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2015年杭州二中高三年级仿真考数学（理科）参考答案一、选择题 题号12345678答案CDACDBDB二、填空题：9. ； 10. ； 11. ； 12. ；相交; 13. ; 14. ; 15. 三、解答题：16. 解：（）因为成等比数列，所以,由余弦定理可知：又，所以，且，解得.于是.（）因为,所以，所以，又，于是.【另解】由得，由可得，即由余弦定理 得 .17. （）证明：显然，平面ABCD，则，故,则直线QC直线BD；（）由已知和对称性可知，二面角的大小为，设底面ABCD的棱长为单位长度2， ，设AC，BD交于点E,则有点B到平面AQC的距离BE为1，过点E做QC的垂线，垂足设为F，则有，BE=1，则BE=，点A到QC的距离为，则有 ，得. 过点M作AB的平行线交AD的中点为G，则GM=2，则， ，即所求的QM与AB所成角的余弦值为.18.（）证明：， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列。（）由（）得 ，则；由，得， 得：， 显然，当时，单调递减， 当时，时，则当时，；，同理可得仅当时，综上，可得满足条件的n的值为1和2.19.解：（）；（）直线MP的方程为，联立椭圆方程得： ，消去y得，则，则点P的坐标为 同理可得点Q的坐标为：，又，则点Q为：， ， 则直线PQ的方程为：，即,化简得，即当时，故直线PQ过定点.方法2：先证明一个结论：曲线上的任一点和曲线上两个关于中心的对称点（T不同于P，Q）连线的斜率乘积为.证明：，点，点在曲线上，则有：，两式相减得：，则。回到本题，设点，PN与曲线交于点，则有：对曲线，则有，对曲线，则有，则，则，又，则与重合，即直线PQ过定点.20.解：（）依题意可设：，其中, 则；（）由题意，问题转化为，对恒成立。对函数，令，则问题转化为：恒成立.显然：， （1）当时， 对恒成立，则对恒成立，得 ，得；（2）当时，对恒成立，则对恒成立，关于t的二次函数的对称轴在之间，开口向下，则，得，即得；（3）当时， 对恒成立，则对恒成立，得 ，得；综上，得满足题意的a的范围是：.
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