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求数列通项公式的十一种方法(方法全,例子全,归纳细)总述:一利用递推关系式求数列通项的7种方法:累加法、累乘法、待定系数法、倒数变换法、由和求通项定义法(根据各班情况适当讲)二。基本数列:等差数列、等比数列。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数列。 四求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。 五数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法1适用于:-这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。例1 已知数列满足,求数列的通项公式。解:由得则所以数列的通项公式为。例2 已知数列满足,求数列的通项公式。解法一:由得则所以解法二:两边除以,得,则,故因此,则练习1.已知数列的首项为1,且写出数列的通项公式. 答案:练习2.已知数列满足,求此数列的通项公式. 答案:裂项求和 评注:已知,,其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项.若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。二、累乘法 1.。 -适用于: -这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2若,则两边分别相乘得,例4.设是首项为1的正项数列,且(=1,2,3,),则它的通项公式是=_.解:已知等式可化为:()(n+1), 即时,=.评注:本题是关于和的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到与的更为明显的关系式,从而求出.练习.已知,求数列的通项公式.三、待定系数法 适用于基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。1形如,其中)型例6已知数列中,求数列的通项公式。解法一: 又是首项为2,公比为2的等比数列,即解法二: 两式相减得,故数列是首项为2,公比为2的等比数列,再用累加法的练习已知数列中,求通项。答案:2形如: (其中q是常数,且n0,1) 若p=1时,即:,累加即可.若时,即:,求通项方法有以下三种方向:i. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列即: ,令,则,然后类型1,累加求通项.ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。 即: ,令,则可化为.然后转化为类型5来解,iii.待定系数法:目的是把所求数列构造成等差数列设.通过比较系数,求出,转化为等比数列求通项.注意:应用待定系数法时,要求pq,否则待定系数法会失效。例7已知数列满足,求数列的通项公式。解法一(待定系数法):设,比较系数得,则数列是首项为,公比为2的等比数列,所以,即解法二(两边同除以): 两边同时除以得:,下面解法略解法三(两边同除以): 两边同时除以得:,下面解法略*3形如(其中k,b是常数,且)例8 在数列中,求通项.(逐项相减法)解:,时,两式相减得 .令,则利用类型5的方法知 即 再由累加法可得. 亦可联立 解出.*5.形如时将作为求解分析:原递推式可化为的形式,比较系数可求得,数列为等比数列。例11 已知数列满足,求数列的通项公式。解:设比较系数得或,不妨取,(取-3 结果形式可能不同,但本质相同)则,则是首项为4,公比为3的等比数列,所以练习.数列中,若,且满足,求.答案: .四、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项例16已知数列满足,求数列的通项公式。解:求倒数得为等差数列,首项,公差为,五、由和求通项已知数列的各项均为正数,且前n项和满足求数列的通项公式。例19 已知数列的各项均为正数,且前n项和满足,且成等比数列,求数列的通项公式。解:对任意有当n=1时,解得或当n2时,-整理得:各项均为正数,当时,此时成立当时,此时不成立,故舍去所以练习。已知数列中,且,求数列的通项公式.答案:定义法16已知等比数列的公比q=3,前3项和(I)求数列的通项公式;
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