2019届高考数学二轮复习 专题七 选考系列 第1讲 坐标系与参数方程学案 理

第1讲坐标系与参数方程高考定位高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.真 题 感 悟1.(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率.解(1)曲线C的直角坐标方程为1.当cos 0时，l的直角坐标方程为ytan x2tan ，当cos 0时，l的直角坐标方程为x1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24 (2cos sin )t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直线l的斜率ktan 2.2.(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos 30.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.解(1)由xcos ，ysin ，得C2的直角坐标方程为x2y22x30，即(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1，0)，半径为2的圆.由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l2与C2没有公共点.综上，所求C1的方程为y|x|2.考 点 整 合1.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则2.直线的极坐标方程若直线过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为sin()0sin(0).几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：；(2)直线过点M(a，0)(a0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过M且平行于极轴：sin b.3.圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：r；(2)当圆心位于M(r，0)，半径为r：2rcos ；(3)当圆心位于M，半径为r：2rsin .4.直线的参数方程经过点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数).设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量.5.圆、椭圆的参数方程(1)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(为参数，02).(2)椭圆1的参数方程为(为参数).热点一曲线的极坐标方程【例1】 (2017全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)设点M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值.解(1)设P的极坐标为(，)(0)，M的极坐标为(1，)(10).由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的极坐标方程为4cos (0).因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0).(2)设点B的极坐标为(B，)(B0).由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos 22.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.探究提高1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：xcos ，ysin ，2x2y2，tan (x0)，要注意，的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧.2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.【训练1】 (2018江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为sin2，曲线C的方程为4cos ，求直线l被曲线C截得的弦长.解因为曲线C的极坐标方程为4cos ，所以曲线C是圆心为(2，0)，直径为4的圆.因为直线l的极坐标方程为sin2，则直线l过A(4，0)，倾斜角为，所以A为直线l与圆C的一个交点.设另一个交点为B，则OAB.连接OB.因为OA为直径，从而OBA，所以ABOAcosOAB4cos 2.因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.热点二参数方程及其应用【例2】 (2017全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.解(1)a1时，直线l的普通方程为x4y30.曲线C的标准方程是y21，联立方程解得或则C与l交点坐标是(3，0)和.(2)直线l的普通方程是x4y4a0.设曲线C上点P(3cos ，sin ).则P到l距离d，其中tan .又点C到直线l距离的最大值为.|5sin()4a|的最大值为17.若a0，则54a17，a8.若a0，则54a17，a16.综上，实数a的值为a16或a8.探究提高1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件.2.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.【训练2】 (2018石家庄调研)已知在极坐标系中，点A，B，C是线段AB的中点.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是(为参数).(1)求点C的直角坐标，并求曲线的普通方程；(2)设直线l过点C交曲线于P，Q两点，求的值.解(1)将点A，B的极坐标化为直角坐标，得A(，1)和B(，3).所以点C的直角坐标为(0，2).将消去参数，得x2(y2)24，曲线的普通方程为x2(y2)24.(2)直线l的参数方程为(t为参数，为直线l的倾斜角)，代入x2(y2)24，整理得：t28tsin 120.设点P，Q对应的参数值分别为t1，t2，则t1t212，|t1t2|12.热点三极坐标与参数方程的综合应用【例3】 (2018菏泽模拟)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知直线l的参数方程为(t为参数，00).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2(y1)2a2，C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆.将xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin 1a20. (2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，从而1a20，解得a1(舍去)，a1.a1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上.所以a1.6.(2018全国卷)在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点.(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.解(1)O的直角坐标方程为x2y21.当时，l与O交于两点.当时，记tan k，则l的方程为ykx.l与O交于两点当且仅当1，解得k1，即或.综上，的取值范围是.(2)l的参数方程为(t为参数，).设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP，且tA，tB满足t22tsin 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是 (为参数，0，则|sin cos |.又sin cos sin，所以|sin cos |.所以|sin cos |.所以.13