全国高中数学竞赛二试模拟训练题(14)

加试模拟训练题（14）1、非等腰的内切圆圆心为，其与分别相切于点，分别交圆于， 中的角平分线分别交于点，证明（1）是的角平分线；（2）如果是和的两个外接圆的交点，则点在直线上。2、对任意实数，试证：3、设是正整数，我们说集合1，2，2的一个排列（）具有性质P，是指在1，2，21当中至少有一个，使得求证，对于任何，具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.4、求方程的整数解，其中是质数，是大于1的正整数，并证明你所得到的解是全部解. 加试模拟训练题（14）1、非等腰的内切圆圆心为，其与分别相切于点，分别交圆于， 中的角平分线分别交于点，证明（1）是的角平分线；（2）如果是和的两个外接圆的交点，则点在直线上。证明 （1）因为，所以有，从而有，即是的角平分线。（2）设的外心为，连，则。由于，所以，于是有，即与相切于。同理与的外接圆相切于，从而在与的外接圆的根轴上，即三点共线。2、对任意实数，试证： 证明：当时，所证不等式显然成立. 当不全为零时， 将所证不等式可变形为 令 式中的均可取一切实数（不同时为零即可）. 不妨取变量作为考查对象. （1）当时，由，得即 （2）当时，将式整理，得 可以为0，当时，不等式显然成立；当时，因，即或 由得 当时，不等式显然成立； 当时， 即 即解得：或 同理，由，得，对任意实数都满足的充要条件是：解得 综合以上，可得的取值范围是： 由此可得 即所证不等式成立.3、设是正整数，我们说集合1，2，2的一个排列（）具有性质P，是指在1，2，21当中至少有一个，使得求证，对于任何，具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.（1989，第30届IMO试题6）【证明】设A为不具有性质P的排列的集合，B为具有性质P的排列的集合，显然为了证明，只要得到就够了.使作容斥原理.设()中,与相邻的排列的集合为则由容斥原理得 = 4、（普特南竞赛题）求方程的整数解，其中是质数，是大于1的正整数，并证明你所得到的解是全部解. 解析：容易看到两个质数中肯定有一个为2，不妨假设，即。若，从余数去讨论，为奇数。，所以，提取公因数，有，从奇偶性可以看出这种情形方程无解。为偶数，注意到。，令，观察最后两项，只能， ， ，从而综上，考察到对称性，原方程恰有两组解：- 6 -