高中数学第二章参数方程2.1.1参数方程的概念圆的参数方程课件新人教A版.ppt

第二讲参数方程一曲线的参数方程第1课时参数方程的概念 圆的参数方程 自主预习 1 曲线的参数方程的定义一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数 并且对于t的每一个允许值 由方程组 所确定的点M x y 都在这条曲线上 那么方程组 就叫做这条曲线的参数方程 变数t叫做参变数 简称 参数 2 圆的参数方程 即时小测 1 曲线 为参数 围成图形的面积等于 A B 2 C 3 D 4 解析 选D 曲线即 为参数 表示圆心为 1 3 半径为2的圆 所以面积等于4 2 已知 t为参数 若y 1 则x 解析 若y 1 则t2 1 则t 1 x 0或2 答案 0或2 知识探究 探究点参数方程的概念 圆的参数方程1 曲线的参数方程中参数的实际意义是什么 提示 在曲线的参数方程中 参数可以有明确的几何意义 也可以有明确的物理意义 如时间 旋转角等 当然也可以是没有实际意义的变数 2 圆的参数方程中参数的几何意义是什么 提示 1 圆的参数方程中参数 的几何意义 射线Ox绕点O逆时针旋转到OM M x y 是圆上的任意一点 位置时转过的角度 如图所示 2 圆的参数方程中参数 的几何意义 如图所示 设其圆心为C CM0 x轴 则参数 的几何意义是CM0绕点C逆时针旋转到CM M x y 是圆上的任意一点 位置时转过的角度 归纳总结 1 曲线的参数方程的理解与认识 1 参数方程的形式 曲线上点的横 纵坐标x y都是变量t的函数 给出一个t能唯一地求出对应的x y的值 因而得出唯一的对应点 但是横 纵坐标x y之间的关系并不一定是函数关系 2 参数的取值范围 在表示曲线的参数方程时 必须指明参数的取值范围 因为取值范围不同 所表示的曲线也会有所不同 2 参数方程与普通方程的统一性 1 参数的作用 参数是间接地建立横 纵坐标x y之间的关系的中间变量 起到了桥梁的作用 2 参数方程与普通方程的转化 曲线的普通方程是相对参数方程而言的 普通方程反映了坐标变量x与y之间的直接联系 而参数方程是通过变数反映坐标变量x与y之间的间接联系 特别提醒 普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式 参数方程可以与普通方程进行互化 类型一参数方程的表示与应用 典例 已知曲线C的参数方程是 t为参数 a R 点M 3 4 在曲线C上 1 求常数a的值 2 判断点P 1 0 Q 3 1 是否在曲线C上 解题探究 典例中如何求常数的值 如何判断点与曲线的位置关系 提示 为了求常数的值 只需将点M的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x y 消去参数t 求a即可 要判断点与曲线的位置关系 只要将点的坐标代入曲线的参数方程检验即可 若点的坐标是方程的解 则点在曲线上 否则 点不在曲线上 解析 1 将点M 3 4 的坐标代入曲线C的参数方程得消去参数t 解得a 1 2 由上述可得 曲线C的参数方程是将点 1 0 的坐标代入参数方程得得t 0 因此点 1 0 在曲线C上 将点 3 1 的坐标代入参数方程得方程组无解 因此点 3 1 不在曲线C上 方法技巧 点与曲线的位置关系 1 动点的轨迹 满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线 点与曲线的位置关系有两种 点在曲线上 点不在曲线上 2 对于曲线C的普通方程f x y 0 若点M x1 y1 在曲线上 则点M x1 y1 的坐标是方程f x y 0的解 即有f x1 y1 0 若点N x2 y2 不在曲线上 则点N x2 y2 的坐标不是方程f x y 0的解 即有f x2 y2 0 3 对于曲线C的参数方程 t为参数 若点M x1 y1 在曲线上 则对应的参数t有解 否则无解 即参数t不存在 变式训练 已知曲线C的参数方程为 t为参数 1 判断点A 1 0 B 3 2 与曲线C的位置关系 2 若点M 10 a 在曲线C上 求实数a的值 解析 1 把点A 1 0 的坐标代入方程组 解得t 0 所以点A 1 0 在曲线上 把点B 3 2 的坐标代入方程组 得即故方程组无解 所以点B不在曲线上 2 因为点M 10 a 在曲线C上 所以解得所以a 6 类型二求曲线的参数方程 典例 长为3的线段两端点A B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上滑动 点P的轨迹为曲线C 1 以直线AB的倾斜角 为参数 求曲线C的参数方程 2 求点P到点D 0 2 距离的最大值 解题探究 典例中点P是线段AB的几等分点 如何建立点的坐标的参数方程 如何求距离的最大值 提示 点P是线段AB的一个三等分点 利用三角函数建立点的坐标的参数方程 建立距离的目标函数 转化为二次函数求最大值 解析 1 设P x y 由题意 得所以曲线C的参数方程为 2 由 1 得 PD 2 2cos 2 sin 2 2 4cos2 sin2 4sin 4 3sin2 4sin 8 当时 PD 取得最大值 方法技巧 求曲线的参数方程的注意事项 1 求曲线的参数方程关键是确定参数 本题以线段所在直线的倾斜角为参数 通过解直角三角形得到曲线上动点坐标的三角函数方程 2 求两点间距离的最大值的关键是利用参数方程建立目标函数 通过配方法求函数的最值 要注意函数的定义域 变式训练 1 若x t 1 t为参数 求直线x y 1 0的参数方程 解析 把x t 1代入x y 1 0 得y t 2 所以直线x y 1 0的参数方程为 2 已知边长为a的等边三角形ABC的顶点A在y轴的非负半轴上移动 顶点B在x轴的非负半轴上移动 求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程 解析 如图 设C x y ABO 过点C作x轴的垂线段CM 垂足为M 则所以 为参数 0 为所求 类型三圆的参数方程与应用 典例 2016 漳州高二检测 已知曲线C1 t为参数 C2 为参数 1 化C1 C2的方程为普通方程 并说明它们分别表示什么曲线 2 若C1上的点P对应的参数为t Q为C2上的动点 求PQ中点M到直线C3 t为参数 距离的最小值 解题探究 1 如何根据参数方程判断曲线的形状 提示 将参数方程化为普通方程再判断曲线形状 2 如何求点到直线距离的最小值 提示 利用参数方程化为三角函数的最小值求解 解析 1 由曲线C1 t为参数 得利用三角函数的平方和公式消去参数t 得C1 x 4 2 y 3 2 1 曲线C1为圆心是 4 3 半径是1的圆 同理 得C2 曲线C2为中心是坐标原点 焦点在x轴上 长半轴长是8 短半轴长是3的椭圆 2 当t 时 P 4 4 Q 8cos 3sin 故C3为直线x 2y 7 0 M到C3的距离d 4cos 3sin 13 5cos 13 当cos 1时 d取得最小值 方法技巧 1 圆的参数方程中的参数是角 所以圆上的点的坐标是三角函数 2 与距离有关的最大值或最小值问题 常常利用圆的参数方程转化为三角函数解决 变式训练 1 2016 合肥高二检测 设曲线C的参数方程为 为参数 直线l的方程为x 3y 2 0 则曲线C上到直线l距离为的点的个数为 A 1B 2C 3D 4 解析 选B 曲线C 为参数 的普通方程为 x 2 2 y 1 2 9 表示圆心C 2 1 r 3的圆 由于圆心 2 1 到直线x 3y 2 0的距离为 又r 2d 所以r d d 所以圆C上到l距离为的点有2个 2 已知点Q是圆上的动点 则 PQ 的最大值是 解析 由题意 设点Q cos sin 则故 PQ max 答案 2 自我纠错参数方程表示曲线的判断 典例 2016 漳州高二检测 参数方程为 t为参数 表示的曲线是 A 一条直线B 两条直线C 一条射线D 两条射线 失误案例 分析解题过程 找出错误之处 并写出正确答案 提示 出错的根本原因是忽视了参数的取值范围从而导致缩小了x的取值范围 正确解答过程如下 解析 选D 由参数方程 t为参数 得t 0 当t 0时 x t 2 当t 0时 x 所以参数方程化为普通方程为y 2 x 2或x 2 所以表示两条射线