清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限课件

2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限1作业作业P34习题习题2.1 3(2)(3). P39习题习题2.2 1(2)(3). 2(2)(6)(9)(13). 3(1)预习：P40492022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限2第二讲第二讲 函数极限函数极限一、函数极限一、函数极限二、函数极限的性质二、函数极限的性质三、函数极限的运算法则三、函数极限的运算法则四、两个重要极限四、两个重要极限五、无穷小量与无穷大量五、无穷小量与无穷大量2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限3极限的重要性极限的重要性（1） 极限是一种思想方法极限是一种思想方法（2）极限是一种概念）极限是一种概念（3） 极限是一种计算方法极限是一种计算方法 从认识有限到把握无限从认识有限到把握无限 从了解离散到理解连续从了解离散到理解连续 微积分中许多概念是微积分中许多概念是用极限定义的用极限定义的许多许多物理、几何量需要用极限来求物理、几何量需要用极限来求2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限4函数极限问题是研究当自变量函数极限问题是研究当自变量一、函数的极限一、函数的极限x趋向于趋向于0 x)x(f的变化趋势的变化趋势或趋向于无穷大时，函数或趋向于无穷大时，函数（ 两种基本变化趋势）两种基本变化趋势）0 x 趋向于一点趋向于一点xO(一一)自变量的变化自变量的变化 x x，0 xx ， 0 xx 0 xx 趋向于无穷趋向于无穷， x， x x2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限5,)x(f,xxAA)x(fxx.x)x(f的的极极限限函函数数时时趋趋于于是是当当，则则称称的的常常数数定定“无无限限趋趋于于”一一个个确确应应的的函函数数值值时时，其其对对“无无限限趋趋于于”如如果果当当有有定定义义的的某某空空心心邻邻域域在在点点设设函函数数000A)x(flimxx 0记作记作定义定义1：（二）函数极限的定义（二）函数极限的定义1. 函数在一点的极限函数在一点的极限)xx(A)x(f0或或2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限6注意注意考虑空心邻域，是什麽意思？考虑空心邻域，是什麽意思？ 考虑函数在一点的极限时，不考虑函数考虑函数在一点的极限时，不考虑函数在该点处是否有定义，定义的值是什麽，在该点处是否有定义，定义的值是什麽，但是，在附近必须要有定义。但是，在附近必须要有定义。例例1?11lim21 xxx11lim11lim121 xxxxx21 2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限7例例2 0,10,1sin)(xxxxxf0lim0 )x(fx2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限8定义定义2： （左、右极限）（左、右极限）记记作作处处的的左左极极限限在在是是则则称称无无限限趋趋于于确确定定值值时时当当内内有有定定义义在在（）若若（,x)x(fA,A)x(f,xx.x,x)x(f0000)1 记记作作处处的的右右极极限限在在是是则则称称无无限限趋趋于于确确定定值值时时当当内内有有定定义义在在（）若若（,x)x(fA,A)x(f,xx.x,x)x(f0000)2 A)x( fxx 0limA)x( fxx 0lim2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限9一点极限与单侧极限有什麽关系？一点极限与单侧极限有什麽关系？例例的的情情况况，研研究究设设01arctan xxy观察图形观察图形21arctanlim0 xx不不存存在在！xx1arctanlim0-20-101020-1.5-1-0.50.511.521arctanlim0 xxxxxx1arctanlim1arctanlim00 问题：问题：2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限102. 函数在无穷远的极限函数在无穷远的极限，有有极极限限时时常常数数，则则称称当当无无限限趋趋于于某某一一无无限限变变大大时时，若若有有定定义义在在区区间间设设函函数数A)x(f,x)x(fx),a()x(f A)x(flimx 记记作作定义定义3：类似的可定义类似的可定义A)x(flimx A)x(flimx 或或2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限11-20-101020-1.5-1-0.50.511.5例如例如xxf1arctan)( 0)(lim xfx0)(lim xfx0)(lim xfx2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限12.)(,)(,)(,0, 0, 0,.)(0000AxfxxAxfxxAxfxxxRAxxf趋趋向向于于时时或或称称当当有有极极限限时时则则称称当当都都有有动动点点的的使使得得所所有有满满足足不不等等式式如如果果有有定定义义的的某某空空心心邻邻域域在在点点设设函函数数 )()()(lim00 xxAxfAxfxx 或或记记作作定义定义4：3. 函数极限的精确定义函数极限的精确定义定义定义 2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限13二、函数极限的性质二、函数极限的性质性质性质2:（有界性）（有界性）.)(,)(lim00有有界界时时当当则则存存在在设设xfxxxfxx.)(,0, 000MxfxxM 就有就有时时使当使当和和即存在即存在 函数极限如果存在，则函数一定有界函数极限如果存在，则函数一定有界.性质性质1:（唯一性）（唯一性）函数极限如果存在，则一定是唯一的函数极限如果存在，则一定是唯一的.xy1 .)(,)(lim有有界界时时当当则则存存在在设设xfxxfx .)(, 00MxfNxNM 就就有有时时使使当当和和即即存存在在2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限14性质性质3:（保号性）（保号性）存存在在设设Axfxx )(lim0.0)(,0,0,0)1(0 xfxxA就就有有时时使使当当则则如如果果 . 0,0)(,0,0)2(0 Axfxx则则有有有有时时使使当当如如果果 性质性质4存存在在的的充充分分必必要要条条件件是是)(lim0 xfxx.)(lim)(lim00都都存存在在且且相相等等与与xfxfxxxx 2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限15（一）四则运算定理（一）四则运算定理)0, 0)()()(lim)4()()(lim)3()()(lim)2()(lim)1(,)(lim,)(lim BxgBAxgxfBAxgxfBAxgxfAcxfcBxgAxfxxxxxx则则有有设设注注：x表示表示x的任一种趋向的任一种趋向.三、极限的运算法则三、极限的运算法则2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限16.)(lim,)(,.)(lim,)(lim000000AtgfxtgttAxfxtgttxxtt 则则时时当当且且设设（二）复合函数的极限定理（二）复合函数的极限定理注意注意不不能能少少！”时时“条条件件00)(,:xtgtt 例如：例如：tttgxxxf1sin)(,0, 00, 1)( 0)(lim, 1)(lim00 tgxftx,0时时t0)()( nntgftg：各各项项均均为为零零1)()( nntgftg：各各项项均均不不为为零零不存在！不存在！所以所以)(lim0tgfx2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限17AxgAxhxfxhxgxfxNxxxxxxx )(lim)(lim)(lim)()()(),(0000则则且且有有（三）夹逼定理（三）夹逼定理: :（四）（四）初等函数的极限初等函数的极限)()(lim)()(000 xfxfxfxxfxx 的的定定义义区区间间内内，则则属属于于是是初初等等函函数数，且且若若2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限18证证明明利利用用夹夹逼逼定定理理和和极极限限ennn )11(limexxx )11(lim四、两个重要极限四、两个重要极限1.1sinlim0 xxx2.2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限19利用夹逼定理利用夹逼定理考虑不等式考虑不等式的面积的面积扇形的面积AOCAOBAOB )2, 0(tan2121sin21 xxxx即证明证明亦即) 1 ()2, 0(tansin xxxx2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限20)2, 0(,)0,2( xx时当) 2() 0,2(tansin xxxx)3()20(tansin xxxx将（1）式与（2）式结合起来，得到有有xxxcos1sin1 得）式去除（用时注意到当,3sin, 0sin,0 xxx 2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限21)20(1sincos xxxx时因为当20 x0sin, 0coscos xxxx)20(1sincos xxxx即由夹逼定理得到令, 0 x1sinlim0 xxx2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限22定义定义1 1： 在某个变化过程中在某个变化过程中, ,极限为零极限为零 的函数的函数, ,称为在此变化过程中的称为在此变化过程中的 无穷小量（无穷小）无穷小量（无穷小）。五、无穷小量与无穷大量五、无穷小量与无穷大量（一）定义（一）定义例如：例如：.0sintan,cos1,tan,sin,2时时的的无无穷穷小小量量都都是是 xxxxxxx.arctan2,12时时的的无无穷穷小小量量都都是是 xxexx 注意：无穷小量是极限 为零的函数！无穷小量不是绝对值很小的数！2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限23定义定义2 2： 在某个变化过程中在某个变化过程中, ,绝对值无限绝对值无限 变大的函数变大的函数, ,称为在此变化过程中的称为在此变化过程中的 无穷大量（无穷大）无穷大量（无穷大）。 )(lim.)(,)(,0, 0, 0000 xfxxxfGxfxxGxx记记作作无无穷穷大大时时为为当当则则称称有有时时使使当当 )(lim.)(,)(,0, 0, 0000 xfxxxfGxfxxGxx记记作作正正无无穷穷大大时时为为当当则则称称有有时时使使当当 2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限24oxy1 o21xy 例例 xx1lim0 xx1lim0 xx1lim0 201limxx2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限25（二）无穷小与无穷大的性质（二）无穷小与无穷大的性质性质性质1：.)()()()(),()(,)()(,都都是是无无穷穷小小和和为为常常数数过过程程中中则则在在此此变变化化都都是是无无穷穷小小和和化化过过程程中中若若在在自自变变量量的的同同一一个个变变xgxfxgxfcxcfxgxf 注意：注意：性质性质1只可以推广到有限个函数只可以推广到有限个函数)21(lim222nnnnn 例例212)1(1lim2 nnnn0 2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限26性质性质3：.)()(,)(,)(,是是无无穷穷小小此此变变化化过过程程中中则则在在是是有有界界函函数数是是无无穷穷小小化化过过程程中中若若在在自自变变量量的的某某一一个个变变xgxfxgxf性质性质2：.)()()0()(,)()(,都都是是无无穷穷大大和和常常数数过过程程中中则则在在此此变变化化都都是是无无穷穷大大和和化化过过程程中中若若在在自自变变量量的的同同一一个个变变xgxfcxcfxgxf 2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限27 例例 例例?sinlim xxx是是有有界界函函数数11sin0 xx01sinlim0 xxx1sin,01lim xxxx0)(sin)1(limsinlim xxxxxx?1sinlim0 xxx2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限281.（无穷小与无穷大）（无穷小与无穷大）.)(1,)(,是是无无穷穷小小则则在在这这个个变变化化过过程程中中是是无无穷穷大大化化过过程程中中若若在在自自变变量量的的某某一一个个变变xfxf.)(),()()(lim时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中 xxxAxfAxfx 2.（极限与无穷小）（极限与无穷小）（三）三个重要关系（三）三个重要关系2022-6-2清华微积分(高等数学)课件第二讲函数极限293.无穷大与无界函数无穷大与无界函数无无界界。反反之之不不一一定定。则则是是无无穷穷大大化化过过程程中中若若在在自自变变量量的的某某一一个个变变)(,)(,xfxf问题：问题：两个无穷小量的商是否为无穷小量？两个无穷小量的商是否为无穷小量？ xxxxf,sin)(例例