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【数学精品】2021版?6年高考4年模拟?第六章 数列第一节 等差数列、等比数列的概念及求和第一局部 六年高考题荟萃2021年高考题一、选择题1.【2021高考重庆理1】在等差数列中，那么的前5项和= A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B【解析】因为，所以，所以数列的前5项和,选B.2.【2021高考浙江理7】设是公差为dd0的无穷等差数列an的前n项和，那么以下命题错误的选项是A.假设d0，那么数列Sn有最大项Sn有最大项，那么d0Sn是递增数列，那么对任意，均有D. 假设对任意，均有，那么数列Sn是递增数列【答案】C【解析】选项C显然是错的，举出反例：1，0，1，2，3，满足数列S n是递增数列，但是S n0不成立应选C。3.【2021高考新课标理5】为等比数列，那么 【答案】D【解析】因为为等比数列，所以，又，所以或.假设，解得，；假设，解得，仍有，综上选D.4.【2021高考上海理18】设，在中，正数的个数是 A25 B50 C75 D100【答案】D【解析】当124时，0，当2649时，0，但其绝对值要小于124时相应的值，当5174时，0，当7699时，0，但其绝对值要小于5174时相应的值，当1100时，均有0。【点评】此题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.5.【2021高考辽宁理6】在等差数列an中，a4+a8=16，那么该数列前11项和S11=(A)58 (B)88 (C)143 (D)176【答案】B【解析】在等差数列中，答案为B【点评】此题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式，同时考查运算求解能力，属于中档题。解答时利用等差数列的性质快速又准确。6.【2021高考福建理2】等差数列an中，a1+a5=10,a4=7,那么数列an的公差为【答案】B.考点：等差数列的定义。难度：易。分析：此题考查的知识点为等差数列的通项公式。【解析】法1：由等差中项的性质知，又.应选B.法2：7.【2021高考安徽理4】公比为等比数列的各项都是正数，且，那么= 【答案】B 【解析】8.【2021高考全国卷理5】等差数列an的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，那么数列的前100项和为(A) (B) (C) (D) 【答案】A【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前项和的公式的运用，以及裂项求和的综合运用，通过中两项，得到公差与首项，得到数列的通项公式，并进一步裂项求和。【解析】由,得，所以，所以，又，选A.二、填空题9.【2021高考浙江理13】设公比为qq0的等比数列an的前n项和为Sn。假设S2=3a2+2，S4=3a4+2，那么q=_。 【答案】【解析】将，两个式子全部转化成用，q表示的式子即，两式作差得：，即：，解之得：(舍去)10.【2021高考新课标理16】数列满足，那么的前项和为 【答案】1830【解析】由得，即，也有，两式相加得，设为整数，那么，于是11.【2021高考辽宁理14】等比数列an为递增数列，且，那么数列an的通项公式an =_。【答案】【命题意图】此题主要考查等比数列的通项公式及方程思想，是简单题.【解析】【点评】此题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。12.【2021高考江西理12】设数列an,bn都是等差数列，假设，那么_。【答案】35【命题立意】此题考查等差数列的概念和运算。考查等差中项的性质及整体代换的数学思想【解析】解法一因为数列都是等差数列，所以数列也是等差数列.故由等差中项的性质，得，即，解得.解法二设数列的公差分别为,因为,所以.所以.【点评】对于等差数列的计算问题，要注意掌握根本量法这一通法，同时要注意合理使用等差数列的性质进行巧解. 表达考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公式，前项和，等差中项的性质等.13.【2021高考北京理10】等差数列为其前n项和。假设，那么=_。【答案】，【解析】因为，所以，。14.【2021高考广东理11】递增的等差数列an满足a1=1，那么an=_ 【答案】【解析】由得到，即，应为an是递增的等差数列，所以，故。三、解答题15【2021高考江苏20】16分各项均为正数的两个数列和满足：，1设，求证：数列是等差数列；2设，且是等比数列，求和的值【答案】解：1，。 。 。 数列是以1 为公差的等差数列。2，。 。 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 假设那么，当时，与矛盾。 假设那么，当时，与矛盾。 综上所述，。，。 又，是公比是的等比数列。 假设，那么，于是。 又由即，得。 中至少有两项相同，与矛盾。 。 。【考点】等差数列和等比数列的根本性质，根本不等式，反证法。【解析】1根据题设和，求出，从而证明而得证。 2根据根本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。16.【2021高考湖北理18】本小题总分值12分等差数列前三项的和为，前三项的积为.求等差数列的通项公式；假设，成等比数列，求数列的前项和.【答案】 设等差数列的公差为，那么，由题意得 解得或 所以由等差数列通项公式可得，或.故，或. 当时，分别为，不成等比数列；当时，分别为，成等比数列，满足条件.故 记数列的前项和为.当时，；当时，；当时， . 当时，满足此式.综上， 17.【2021高考广东理19】本小题总分值14分设数列an的前n项和为Sn，满足，nN,且a1，a2+5，a3成等差数列（1） 求a1的值；（2） 求数列an的通项公式（3） 证明：对一切正整数n，有.【答案】此题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.【解析】1 相减得： 成等差数列 2得对均成立 得： 3当时，当时， 由上式得：对一切正整数，有。18.【2021高考陕西理17】本小题总分值12分设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列。1求数列的公比；2证明：对任意，成等差数列。【解析】1设数列的公比为。由成等差数列，得，即。由得，解得，舍去，所以。2证法一：对任意，lby lfx ，所以，对任意，成等差数列。证法二：对任意， ，因此，对任意，成等差数列。19.【2021高考重庆理21】本小题总分值12分，I小问5分，II小问7分. 设数列的前项和满足，其中. I求证：是首项为1的等比数列；II假设，求证：，并给出等号成立的充要条件.【答案】1证明：由，得，即。 因，故，得， 又由题设条件知， 两式相减得，即， 由，知，因此 综上，对所有成立，从而是首项为1，公比为的等比数列。（2） 当或时，显然，等号成立。 设，且，由1知，所以要证的不等式化为：即证：当时，上面不等式的等号成立。当时，与，同为负；当时， 与，同为正； 因此当且时，总有 0,即，。上面不等式对从1到求和得，由此得综上，当且时，有，当且仅当或时等号成立。20.【2021高考江西理16】本小题总分值12分数列an的前n项和，,且Sn的最大值为8.1确定常数k，求an；2求数列的前n项和Tn。【答案】解: 1当时，取最大值，即，故，从而，又，所以（1） 因为，所以【点评】此题考查数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用来实现与的相互转化是数列问题比拟常见的技巧之一，要注意不能用来求解首项，首项一般通过来求解.运用错位相减法求数列的前n项和适用的情况：当数列通项由两项的乘积组成，其中一项为哪一项等差数列、另一项为哪一项等比数列.21.【2021高考湖南理19】本小题总分值12分数列an的各项均为正数，记An=a1+a2+an，Bn=a2+a3+an+1，Cn=a3+a4+an+2，n=1,2， （1） 假设a1=1，a2=5，且对任意nN，三个数An，Bn，Cn组成等差数列，求数列 an 的通项公式.（2） 证明：数列 an 是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数An，Bn，Cn组成公比为q的等比数列.【答案】解对任意,三个数是等差数列，所以即亦即故数列必要性：假设数列是公比为的等比数列，那么对任意，有由知，均大于，于是即，所以三个数组成公比为的等比数列.充分性：假设对于任意，三个数组成公比为的等比数列，那么，于是得即由有即，从而.因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意nN，三个数组成公比为的等比数列.【点评】此题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.22.【2021高考山东理20】本小题总分值12分在等差数列中，.求数列的通项公式；对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.【答案】解：因为是一个等差数列，所以，即所以，数列的公差，所以， 对，假设 ，那么 ，因此 ，故得 lb ylfx于是 2021年高考题一、选择题1天津理4为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前项和，那么的值为A-110 B-90 C90 D110【答案】D2四川理8数列的首项为，为等差数列且假设那么，那么A0 B3 C8 D11【答案】B【解析】由知由叠加法3全国大纲理4设为等差数列的前项和，假设，公差，那么A8 B7 C6 D5【答案】D4江西理5 数列的前n项和满足：，且=1那么=A1 B9 C10 D55【答案】A二、填空题5湖南理12设是等差数列，的前项和，且，那么= 【答案】256重庆理11在等差数列中，那么_【答案】747北京理11在等比数列an中，a1=，a4=-4，那么公比q=_；_。2 【答案】8广东理11等差数列前9项的和等于前4项的和假设，那么k=_【答案】109江苏13设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，那么q的最小值是_【答案】三、解答题10江苏20设局部为正整数组成的集合，数列，前n项和为，对任意整数kM，当整数都成立 1设的值； 2设的通项公式本小题考查数列的通项与前项和的关系、等差数列的根本性质等根底知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，总分值16分。解：1由题设知，当， 即， 从而 所以的值为8。 2由题设知，当 ， 两式相减得所以当成等差数列，且也成等差数列从而当时，*且，即成等差数列，从而，故由*式知当时，设当，从而由*式知故从而，于是因此，对任意都成立，又由可知，解得因此，数列为等差数列，由所以数列的通项公式为11北京理20假设数列满足，数列为数列，记=写出一个满足，且0的数列；假设，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2021；对任意给定的整数nn2，是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。 解：0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5必要性：因为E数列A5是递增数列，所以.所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.所以a2000=12+200011=2021.充分性，由于a2000a10001，a2000a10001a2a11所以a2000a19999，即a2000a1+1999.又因为a1=12，a2000=2021,所以a2000=a1+1999.故是递增数列.综上，结论得证。令因为所以因为所以为偶数,所以要使为偶数,即4整除.当时，有当的项满足，当不能被4整除，此时不存在E数列An，使得12广东理20 设b0,数列满足a1=b，1求数列的通项公式；2证明：对于一切正整数n，解： 1由令，当当时，当 2当时，欲证，当综上所述13湖北理19数列的前项和为，且满足：，N*，求数列的通项公式；假设存在N*，使得，成等差数列，是判断：对于任意的N*，且，是否成等差数列，并证明你的结论本小题主要考查等差数列、等比数列等根底知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想。总分值13分 解：I由可得，两式相减可得 即 又所以r=0时， 数列为：a，0，0，； 当时，由， 于是由可得， 成等比数列， ， 综上，数列的通项公式为 II对于任意的，且成等差数列，证明如下： 当r=0时，由I知， 对于任意的，且成等差数列， 当，时， 假设存在，使得成等差数列， 那么， 由I知，的公比，于是 对于任意的，且 成等差数列， 综上，对于任意的，且成等差数列。14辽宁理17 等差数列an满足a2=0，a6+a8=-10I求数列an的通项公式；II求数列的前n项和解： I设等差数列的公差为d，由条件可得解得故数列的通项公式为 5分 II设数列，即，所以，当时， 所以 综上，数列 12分15全国大纲理20 设数列满足且求的通项公式；设解： I由题设 即是公差为1的等差数列。 又 所以 II由I得 ，8分12分16山东理20 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818求数列的通项公式；假设数列满足：，求数列的前n项和解：I当时，不合题意；当时，当且仅当时，符合题意；当时，不合题意。因此所以公式q=3，故 II因为所以 所以当n为偶数时，当n为奇数时，综上所述，17上海理22 数列和的通项公式分别为，将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。1求；2求证：在数列中但不在数列中的项恰为；3求数列的通项公式。解： ； 任意，设，那么，即 假设矛盾， 在数列中但不在数列中的项恰为。 ， 当时，依次有， 。18天津理20 数列与满足：， ，且求的值；设，证明：是等比数列；III设证明：本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等根底知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.总分值14分. I解：由 可得又II证明：对任意，得将代入，可得即又因此是等比数列.III证明：由II可得，于是，对任意，有将以上各式相加，得即，此式当k=1时也成立.由式得从而所以，对任意，对于n=1，不等式显然成立.所以，对任意19浙江理19公差不为0的等差数列的首项为a,设数列的前n项和为，且，成等比数列1求数列的通项公式及2记，当时，试比拟与的大小此题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等根底知识，同时考查分类讨论思想。总分值14分。 I解：设等差数列的公差为d，由得因为，所以所以II解：因为，所以因为，所以当，即所以，当当20重庆理21 设实数数列的前n项和，满足 I假设成等比数列，求和； II求证：对 I解：由题意，由S2是等比中项知由解得 II证法一：由题设条件有故从而对有 因，由得要证，由只要证即证此式明显成立.因此最后证假设不然又因矛盾.因此证法二：由题设知，故方程可能相同.因此判别式又由因此，解得因此由，得因此2021年高考题一、选择题1.2021浙江理3设为等比数列的前项和，那么A11 B5 C D解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选D，此题主要考察了此题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题2.2021全国卷2理4.如果等差数列中，那么A14 B21 C28 D35【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的根本公式和性质.【解析】3.2021辽宁文3设为等比数列的前项和，那么公比A3 B4 C5 D6【答案】 B解析：选B. 两式相减得， ，.4.2021辽宁理6设an是有正数组成的等比数列，为其前n项和。a2a4=1, ,那么A (B) (C) (D) 【答案】B【命题立意】此题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。【解析】由a2a4=1可得，因此，又因为，联力两式有，所以q=,所以，应选B。5.2021全国卷2文(6)如果等差数列中，+=12，那么+=A14 (B) 21 (C) 28 (D) 35【答案】C【解析】此题考查了数列的根底知识。 ， 6.2021安徽文(5)设数列的前n项和，那么的值为A 15 (B) 16 (C) 49 D64【答案】 A【解析】.【方法技巧】直接根据即可得出结论.7.2021浙江文(5)设为等比数列的前n项和，那么(A)-11 (B)-8(C)5(D)11解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选A，此题主要考察了此题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式8.2021重庆理1在等比数列中， ，那么公比q的值为A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】A解析： 9.2021广东理4. 为等比数列，Sn是它的前n项和。假设， 且与2的等差中项为，那么=A【答案】C解析：设的公比为，那么由等比数列的性质知，即。由与2的等差中项为知，即 ，即，即10.2021广东文11.2021山东理12.2021重庆文2在等差数列中，那么的值为A5 B6C8 D10【答案】 A解析：由角标性质得，所以=5二、填空题1.2021辽宁文14设为等差数列的前项和，假设，那么 。解析：填15. ,解得，2.2021福建理11在等比数列中,假设公比,且前3项之和等于21,那么该数列的通项公式 【答案】【解析】由题意知，解得，所以通项。【命题意图】此题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属根底题。3.2021江苏卷8、函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，那么a1+a3+a5=_解析：考查函数的切线方程、数列的通项。在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，所以。三、解答题1.2021上海文21.(此题总分值14分)此题共有2个小题，第一个小题总分值6分，第2个小题总分值8分。数列的前项和为，且，(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.解析：(1) 当n=1时，a1=-14；当n2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，又a1-1=-150，所以数列an-1是等比数列；(2) 由(1)知：，得，从而(nN*)；由Sn+1Sn，得，最小正整数n=152.2021陕西文16.本小题总分值12分an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列.求数列an的通项;求数列2an的前n项和Sn.解 由题设知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比数列得，解得d1，d0舍去， 故an的通项an1+n11n.()由知=2n，由等比数列前n项和公式得Sm=2+22+23+2n=2n+1-2.3.2021全国卷2文18本小题总分值12分是各项均为正数的等比数列，且，求的通项公式；设，求数列的前项和。【解析】此题考查了数列通项、前项和及方程与方程组的根底知识。1设出公比根据条件列出关于与的方程求得与，可求得数列的通项公式。2由1中求得数列通项公式，可求出BN的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。4.2021江西理22. 本小题总分值14分证明以下命题：（1） 对任一正整a,都存在整数b,c(b0 由a2+a716.得 由得 由得将其代入得。即 2令两式相减得于是=-4=27. 2021福建卷文等比数列中， I求数列的通项公式； 假设分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。解：I设的公比为由得，解得由I得，那么， 设的公差为，那么有解得 从而 所以数列的前项和282021重庆卷文本小题总分值12分，问3分，问4分，问5分求的值； 设为数列的前项和，求证：；求证：解：，所以由得即所以当时，于是所以 当时，结论成立当时，有所以 20072021年高考题一、选择题1.2021天津假设等差数列的前5项和，且，那么( ) 答案 B2.2021陕西是等差数列，那么该数列前10项和等于 A64 B100 C110 D120答案 B3.2021广东记等差数列的前项和为，假设，那么 A16 B24 C36 D48答案 D 4.2021浙江是等比数列，那么= C. D.答案 C5.2021四川等比数列中，那么其前3项的和的取值范围是()A. B.C. D.答案 D6.2021福建)设an是公比为正数的等比数列，假设n1=7,a5=16,那么数列an前7项的和为( )答案 C7.2007重庆在等比数列an中，a28，a564，那么公比q为A2 B3 C4 D8答案 A 8.2007安徽等差数列的前项和为假设A12 B10 C8 D6答案 B9.2007辽宁设等差数列的前项和为，假设，那么A63 B45 C36 D27答案 B10.(2007湖南) 在等比数列中，假设，那么该数列的前10项和为A B C D答案 B11.(2007湖北)两个等差数列和的前项和分别为A和，且，那么使得为整数的正整数的个数是A2 B3 C4 D5答案 D12.(2007宁夏)成等比数列，且曲线的顶点是，那么等于A3 B2 C1 D答案 D13.(2007四川)等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,那么n=A9 B10 C11 D12答案 B二、填空题15.2021四川设等差数列的前项和为，假设，那么的最大值为_.答案 416.2021重庆)设Sn=是等差数列an的前n项和，a12=-8,S9=-9,那么S16= .答案 -7217.(2007全国I) 等比数列的前项
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