2017中考二次函数压轴题专题分类训练

1 2017 中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一 面积问题 例 1 如图 2 抛物线顶点坐标为点 C 1 4 交 x 轴于点 A 3 0 交 y 轴于点 B 1 求抛物线和直线 AB 的解析式 2 求 CAB 的铅垂高 CD 及 S CAB 3 设点 P 是抛物线 在第一象限内 上的一个动点 是否存在一点 P 使 S PAB S 89 CAB 若存在 求出 P 点的坐标 若不存在 请说明理由 变式练习 1 如图 在直角坐标系中 点 A 的坐标为 2 0 连结 OA 将线段 OA 绕原点 O 顺时针 旋转 120 得到线段 OB 1 求点 B 的坐标 2 求经过 A O B 三点的抛物线的解析式 3 在 2 中抛物线的对称轴上是否存在点 C 使 BOC 的周长最小 若存在 求出点 C 的坐标 若不存在 请说明理由 4 如果点 P 是 2 中的抛物线上的动点 且在 x 轴的下方 那么 PAB 是否有最大面 积 若有 求出此时 P 点的坐标及 PAB 的最大面积 若没有 请说明理由 A x y B O x C O y A B D 1 1 图 2 2 2 如图 抛物线 y ax2 bx 4 与 x 轴的两个交点分别为 A 4 0 B 2 0 与 y 轴交于点 C 顶点为 D E 1 2 为线段 BC 的中点 BC 的垂直平分线与 x 轴 y 轴分别交 于 F G 1 求抛物线的函数解析式 并写出顶点 D 的坐标 2 在直线 EF 上求一点 H 使 CDH 的周长最小 并求出最小周长 3 若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动 当 K 运动到什么位置时 EFK 的面积最大 并求出最大面积 3 如图 已知 直线 交 x 轴于点 A 交 y 轴于点 B 抛物线 y ax2 bx c 经过3 y A B C 1 0 三点 1 求抛物线的解析式 2 若点 D 的坐标为 1 0 在直线 上有一点 P 使 ABO 与 ADP 相3 xy 似 求出点 P 的坐标 3 在 2 的条件下 在 x 轴下方的抛物线上 是否存在点 E 使 ADE 的面积等 于四边形 APCE 的面积 如果存在 请求出点 E 的坐标 如果不存在 请说明理由 C E D G A x y O BF 3 题型二 构造直角三角形 例 2 如图 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 的对称轴为 x 1 且抛物线经过 A 1 0 C 0 3 两点 与 x 轴交于另一点 B 1 求这条抛物线所对应的函数关系式 2 在抛物线的对称轴 x 1 上求一点 M 使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小 并求此时点 M 的坐标 3 设点 P 为抛物线的对称轴 x 1 上的一动点 求使 PCB 90 的点 P 的坐标 E 变式练习 1 如图 抛物线 y 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左侧 与 y 轴 交于点 C 1 求点 A B 的坐标 2 设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点 当 ACD 的面积等于 ACB 的面积时 求 点 D 的坐标 3 若直线 l 过点 E 4 0 M 为直线 l 上的动点 当以 A B M 为顶点所作的直角三角 形有且只有三个时 求直线 l 的解析式 4 O 1 1 x y 2 在平面直角坐标系 xOy 中 已知抛物线 y 与 x 轴交于 A B 两点 点2 1 0 axc A 在点 B 的左侧 与 y 轴交于点 C 其顶点为 M 若直线 MC 的函数表达式为 与3ykx x 轴的交点为 N 且 COS BCO 310 1 求此抛物线的函数表达式 2 在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P 使以 N P C 为顶点的三角形是以 NC 为一 条直角边的直角三角形 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 过点 A 作 x 轴的垂线 交直线 MC 于点 Q 若将抛物线沿其对称轴上下平移 使抛物线 与线段 NQ 总有公共点 则抛物线向上最多可平移多少个单位长度 向下最多可平移多少个 单位长度 3 在平面直角坐标系内 反比例函数和二次函数 y k x 2 x 1 的图象交于点 A 1 k 和点 B 1 k 1 当 k 2 时 求反比例函数的解析式 2 要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大 求 k 应满足的条件以及 x 的 取值范围 3 设二次函数的图象的顶点为 Q 当 ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时 求 k 的值 5 4 如图 1 抛物线 与 y 轴交于点 A E 0 b 为 y 轴上一动点 过点 E42yx 的直线 与抛物线交于点 B C yxb 1 求点 A 的坐标 2 当 b 0 时 如图 2 与 的面积大小关系如何 当 时 上述关AE4b 系还成立吗 为什么 3 是否存在这样的 b 使得 是以 BC 为斜边的直角三角形 若存在 求出 b 若O 不存在 说明理由 y xCBAOE y xCBAOE 第 26 题 图 1 图 2 6 题型三 构造等腰三角形 例 3 如图 已知抛物线 32 bxay a 0 与 x轴交于点 A 1 0 和点 B 3 0 与 y 轴交于点 C 1 求抛物线的解析式 2 在 x 轴上是否存在一点 Q 使得 ACQ 为等腰三角形 若存在 请直接写出所有符合 条件的点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 3 设抛物线的对称轴与 x轴交于点 M 问在对称轴上是否存在点 P 使 CMP 为等腰 三角形 若存在 请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 变式练习 1 如图 在平面直角坐标系中 点 A 的坐标为 m m 点 B 的坐标为 n n 抛物线 经过 A O B 三点 连接 OA OB AB 线段 AB 交 y 轴于点 C 已知实数 m n m n 分 别是方程 x2 2x 3 0 的两根 1 求抛物线的解析式 2 若点 P 为线段 OB 上的一个动点 不与点 O B 重合 直线 PC 与抛物线交于 D E 两 点 点 D 在 y 轴右侧 连接 OD BD 当 OPC 为等腰三角形时 求点 P 的坐标 求 BOD 面积的最大值 并写出此时点 D 的坐标 7 2 如图 抛物线 经过 的三个顶点 已知 轴 点 在254yax ABC BCx A 轴上 点 C 在 轴上 且 AC BC x 1 写出 A B C 三点的坐标并求抛物线的解析式 2 探究 若点 是抛物线对称轴上且在 轴下方的动点 是否存在 是等腰三角PxP 形 若存在 求出所有符合条件的点 坐标 不存在 请说明理由 P 3 已知抛物线 顶点为 C 1 1 且过原点 O 过抛物线上一点2 0 yaxbc P x y 向直线 作垂线 垂足为 M 连 FM 如图 54 1 求字母 a b c 的值 2 在直线 x 1 上有一点 求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标 并3 1 F 证明此时 PFM 为正三角形 3 对抛物线上任意一点 P 是否总存在一点 N 1 t 使 PM PN 恒成立 若存在请求 出 t 值 若不存在请说明理由 A C B y x0 1 1 8 题型四 构造相似三角形 例 4 如图 已知抛物线经过 A 2 0 B 3 3 及原点 O 顶点为 C 1 求抛物线的解析式 2 若点 D 在抛物线上 点 E 在抛物线的对称轴上 且 A O D E 为顶点的四边形是平 行四边形 求点 D 的坐标 3 P 是抛物线上的第一象限内的动点 过点 P 作 PM x 轴 垂足为 M 是否存在点 P 使得以 P M A 为顶点的三角形 BOC 相似 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说 明理由 变式练习 1 如图 已知抛物线经过 A 4 0 B 1 0 C 0 2 三点 1 求该抛物线的解析式 2 在直线 AC 上方的该抛物线上是否存在一点 D 使得 DCA 的面积最大 若存在 求出 点 D 的坐标及 DCA 面积的最大值 若不存在 请说明理由 3 P 是直线 x 1 右侧的该抛物线上一动点 过 P 作 PM x 轴 垂足为 M 是否存在 P 点 使得以 A P M 为顶点的三角形与 OAC 相似 若存在 请求出符合条件的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 9 2 如图 二次函数的图象经过点 D 0 且顶点 C 的横坐标为 4 该图象在 x 轴上397 截得的线段 AB 的长为 6 1 求二次函数的解析式 2 在该抛物线的对称轴上找一点 P 使 PA PD 最小 求出点 P 的坐标 3 在抛物线上是否存在点 Q 使 QAB 与 ABC 相似 如果存在 求出点 Q 的坐标 如 果不存在 请说明理由 例 5 如图 已知抛物线 y x2 b 1 x b 是实数且 b 2 与 x 轴的正半轴分别 交于点 A B 点 A 位于点 B 的左侧 与 y 轴的正半轴交于点 C 1 点 B 的坐标为 点 C 的坐标为 用含 b 的代数式表示 2 请你探索在第一象限内是否存在点 P 使得四边形 PCOB 的面积等于 2b 且 PBC 是 以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形 如果存在 求出点 P 的坐标 如果不存在 请说明 理由 3 请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q 使得 QCO QOA 和 QAB 中的任意两 个三角形均相似 全等可作相似的特殊情况 如果存在 求出点 Q 的坐标 如果不存在 请说明理由 10 11 变式练习 1 如图 平面直角坐标系 中 已知点 A 2 3 线段 垂直于 轴 垂足为 将xOyByB 线段 绕点 A 逆时针方向旋转 90 点 B 落在点 处 直线 与 轴的交于点 BCxD 1 试求出点 D 的坐标 2 试求经过 三点的抛物线的表达式 并写出其顶点 E 的坐标 3 在 2 中所求抛物线的对称轴上找点 使得F 以点 为顶点的三角形与 ACD 相似 AF 2 已知直线 与 x 轴交于点 A 与 y 轴交于点 B 将 AOB 绕点 O 顺时针旋转12y 使点 A 落在点 C 点 B 落在点 D 抛物线 过点 A D C 其对称轴与90 2axbc 直线 AB 交于点 P 1 求抛物线的表达式 2 求 POC 的正切值 3 点 M 在 x 轴上 且 ABM 与 APD 相似 求点 M 的 坐标 图 7 1 1 x yB A O x y O 1 1 12 3 如图 二次函数 y ax2 bx c 的图象交 x 轴于 A 1 0 B 2 0 交 y 轴于 C 0 2 过 A C 画直线 1 求二次函数的解析式 2 点 P 在 x 轴正半轴上 且 PA PC 求 OP 的长 3 点 M 在二次函数图象上 以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切 切点为 H 若 M 在 y 轴右侧 且 CHM AOC 点 C 与点 A 对应 求点 M 的坐标 若 M 的半径为 求点 M 的坐标 13 题型五 构造梯形 例 6 已知 矩形 OABC 在平面直角坐标系中位置如图 1 所示 点 A 的坐标为 4 0 点 C 的坐标为 直线 与边 BC 相交于点 D 20 xy32 1 求点 D 的坐标 2 抛物线 经过点 A D O 求此抛物线的表达式 cbaxy 2 3 在这个抛物线上是否存在点 M 使 O D A M 为顶点的四边形是梯形 若存在 请 求出所有符合条件的点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 变式练习 1 已知平面直角坐标系 xOy 中 抛物线 y ax2 a 1 x 与直线 y kx 的一个公共点为 A 4 8 1 求此抛物线和直线的解析式 2 若点 P 在线段 OA 上 过点 P 作 y 轴的平行线交 1 中抛物线于点 Q 求线段 PQ 长 度的最大值 3 记 1 中抛物线的顶点为 M 点 N 在此抛物线上 若四边形 AOMN 恰好是梯形 求点 N 的坐标及梯形 AOMN 的面积 2 已知二次函数的图象经过 A 2 0 C 0 12 两点 且对称轴为直线 x 4 设顶点为 14 点 P 与 x 轴的另一交点为点 B 1 求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标 2 如图 1 在直线 y 2 x 上是否存在点 D 使四边形 OPBD 为等腰梯形 若存在 求出 点 D 的坐标 若不存在 请说明理由 3 如图 2 点 M 是线段 OP 上的一个动点 O P 两点除外 以每秒 个单位长度的速2 度由点 P 向点 O 运动 过点 M 作直线 MN x 轴 交 PB 于点 N 将 PMN 沿直线 MN 对折 得到 P1MN 在动点 M 的运动过程中 设 P1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面积为 S 运 动时间为 t 秒 求 S 关于 t 的函数关系式 3 如图 1 二次函数 的图象与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 0 2 pqxy C 0 1 ABC 的面积为 45 1 求该二次函数的关系式 2 过 y 轴上的一点 M 0 m 作 y 轴的垂线 若该垂线与 ABC 的外接圆有公共点 求 m 的取值范围 3 在该二次函数的图象上是否存在点 D 使以 A B C D 为顶点的四边形为直角梯形 若存在 求出点 D 的坐标 若不存在 请说明理由 15 题型六 构造平行四边形 例 7 如图 在平面直角坐标系中 抛物线经过 A 1 0 B 3 0 C 0 1 三 点 1 求该抛物线的表达式 2 点 Q 在 y 轴上 点 P 在抛物线上 要使以点 Q P A B 为顶点的四边形是平行四边 形 求所有满足条件的点 P 的坐标 变式练习 1 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 一次函数 m 为常数 的图象与 x 轴交于 点 A 3 0 与 y 轴交于点 C 以直线 x 1 为对称轴的抛物线 y ax2 bx c a b c 为常 数 且 a 0 经过 A C 两点 并与 x 轴的正半轴交于点 B 1 求 m 的值及抛物线的函数表达式 2 设 E 是 y 轴右侧抛物线上一点 过点 E 作直线 AC 的平行线交 x 轴于点 F 是否存在 这样的点 E 使得以 A C E F 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 求出点 E 的坐 标及相应的平行四边形的面积 若不存在 请说明理由 3 若 P 是抛物线对称轴上使 ACP 的周长取得最小值的点 过点 P 任意作一条与 y 轴不 平行的直线交抛物线于 M1 x 1 y 1 M 2 x 2 y 2 两点 试探究 是否为定值 并写出探究过程 16 2 如图 1 在平面直角坐标系中 已知抛物线经过 A 4 0 B 0 4 C 2 0 三点 1 求抛物线的解析式 2 若点 M 为第三象限内抛物线上一动点 点 M 的横坐标为 m MAB 的面积为 S 求 S 关于 m 的函数关系式 并求出 S 的最大值 3 若点 P 是抛物线上的动点 点 Q 是直线 y x 上的动点 判断有几个位置能使以点 P Q B O 为顶点的四边形为平行四边形 直接写出相应的点 Q 的坐标 3 如图 抛物线 y ax2 bx c 交 x 轴于点 A 3 0 点 B 1 0 交 y 轴于点 E 0 3 点 C 是点 A 关于点 B 的对称点 点 F 是线段 BC 的中点 直线 l 过点 F 且与 y 轴平行 直线 y x m 过点 C 交 y 轴于 D 点 1 求抛物线的函数表达式 2 点 K 为线段 AB 上一动点 过点 K 作 x 轴的垂线与直线 CD 交于点 H 与抛物线交于点 G 求线段 HG 长度的最大值 3 在直线 l 上取点 M 在抛物线上取点 N 使以点 A C M N 为顶点的四边形是平行四 边形 求点 N 的坐标 17 例 8 已知平面直角坐标系 xOy 如图 1 一次函数 的图像与 y 轴交于点 A 34yx 点 M 在正比例函数 的图像上 且 MO MA 二次函数32yx y x2 bx c 的图像经过点 A M 1 求线段 AM 的长 2 求这个二次函数的解析式 3 如果点 B 在 y 轴上 且位于点 A 下方 点 C 在上述二次 函数的图像上 点 D 在一次函数 的图像上 且四边34yx 形 ABCD 是菱形 求点 C 的坐标 变式练习 1 将抛物线 c1 沿 x 轴翻折 得到抛物线 c2 如图 1 所示 23y 1 请直接写出抛物线 c2的表达式 2 现将抛物线 c1向左平移 m 个单位长度 平移后得到新抛物线的顶点为 M 与 x 轴的交 点从左到右依次为 A B 将抛物线 c2向右也平移 m 个单位长度 平移后得到新抛物线的顶 点为 N 与 x 轴的交点从左到右依次为 D E 当 B D 是线段 AE 的三等分点时 求 m 的值 在平移过程中 是否存在以点 A N E M 为顶点的四边形是矩形的情形 若存在 请求出此时 m 的值 若不存在 请说明理由 18 题型七 线段最值问题 例 9 如图 抛物线 y x2 bx 2 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于 C 点 且 A 1 0 1 求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标 2 判断 ABC 的形状 证明你的结论 3 点 M m 0 是 x 轴上的一个动点 当 MC MD 的值最小时 求 m 的值 变式练习 1 如图 已知抛物线 y ax 2 bx c 与 y 轴交于点 A 0 3 与 x 轴分别交于 B 1 0 C 5 0 两点 1 求此抛物线的解析式 2 若一个动点 P 自 OA 的中点 M 出发 先到达 x 轴上的某点 设为点 E 再到达抛物线 的对称轴上某点 设为点 F 最后运动到点 A 求使点 P 运动的总路径最短的点 E 点 F 的坐标 并求出这个最短总路径的长 2 2011 广东深圳 如图 13 抛物线 y ax2 bx c a 0 的顶点为 1 4 交 x 轴于 O y x A B C 19 A B 交 y 轴于 D 其中 B 点的坐标为 3 0 1 求抛物线的解析式 2 如图 14 过点 A 的直线与抛物线交于点 E 交 y 轴于点 F 其中 E 点的横坐标为 2 若直线 PQ 为抛物线的对称轴 点 G 为 PQ 上一动点 则 x 轴上是否存在一点 H 使 D G F H 四点围成的四边形周长最小 若存在 求出这个最小值及 G H 的坐标 若不存 在 请说明理由 3 如图 15 抛物线上是否存在一点 T 过点 T 作 x 的垂线 垂足为 M 过点 M 作直线 MN BD 交线段 AD 于点 N 连接 MD 使 DNM BMD 若存在 求出点 T 的坐标 若不存 在 说明理由 20 能力提升 1 已知 如图 11 二次函数 图象的顶点为 与 轴交于 两23yax 0 a HxAB 点 在 点右侧 点 关于直线 对称 BAHBlyx 1 求 两点坐标 并证明点 在直线 上 A 2 求二次函数解析式 3 过点 作直线 交直线 于 点 分别为直线 和直线 上的两个KlKMNAl 动点 连接 求 和的最小值 NMN 2 如图 在直角坐标系中 已知点 A 0 1 B 4 将点 B 绕点 A 顺时针方向旋转4 90 得到点 C 顶点在坐标原点的抛物线经过点 B 1 求抛物线的解析式和点 C 的坐标 2 抛物线上一动点 P 设点 P 到 x 轴的距离为 点 P 到点 A 的距离为 试说明1d2d 21d 3 在 2 的条件下 请探究当点 P 位于何处时 PAC 的周长有最小值 并求出 PAC 的 周长的最小值 ABKHxyOl 图 11 ABKHxyOl 备用图 21 例 10 如图 已知直线 12yx 与 y轴交于点 A 与 x轴交于点 D 抛物线21yxbc 与直线交于 A E 两点 与 轴交于 B C 两点 且 B 点坐标为 1 0 1 求该抛物线的解析式 2 动点 P 在轴上移动 当 PAE 是直角三角形时 求点 P 的坐标 P 3 在抛物线的对称轴上找一点 M 使 的值最大 求出点 M 的坐标 变式练习 1 如图所示 在平面直角坐标系中 四边形 ABCD 是直角梯形 BC AD BAD 90 BC 与 y 轴相交于点 M 且 M 是 BC 的中点 A B D 三点的坐标分别是 A 1 0 B l 2 D 3 0 连接 DM 并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON 若抛物线 y ax2 bx c 经过点 D M N 1 求抛物线的解析式 2 抛物线上是否存在点 P 使得 PA PC 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说 明理由 3 设抛物线与 x 轴的另一个交点为 E 点 Q 是抛物线的对称轴上的一个动点 当点 Q 在什么位置时有 QE QC 最大 并求出最大值 22