高中数学第二章参数方程2.3直线的参数方程2.4渐开线与摆线课件新人教A版.ppt

三直线的参数方程四渐开线与摆线 自主预习 1 直线的参数方程已知直线l经过点M0 x0 y0 倾斜角为点M x y 为直线l上任意一点 则直线l的普通方程和参数方程分别为 y y0 tan x x0 其中 直线的参数方程中参数t的绝对值 t 2 圆的渐开线及其参数方程 1 定义 把线绕在圆周上 假设线的粗细可以忽略 拉着线头 保持线与圆相切 的轨迹就叫做圆的渐开线 相应的 叫做渐开线的基圆 离开圆周 线头 定圆 2 参数方程 设基圆的半径为r 圆的渐开线的参数方程是 3 摆线及其参数方程 1 定义 当一个圆沿着一条定直线 滚动时 圆周上的 的轨迹叫做平摆线 简称摆线 又叫做 无滑动地 一个定点运动 旋轮线 2 参数方程 设圆的半径为r 圆滚动的角为 那么摆线的参数方程是 是参数 即时小测 1 下列点在直线 t为参数 上的是 A 2 3 B 2 3 C 3 2 D 3 2 解析 选D 直线经过点 3 2 倾斜角为 2 经过点M 1 3 且倾斜角为的直线 以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是 解析 经过点M 1 3 且倾斜角为的直线 以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是 t为参数 即为 t为参数 答案 t为参数 知识探究 探究点直线的参数方程 渐近线与摆线1 直线的参数方程中 参数的几何意义是什么 提示 设e表示直线向上方向上的单位向量 当参数t 0时 与e同向 当参数t 0时 与e反向 当参数t 0时 点M0 M重合 故总有所以参数t为点M0 x0 y0 到直线上点M x y 的有向线段的数量 即长度 方向 这就是参数t的几何意义 2 直线的参数方程形式唯一吗 如果不唯一 同一直线不同形式的参数方程中的参数都具有相同的几何意义吗 提示 直线的参数方程形式不唯一 同一直线不同形式的参数方程中的参数具有不同的意义 甚至不具有明显的几何意义 如直线x y 0的参数方程 t为参数 中的参数t就不具有明显的几何意义 归纳总结 由直线的参数方程中t的几何意义得出的两个结论 1 设A B是直线上任意两点 它们对应的参数分别为tA和tB 则 2 线段AB的中点所对应的参数值等于 类型一直线的参数方程的形式 典例 1 化直线l1的普通方程x y 1 0为参数方程 并说明参数的几何意义 说明 t 的几何意义 2 化直线l2的参数方程 t为参数 为普通方程 并求倾斜角 说明 t 的几何意义 解题探究 1 典例1中直线的斜率和倾斜角分别是什么 提示 直线的斜率为倾斜角为2 典例2中直线的参数方程是标准形式吗 提示 不是直线的参数方程的标准形式 解析 1 令y 0 得x 1 所以直线l1过定点 1 0 设直线的倾斜角为 所以直线l1的参数方程为 t是直线l1上的定点M0 1 0 到t对应的点M x y 的有向线段的数量 由 两式平方相加 得 x 1 2 y2 t2 t 是定点M0 1 0 到t对应的点M x y 的有向线段的长 2 方程组变形为 代入 消去参数t 得直线的点斜式方程可得倾斜角普通方程为 两式平方相加 得 x 3 2 y 1 2 4t2 所以 t 是定点M0 3 1 到t对应的点M x y 的有向线段的长的一半 方法技巧 直线参数方程的标准形式应用技巧 1 已知直线l经过点M0 x0 y0 倾斜角为 点M x y 为直线l上任意一点 则直线l的参数方程为 t为参数 参数t的几何意义是有向线段的数量 其中e cos sin 我们把 称为直线l的参数方程的标准形式 令a cos b sin 则直线参数方程的标准形式可以是 t为参数 b 0 a2 b2 1 2 如果直线的参数方程的一般形式为 可以通过转换 当d 0时 令当d 0时 令就可以把直线的参数方程化为标准形式 变式训练 1 2016 成都高二检测 将曲线的参数方程 t为参数 化为普通方程为 解析 由参数方程消去参数t 得答案 2 下列参数方程中 哪些是直线的参数方程的标准形式 若是 求出直线经过的起点坐标和倾斜角 若不是参数方程的标准形式 转化为标准形式 其中 t为参数 解析 是直线参数方程的标准形式 其中 起点坐标为 1 2 倾斜角 2 不是直线参数方程的标准形式 令t t 得到标准形式的参数方程为 t 为参数 3 已知直线l过点P 3 4 且它的倾斜角 120 1 写出直线l的参数方程 2 求直线l与直线x y 1 0的交点 解析 1 因为直线l过点P 3 4 且它的倾斜角 120 故直线l的参数方程为即 2 方法一 由 1 得代入x y 1 0 得解得t 0 故即交点坐标为 3 4 方法二 由 1 中直线的参数方程化为普通方程为由解得故两直线的交点为 3 4 类型二直线的参数方程的综合题 典例 2016 合肥高二检测 已知曲线C1 t为参数 C2 为参数 1 化C1 C2的方程为普通方程 并说明它们分别表示什么曲线 2 若曲线C1和C2相交于A B两点 求 AB 解题探究 1 如何将参数方程化为普通方程 提示 消去参数即得曲线的普通方程 2 如何求线段的长度 提示 利用直线参数方程的几何意义计算线段长度 解析 1 由曲线C1 消去参数t 得y x 4 所以曲线C1表示一条直线 由曲线C2 消去参数 得 x 2 2 y 1 2 1 所以曲线C2表示以 2 1 为圆心 1为半径的圆 2 方法一 圆心C2 2 1 到直线x y 4 0的距离为所以 方法二 将直线的参数方程C1 t为参数 代入曲线C2 x 2 2 y 1 2 1 整理得 t2 3t 4 0 设A B对应的参数分别为t1 t2 则t1 t2 3 t1t2 4 所以 延伸探究 1 若本例条件不变 P在曲线C2上 如何求 ABP面积的最大值 解析 方法一 由上述得 曲线C2上的点P到直线距离的最大值为 1 所以 ABP面积的最大值为S 方法二 设曲线C2上的点P的坐标为 2 cos 1 sin 点P到直线的距离为所以 ABP面积的最大值为 2 若本例条件变为直线C1 t为参数 0 与曲线C2 为参数 交于A B两点 如何求 AB 的最大值 此时直线C2的普通方程是什么 解析 方法一 直线C1 t为参数 0 的普通方程为y k x 1 其中k tan 直线经过定点 1 0 由直线与圆C2 x 2 2 y 1 2 1的位置关系可知 直线经过圆心 2 1 时 AB 的最大值为直径 即 AB max 2 此时直线的斜率k 1 直线的普通方程为x y 1 0 方法二 将直线C1 t为参数 0 的参数方程代入 x 2 2 y 1 2 1 整理 得 1 tcos 2 tsin 1 2 1 t2 2 cos sin t 1 0 设A B对应的参数分别为t1 t2 则t1 t2 2 cos sin t1t2 1 所以当 时 AB max 2 此时直线的斜率k 1 直线的普通方程为x y 1 0 方法技巧 1 利用直线的参数方程判断两直线的位置关系直线l1 直线l2 1 l1 l2 a1b2 a2b1 0 l1与l2不重合 2 l1 l2 a1a2 b1b2 0 2 标准形式的参数方程中参数的应用经过点M0 x0 y0 倾斜角为 的直线l的参数方程为 1 若P1 P2是直线l上的两个点 对应的参数分别为t1 t2 则向量的数量为t2 t1 所以 t2 t1 若P1 P2是直线l与某圆锥曲线的两个交点 则弦长 P1P2 t2 t1 2 若P1P2的中点为P3 且P1 P2 P3对应的参数分别为t1 t2 t3 则特别地 若直线l上的两个点P1 P2的中点为M0 x0 y0 则t1 t2 0 t1t2 0 变式训练 1 2016 南昌高二检测 直线l t是参数 被圆 x 3 2 y 1 2 25所截得的弦长为 解析 将直线l的参数方程 t是参数 化为普通方程 得x y 1 0 圆心 3 1 到直线的距离直线被圆 x 3 2 y 1 2 25所截得的弦长为答案 2 2016 江苏高考 在平面直角坐标系xOy中 已知直线l的参数方程为 t为参数 椭圆C的参数方程为 为参数 设直线l与椭圆C相交于A B两点 求线段AB的长 解题指南 将参数方程化为普通方程 联立求出点A B的坐标 解析 直线l方程化为普通方程为椭圆C方程化为普通方程为联立得因此 AB 类型三圆的渐开线与摆线 典例3 1 已知圆的渐开线方程为 为参数 则该基圆半径为 当圆心角 时 曲线上点A的直角坐标为 2 已知一个圆的参数方程为 为参数 那么圆的摆线方程中与参数对应的点A与点之间的距离为 解题探究 1 题1中怎样求基圆半径及渐开线上一个点的坐标 提示 将渐开线的方程化为 为参数 的形式 通过观察即可得出基圆半径 将参数 值代入方程求点的坐标 2 题2中怎样求摆线上两个点间的距离 提示 利用已知参数的值求出点的直角坐标 利用两点间的距离公式求距离 解析 1 圆的渐开线方程变为 为参数 即则基圆的半径为将 代入上式得 得则点A的坐标为答案 2 根据圆的参数方程可知 圆的半径为3 那么它的摆线的参数方程为把代入参数方程中可得即所以答案 方法技巧 1 圆的渐开线的参数方程 1 圆的渐开线的参数方程为 为参数 其中r 基圆半径 绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角 AOB 2 圆的渐开线的参数方程不宜化为普通方程 一是普通方程比较复杂不易理解 二是看不出曲线的坐标所满足条件的含义 2 摆线的参数方程摆线的参数方程为 为参数 其中r 生成圆的半径 圆在直线上滚动时 点M绕圆心作圆周运动转过的弧度 ABO 3 将参数 的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标 进而可求渐开线或摆线上两点间的距离 变式训练 1 已知圆的渐开线的参数方程为则此渐开线对应基圆的面积为 当 时对应的曲线上的点的坐标为 解析 将圆的渐开线的参数方程变为 为参数 则基圆的半径为3 故面积为 32 9 当时 得故时对应点的坐标为答案 2 当时 求圆的摆线上对应的点的坐标 解析 将代入得故时摆线上点的坐标为 2 4 4 自我纠错直线参数方程的标准形式 典例 2016 保定高二检测 已知直线l的参数方程是 t为参数 曲线C的极坐标方程是 2sin 4cos 1 求曲线C的直角坐标方程和参数方程 2 求直线l被曲线C截得的弦长 失误案例 分析解题过程 找出错误之处 并写出正确答案 提示 出错的根本原因是忽视了直线的参数方程不是标准形式 导致计算弦长错误 正确解答过程如下 解析 1 曲线C的极坐标方程化为 2 2 sin 4 cos 由 2 x2 y2 x cos y sin 得x2 y2 2y 4x 所以曲线C的直角坐标方程为 x 2 2 y 1 2 5 参数方程为 为参数 2 方法一 因为直线l的参数方程是所以直线l的普通方程是所以曲线C表示圆心为 2 1 半径为的圆 圆心 2 1 到直线l的距离为所以直线l被圆C截得的弦长为 方法二 将代入 x 2 2 y 1 2 5得 4t2 4t 1 0 设直线l与曲线C的交点A B对应的参数分别为t1 t2 则又因为直线l的参数方程可化为 所以直线l被曲线C截得的弦长为 AB 2t1 2t2