_.【解析】将函数y=sin(2x+)(-)向左平移个单位后得到y=sin=sin(2x+)=-sin(2x+)=cos,与y=cos的图象重合,且-,所以+=,解得=.答案:5.在ABC中,cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),那么ABC的形状为()A.正三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.因为cos2=,所以=,所以1+=,化简得a2+b2=c2.故ABC是直角三角形.6.向量a=(cosx,sinx),b=(,),ab=,那么cos等于()A.- B.- C. D.【解析】选D.由ab=,得cosx+sinx=,所以cosx+sinx=,即cos=.7.把函数y=2sinxcosx+2cos2x的图象向左平移个单位得到的图象关于y轴对称,那么的一个可能取值为()A. B. C. D.【解析】选B.y=sin2x+cos2x+1=2sin+1,平移后,得y=2sin+1=2sin+1,由题意,得2+=.即=.8.设函数f(x)|sin(x)|(xR)，那么f(x)()A在区间，上是增函数 B在区间，上是减函数C在区间，上是增函数 D在区间，上是减函数解析：选A.f(x)的增区间为kxk(kZ)，即kxk(kZ)当k1，那么为x，故在其子区间，上为增函数9.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且A=60,假设SABC=,且5sinB=3sinC,那么ABC的周长等于_.【解析】依题意得bcsinA=bc=,即bc=15,5b=3c,解得b=3,c=5.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=19,a=,因此ABC的周长等于a+b+c=8+.答案:8+10.在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶上有一个观察站P.上午11时,测得一轮船在岛的北偏东30,俯角30的B处,到11时10分又测得该船在岛的北偏西60,俯角60的C处,那么轮船的航行速度是_千米/时.【解析】PA平面ABC,BAC=90,APB=60,APC=30,PA=1(千米),从而BC=(千米),于是速度v=BC=2(千米/时).答案:2典例精析例1向量a=,b=(cosx,sinx-cosx),xR,记函数f(x)=ab.(1)求函数f(x)的单调递增区间.(2)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且满足2b-c=2acosC,求f(B)的取值围.解析】(1)由题意知,f(x)=ab=sinxcosx+(sinx-cosx)(sinx+cosx).=sin2x-cos2x=sin.令2k-2x-2k+,kZ,那么可得k-xk+,kZ.所以f(x)的单调递增区间为(kZ).(2)由余弦定理可得2b-c=2a,整理得b2+c2-a2=bc,所以cosA=,所以A=,所以B+C=.所以0B,所以-2B-,所以-sin1,即-f(B)1.例3函数f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x(xR).(1)求函数f(x)的周期和递增区间.(2)假设函数g(x)=f(x)-m在上有两个不同的零点x1,x2,求tan(x1+x2)的值.【解析】(1)因为f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x=sin2x-cos2x=sin(2x-)(xR).由2k-2x-2k+k-xk+(kZ).所以函数f(x)的周期为T=,递增区间为(kZ).(2)因为g(x)=f(x)-m=0同解于f(x)=m;在直角坐标系中画出函数f(x)=sin(2x-)在0,上的图象,由图象可知,当且仅当m1,)时,方程f(x)=m在上的区间和有两个不同的解x1,x2,且x1与x2关于直线x=对称,即=,所以x1+x2=;故tan(x1+x2)=-1.当堂达标1.cos=-,(-,0),那么sin+cos=()A.B.C.-D.【解析】选C.因为cos=-,(-,0),所以sin=-,所以=1+sin=,又cos=-0,(-,0),所以,所以,所以sin|cos|,所以sin+cos=-.2.的三边成等差数列，那么角的围是ABCD6A【解析】试题分析：由题意得，因为的三边成等差数列，所以，所以，当且仅当时等号成立，又，根据余弦函数的单调性可知，应选A.3.函数f(x)=sin(x+)(0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为.假设角的终边经过点P(-1,2),那么f=()A. B. C.- D.-【解析】选D.由题意得T=2=,所以=2.点P(-1,2)到原点的距离为r=,所以sin=,cos=,f(x)=sin(2x+),f=sin=sin=cos=-.4.设为锐角,假设cos=,那么sin=_.【解题导引】利用-=,并结合三角变换公式求解.【解析】由于为锐角,那么0,那么+0,所以sin=,所以sin=sin=sincos-cossin=-=.答案:拓展延伸1.sin+cos=,那么tan+的值为()A.-1B.-2C.D.2【解析】选D.依题意得(sin+cos)2=1+2sincos=2,所以2sincos=1,从而tan+=2.2.将函数f(x)=2cos2x-2sinxcosx-的图象向左平移t(t0)个单位长度,所得图象对应的函数g(x)为奇函数,那么t取最小值时g(x)=()A.-2sin2x B.2sin2xC.-sinxD.sinx【解析】选A.由题意得,f(x)=2cos2x-2sinxcosx-=cos2x-sin2x=2cos,将函数f(x)的图象向左平移t(t0)个单位长度所得图象对应的函数为g(x)=2cos(t0),又g(x)为奇函数,所以2t+的最小值为,解得tmin=.此时g(x)=-2sin2x.3.设,且tan=,那么()A.3-= B.2-=C.3+=D.2+=【解析】选B.由tan=,得=,即sincos=cos+cossin,所以sin(-)=cos=sin.因为,所以-,-,所以由sin(-)=sin,得-=-,所以2-=.4.假设函数f(x)=cos2x+asinx在区间上是减函数,那么a的最大值是_.【解题导引】将函数f(x)=cos2x+asinx化为关于sinx的二次函数的形式,结合图象求解.【解析】f(x)=cos2x+asinx=1-2sin2x+asinx,令t=sinx,x,那么t,原函数化为y=-2t2+at+1,由题意与复合函数单调性的判定可知y=-2t2+at+1在上是减函数,结合抛物线图象可知,所以a2.所以a的最大值是2.答案:2向量m=,n=.记f(x)=mn,(1)求f(x)的最小正周期.(2)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,假设f(A)=,试判断ABC的形状.【解析】f(x)=sincos+cos2=sin+cos+=sin+.(1)T=4.(2)根据正弦定理知:(2a-c)cosB=bcosC(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC2sinAcosB=sin(B+C)=sinAcosB=B=,因为f(A)=,所以sin+=+=或A=或.而0A,所以A=,因此ABC为等边三角形.14 / 14