勾股定理基础练习

1 勾股定理 学习要求 1 掌握勾股定理的内容及证明方法 能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出 第三条边长 2 掌握勾股定理 能够运用勾股定理解决简单的实际问题 会运用方程思想解决问题 3 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题 进一步运用方程思想解决问题 4 掌握勾股定理的逆定理及其应用 理解原命题与其逆命题 原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系 知识精讲 1 勾股定理的内容 如果直角三角形的两直角边分别是 斜边为 那么 即直角三角形中两直角边的平方abc22abc 和等于斜边的平方 注 勾 最短的边 股 较长的直角边 弦 斜边 C A B 图2 c b a 2 勾股定理的证明 1 方法一 将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形 D CB A 22 14 ABCDSabcabc 正 方 形 2 方法二 将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形 G FE H 222 14 Scaba 正 方 形 EFGH 3 方法三 总统 法 如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形 2 12ABCDabSabc 梯 形 2 c 2 cba c baED C BA 3 勾股定理的逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是直角三角形 即 22 ABCBCABC 在 中 如 果 那 么 是 直 角 三 角 形 4 勾股数 满足 的三个正整数 称为勾股数 勾股数扩大相同倍数后 仍为勾股数 常用勾股数 22abc 3 4 5 5 12 13 7 24 25 8 15 17 课堂练习 一 勾股定理 1 如果直角三角形的两直角边长分别为 a b 斜边长为 c 那么 c 2 这一定理在我国被称为 2 ABC 中 C 90 a b c 分别是 A B C 的对边 1 若 a 5 b 12 则 c 2 若 c 41 a 40 则 b 3 若 A 30 a 1 则 c b 4 若 A 45 a 1 则 b c 3 如图是由边长为 1m 的正方形地砖铺设的地面示意图 小明沿图中所示的折线从 A B C 所走的路程为 4 等腰直角三角形的斜边为 10 则腰长为 斜边上的高为 5 在直角三角形中 一条直角边为 11cm 另两边是两个连续自然数 则此直角三角形的周长为 6 Rt ABC 中 斜边 BC 2 则 AB2 AC 2 BC 2 的值为 A 8 B 4 C 6 D 无法计算 7 如图 ABC 中 AB AC 10 BD 是 AC 边上的高线 DC 2 则 BD 等于 A 4 B 6 C 8 D 102 3 8 如图 Rt ABC 中 C 90 若 AB 15cm 则正方形 ADEC 和正方形 BCFG 的面积和为 A 150cm2 B 200cm2 C 225cm2 D 无法计算 9 在 Rt ABC 中 C 90 A B C 的对边分别为 a b c 1 若 a b 3 4 c 75cm 求 a b 2 若 a c 15 17 b 24 求 ABC 的面积 3 若 c a 4 b 16 求 a c 4 若 A 30 c 24 求 c 边上的高 hc 5 若 a b c 为连续整数 求 a b c 10 若直角三角形的三边长分别为 2 4 x 则 x 的值可能有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 13 如图 Rt ABC 中 C 90 A 30 BD 是 ABC 的平分线 AD 20 求 BC 的长 二 勾股定理的实际应用 1 若一个直角三角形的两边长分别为 12 和 5 则此三角形的第三边长为 4 2 甲 乙两人同时从同一地点出发 已知甲往东走了 4km 乙往南走了 3km 此时甲 乙两人相距 km 3 如图 有一块长方形花圃 有少数人为了避开拐角走 捷径 在花圃内走出了一条 路 他们仅仅少走了 m 路 却踩伤了花草 3 题图 4 如图 有两棵树 一棵高 8m 另一棵高 2m 两树相距 8m 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢 至少要飞 m 4 题图 5 如图 一棵大树被台风刮断 若树在离地面 3m 处折断 树顶端落在离树底部 4m 处 则树折断之前高 5 题图 A 5m B 7m C 8m D 10m 6 如图 从台阶的下端点 B 到上端点 A 的直线距离为 6 题图 A B 21 310 C D 56 58 7 在平静的湖面上 有一支红莲 高出水面 1 米 一阵风吹来 红莲移到一边 花朵齐及水面 已知红莲移动的 水平距离为 2 米 求这里的水深是多少米 5 8 如图 一电线杆 AB 的高为 10 米 当太阳光线与地面的夹角为 60 时 其影长 AC 为 米 9 如图 在高为 3 米 斜坡长为 5 米的楼梯表面铺地毯 则地毯的长度至少需要多少米 若楼梯宽 2 米 地毯每 平方米 30 元 那么这块地毯需花多少元 三 勾股定理与直角三角形 1 在 ABC 中 若 A B 90 AC 5 BC 3 则 AB AB 边上的高 CE 2 在 ABC 中 若 AB AC 20 BC 24 则 BC 边上的高 AD AC 边上的高 BE 3 在 ABC 中 若 AC BC ACB 90 AB 10 则 AC AB 边上的高 CD 4 在 ABC 中 若 AB BC CA a 则 ABC 的面积为 5 在 ABC 中 若 ACB 120 AC BC AB 边上的高 CD 3 则 AC AB BC 边上的高 AE 6 已知直角三角形的周长为 斜边为 2 则该三角形的面积是 62 A B C D 141431 7 若等腰三角形两边长分别为 4 和 6 则底边上的高等于 A B 或 C D 或724247 8 如图 在 Rt ABC 中 C 90 D E 分别为 BC 和 AC 的中点 AD 5 BE 求 AB 的长 10 9 在数轴上画出表示 及 的点 10 3 6 课后练习 一 填空题 1 若一个三角形的三边长分别为 6 8 10 则这个三角形中最短边上的高为 2 若等边三角形的边长为 2 则它的面积为 3 如图所示的图形中 所有的四边形都是正方形 所有的三角形都是直角三角形 若涂黑的四个小正方形的面积 的和是 10cm2 则其中最大的正方形的边长为 cm 3 题图 4 如图 B C 是河岸边两点 A 是对岸岸边一点 测得 ABC 45 ACB 45 BC 60 米 则点 A 到岸 边 BC 的距离是 米 4 题图 5 已知 如图 ABC 中 C 90 点 O 为 ABC 的三条角平分线的交点 OD BC OE AC OF AB 点 D E F 分别是垂足 且 BC 8cm CA 6cm 则点 O 到三边 AB AC 和 BC 的距离分别等于 cm 5 题图 6 如图所示 有一块直角三角形纸片 两直角边 AB 6 BC 8 将直角边 AB 折叠使它落在斜边 AC 上 折痕为 AD 则 BD 6 题图 7 ABC 中 AB AC 13 若 AB 边上的高 CD 5 则 BC 7 8 如图 AB 5 AC 3 BC 边上的中线 AD 2 则 ABC 的面积为 8 题图 二 选择题 9 下列三角形中 是直角三角形的是 A 三角形的三边满足关系 a b c B 三角形的三边比为 1 2 3 C 三角形的一边等于另一边的一半 D 三角形的三边为 9 40 41 10 某市在旧城改造中 计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境 已知这种草皮每平方米 售价 a 元 则购买这种草皮至少需要 10 题图 A 450a 元 B 225a 元 C 150a 元 D 300a 元 11 如图 四边形 ABCD 中 AB BC ABC CDA 90 BE AD 于点 E 且四边形 ABCD 的面积为 8 则 BE A 2 B 3 C D 2 32 12 如图 Rt ABC 中 C 90 CD AB 于点 D AB 13 CD 6 则 AC BC 等于 A 5 B 135 C D 139 8 13 下列判断错误的是 A 如果 a b b c 那么 a c B 如果 a b b c 那么 a c C 如果 a b b c 那么 a c D 如果 a b b c 那么 a c 14 下列命题中是真命题的是 1 所有的等腰三角形都全等 2 有一个锐角相等的两个直角三角形全等 3 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 4 两点之间线段最短 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 15 已知 如图 ABC 中 CAB 120 AB 4 AC 2 AD BC D 是垂足 求 AD 的长 16 如图 已知一块四边形草地 ABCD 其中 A 45 B D 90 AB 20m CD 10m 求这块草地的面 积 17 已知 ABC 中 AB 15 AC 13 BC 边上的高 AD 12 求 BC